6모 28번풀이 이거 맞나요? 너무 간단한데..
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f(3)f(-3)<0에서 어느 실수 a에 대해 f(a)=0임을 알 수 있다. 위 식에서 f(x)^3(f(x)^2+1)=~~에서 우변에서 교점이 생긴다면 좌변을 참조하면 그 점은 유일해야 하고 x=a이다. 우변에서 그래프를 상상하면 항상 교점이 존재하고, f(x)^3이므로 x=a에서 삼중근을 가진다 따라서 변곡접선밖에 안된다. 그후 나머지 조건으로 두 변곡접선중 하나 확정
이 풀이도 f(x)가 미분가능하기만해도 적용가능 한데.. 맞는지를 모르겠어요. 고수분들의 조언 부탁드립니다!
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호쌤 풀이 보니까 도함수의 연속성(필요조건) 만으로만 풀긴 하시던데
도함수가 연속이다=원함수가 미분가능하다 아닌가요?
맞음 풀줄알면 간단하게 끝나는데 그게 변곡접선이라는걸 이용하기가 힘든거였지
ㅇㅎ 감사합니다 맞는풀이군요
f(x)가 전단사 함수라는 보장이 없어서 약간 비약이 있는 것 같아요
변곡접선 차함수면 증가/감소함수고
(x^5+x^3)(fx) 에서 겉함수 쭉 증가함수라서 fx도 일대일대응일수밖에없음
그건 y=ax+b가 변곡접선임을 알고난 후죠. 그걸 알면 이미 풀이가 종료된 시점이고요
저분은 애초에 사잇값정리랑 차수논리로 변곡접선임을 알고 계시잖이요
어떤부분에서 비약이 있는지 모르겠어요
1. (초월함수-다항함수)/다항함수 의 극한식을 계산할 때 계산해보지 않고 0인자가 몇개인지 알 수 있는가? → X
저도 현장에서 대충 변곡접선이겠거니 하고 풀었지만 논리적 비약이 있는 풀이가 맞습니다.
2. 결국 변곡접선임을 알았더라도 그 다음에서야 f(x)가 전단사 함수이고, 초월함수-다항함수=0과 f(x)=0이 필요충분조건인 걸 알 수 있는데
작성자분은 y=ax+b가 변곡접선임을 밝히기 전에 f(x)가 전단사 함수인 것처럼 말씀하셨으니 선후관계가 맞지 않아 잘못된 논리입니다.
f(x)가 전단사 함수가 아니면 어떤 문제가 발생하나요?
ln(x^2+x+2.5)그래프 그려 보면 어떠한 a=/0인 직선을 긋더라도 교점이 1개~2개 발생하는데, 이러한 교점들을 α, β 라 하면 f(x)^3(f(x)^2+1)이 똑같이 지나야 하므로 최소한f(α)=f(β)=0인데 세제곱이므로 α, β에서 인수를 3개 '이상'가져야 하는데 ln(x^2+x+2.5)와 직선 간의 교점 관계에서 인수가 3개이상 두지점에서 생길 순 없으니 유일하게 인수가 3개, 한지점 즉 변곡접선으로 결정되지 않나요
(초월함수-다항함수)/다항함수는 무엇인지 모르겠으나 (초월함수-다항함수)는 계산해보지 않고도 그래프만으로 충분히 영인자 개수를 충분히 파악할 수 있지 않나요?
제가 f(x) 전단사 함수에 대해 말씀드린 부분은 순전히 논리의 선후관계에 대한 이야기였습니다.
그리고 y=ln(x²+x+5/2)와 y=ax+b가 교점을 2개 이상 가지면 안 되니까 변곡점에서 접해야 한다는 부분은 필요조건에 의한 결정이고 여기까지 오는 과정에서 교점이 갖는 인수의 개수를 그림만 보고 정확히 몇개인지 판단하는 건 글쎄 교과내에서 따질 법한 내용은 아닌 것 같아요.
다항함수-다항함수=0이 아니라 초월함수-다항함수=0의 인수 개수를 보는 거니까요.
y=ax+b가 변곡접선인 상황에서 ln(x²+x+5/2)-(ax+b)=0일 때 0인자 개수를 정확하게 따지기 위해선 직접 계산해봐야 정확하게 알 수 있습니다. 다항함수를 나눈 건 그걸 검증하는 과정에서 극한을 조사하기 위한 행위입니다.
왜 이렇게까지 해야하냐고 물으신다면 필요충분조건으로 문제를 풀고 싶다면 지당하게 거쳐야 하는 과정이고 'y=ax+b가 변곡접선일 수밖에 없다'는 소거법에 의한 필요조건만 이용한 풀이라는 걸 인지하고 있다면 별 상관은 없습니다. 물론 이것도 직관에 많이 의존하는 풀이지만요
정리해서 말씀드리면 y=ax+b가 변곡접선일 때 0인자의 개수를 그림만 보고 알 수 있다. 이 부분에 논리적 맹점이 있다는 걸 지적하는 겁니다.
물론 변곡접선일 때 0인자의 개수가 접하지 않을 때나 변곡점이 아닌 점에서 접할 때보다 많다는 게 직관적으로 느껴지긴 하지만 그걸 정확하게 몇개인지 그림만 보고 논리적으로 바로 알 수 있다는 건 다른 문제지요.
차수 논리라고 말씀하시는 부분에 대해선
https://orbi.kr/00073358113
이 글의 과정처럼 직접 증명하거나, 로피탈을 사용해야 변곡접선임을 특정할 수 있습니다.
그리고 f(x)=0일 때 (f(x))³의 0인자가 정말 3개인가? 이 부분에 대해서도 생각해볼 포인트가 있어요.
제가 계산해본 바에 따르면 3개 초과입니다.
네 논리적 비약은 맞는거같네요 선후관계도 님 말대로 틀린거같습니다
하지만 차수논리에 관해선 제 계산에 따르면 변곡접선차함수가 정확히 삼차로 나와서 3개 초과면 성립 자체가 불가합니다 계산을 다시 해보시는게..
0인자 갯수는 무조건 맞을 겁니다...
강기원t 최지욱t 등이 다 가르치시는걸로 알고 있음
0인자가 3개 초과라는 건 제 실수가 맞네요 3개 이상으로 정정하겠습니다.
감사합니다. “교과 내에서 초월-다항의 영인자 개수를 따잘 수 없다”가 문제였군요. 큰 도움 되었습니다.