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(1) 일대일 대응의 정의: 함수 f: X → Y가 일대일 함수이면서 전사 함수일 때, 즉 X의 모든 원소 x에 대해 Y의 원소 y가 유일하게 대응되고, Y의 모든 원소 y에 대해 X의 원소 x가 적어도 하나 존재할 때, 함수 f를 일대일 대응이라고 한다.

(2) 함수 f(x)가 x=a에서 연속일 조건: 함수 f(x)가 x=a에서 정의되어 있고, 극한값 lim x→a f(x)가 존재하며, 그 극한값이 f(a)와 같을 때, 즉 lim x→a f(x) = f(a)일 때 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다.

(3) 명제의 참 거짓 판단: 주어진 명제 "f가 일대일 대응이면 f는 연속함수이다"는 거짓이다.

반례:

다음과 같이 정의된 함수 f를 고려한다.

f(x) =

x (x < 0)x + 1 (x ≥ 0)

이 함수는 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일 대응이지만, x = 0에서 불연속이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.

아니 속도 말되나 이거 ㅋㅋ

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지피티 아웃

지피티특 : 맨날 반례로 이상한거 들고옴

gpt는 아님

애초에 반례가 일대일대응함수가 아님

그냥 삼성 AI 검색임

성의없어서 1000덕만 드림

ㅠㅠ

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x (x<-1,x>1), -x(-1<=x<=1) 이 반례 아닌가요
치역이슈때매

아 몰라몰라 그냥 덕코 내놔

좋아, 고등학교 수학 교과서 범위 안에서 서술하면 다음과 같이 정리할 수 있어:


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(1) 일대일 대응의 정의를 서술하시오.

서술:
두 집합 , 사이의 함수 가 일대일 대응이 되기 위해서는 다음 두 조건을 모두 만족해야 한다.

일대일: 서로 다른 원소가 서로 다른 원소에 대응한다. 즉,


전사: 의 모든 원소가 의 어떤 원소와 대응된다. 즉,
의 모든 원소가 의 대응값이 된다.


이러한 함수 를 일대일 대응 함수 또는 전단사 함수라고 한다.


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(2) 함수 f(x)가 에서 연속일 조건을 서술하시오.

서술:
함수 f(x)가 에서 연속이 되기 위한 조건은 다음 세 가지를 모두 만족해야 한다.

1. f(a)가 정의되어 있어야 한다.


2. \lim_{x \to a} f(x)이 존재해야 한다.


3. \lim_{x \to a} f(x) = f(a)여야 한다.



이 세 조건을 모두 만족할 때, f(x)는 에서 연속이라고 한다.


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(3) 명제 판단: “가 일대일 대응이면 는 연속함수이다.”

고등학교 수준에서의 판단:
거짓이다.

반례:
함수 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}를

f(x) = \begin{cases}
x, & x \ne 0 \\
1, & x = 0
\end{cases}

왜냐하면,

\lim_{x \to 0} f(x) = 0 \ne f(0) = 1

따라서 주어진 명제는 거짓이다.


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이렇게 정리하면 교과서 수준에서 충분한 서술이 된다고 볼 수 있어.

아오 직접 써오라고요 ㅋㅋㅋㅋ

우웅 써왔는디

1. 일대일 함수인데 치역과 공역이 일치
2. a에서 좌극한과 우극한과 함숫값 일치
3. 거짓, 반례)

f(x) = x (|x|>1)
-x (|x|<=1)

AI 개요


(1) 일대일 대응의 정의: 함수 f: X → Y에서, X의 서로 다른 임의의 두 원소 x1, x2에 대해 f(x1) ≠ f(x2)이고, Y의 임의의 원소 y에 대해 f(x) = y를 만족하는 X의 원소 x가 적어도 하나 존재할 때, 함수 f를 X에서 Y로의 일대일 대응이라고 한다.
(2) 함수 f(x)가 x=a에서 연속일 조건:
lim x→a f(x)가 존재해야 한다.
f(a)가 정의되어야 한다.
lim x→a f(x) = f(a)여야 한다.
(3) 명제의 참 거짓 판단:
명제:
"실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 함수 f에 대하여, f가 일대일 대응이면 f는 연속함수이다."
판단:
거짓
반례:
코드

f(x) = { x (x<0)
{ x+1 (x>=0)
이 함수는 일대일 대응이지만 x=0에서 불연속이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다.

대충
함숫값 다를때 x값 다르면서 치역=공역인거

함수의 좌극한 우극한 함숫값이 존재하고 싹다 같을때

반례는 위에다 적었으니 생략

이거 연속인건 원래 엡실론델타 써야하는데 엡실론델타 꼴보기도 싫으니 안쓸거임 ㅅㄱ

1.일대일 함수이자 치역과 공역이 동일하면 일대일 대응이라 한다
2. x =a 에서 lim x ->a f(x) = f(a) 라면 fx 는 x=a 에서 연속이라고 한다
3. 참이아니다, 반례: f = 1/x (x 가 0아닐경우) 0(x=0)

3. 해당함수는 일대일대응이 모든 실수에사 성립하지만 연속함수가 아니다

감사합니다~