제곱근호에 대해 정말 아시는분께 질문드립니다.

Question

n제곱하여 실수 a가 되는 수를 a의 n제곱근이라고 합니다.



그리고  그 중 n이 짝수일 때 a의 n제곱근 중 실수인 것은 



플러스,마이너스 n제곱근a 



n이 홀수일 때 a의 n제곱근 중 실수 인 것은 n제곱근 a로 표현합니다. (제곱근호를 사용하여)



그런데 '제곱근호'를 사용하는 경우, '제곱근호'를 사용하여 표현할 때는 a의 n제곱근 중 실수인 것 중에서



표현하는데, 루트-2 같은 경우, 근호를 사용했지만 결코 실수는 아닙니다.



반대로 세제곱근-8의 경우 -8의 세제곱근 중 실수인 것을 뜻합니다.(-2)



제곱근 중 제곱근호를 사용하여 표현할 경우 정확한 의미를 알고싶습니다. 

질문드립니다.

Schrodinger · Accepted Answer

n이 짝수일 때 n제곱근a(n√a) 는 n제곱해서 a가 되는 실수 중 양수를 말합니다. 물론 a는 양수일 때에만 존재하겠죠. 이 때 양수라는 개념이 잘 정의되기 때문에 아무런 문제가 생기지 않습니다.
복소수의 경우엔 이야기가 약간 다른데요 실수에서처럼 순서관계(두 수의 크기비교)를 줄 수가 없어서 허수단위 i를 -i로 바꾸어도 우리의 수학에서는 바뀌는 것이 하나도 없습니다. 
conjugation isomorphism 이라는 것을 나중에 공부하신다면 더 명확하게 이해하실겁니다.

정리하자면 a가 양수이고, n이 짝수이면 n제곱해서 a가 되는 실수는 두개가 있고 이중 양수를 n제곱근a 라고 부릅니다.
a가 실수 이고 n이 홀수 일 때 홀수차 다항식 x^n-a는 항상 실근을 하나 가지고(중간값의 정리와 단조성) 이 실근을 n제곱근a라고 부릅니다.

dsfadsfad · Answer

원래 n이 짝수일 때는 제곱근호안에 음수가 들어 올수 없지만 n=2일때는 특별히 제곱근호안에 음수가 들어와도 됩니다.(허수) 반면 n이 홀수일때는 제곱근호 안에 모든 수가 다 들어올 수 있습니다. 따라서 세제곱근 -8은 -2로 실수인것이죠. n=2일때만 실수가 아님에도 불구하고 제곱근호를 써서 나타내는 겁니다.n=2일때를 우리가 이차방정식풀때든지할때 근으로 많이 등장하다보니 n=2일때 제곱근호를 써서 나타내자고 약속한겁니다. n=4,6,8일때는 모두 허수이므로 제곱근호를 쓰지 않습니다.

서울대특기자 · Answer

그렇다면 결국 제곱근호(루트)의 정의는 뭐랄까, 경우에 따라 달라지는 건가요?

즉, a의 n제곱근 중 실수인 것이라는 정의도, 실수 중 양수인 것이라는 정의도 반례가 존재합니다. 

혹은 n제곱해서 a가 되는 것이라는 정의도 부족합니다.

즉, 제가 묻고자 하는 것은 제곱근호(루트부호)의 정확한 의미는 무엇입니까? 알려주세요.

제곱근호에 대해 정말 아시는분께 질문드립니다.

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