251114 풀이

수능에서 나왔던 도형 문제입니다. 정답률은 메가 기준 확통 32% 미적 59% 기하 53%로 오답률이 꽤 있는편 입니다.

주어진 그림은 간단한 상황이지만 조건은 상당히 많네요. 차근 차근 읽어봅시다.

우선 선분 AD와 선분 DB의 길이비를 주었습니다. 

저것을 보고 반사적으로 해야할 행동은 길이비를 표시하는 것입니다.

저는 미지수 a로 나타내도록 하겠습니다.

다음으로 문제를 읽어보면 사인의 비를 주었습니다.

사인의 비를 갖고 생각할 수 있는 것은 무엇이 있을까요?

가장 먼저 떠오르는 것은 사인값을 통해서 길이비를 나타내는 것입니다만, 구체적인 사인값은 알 수 없네요.

그렇다면 두번째는 사인법칙입니다. 사인법칙을 활용하면 사인값의 비로 마주보는 변의 길이비를 알 수 있거든요

결국 저 조건을 통해서 표시하게 되면 다음과 같이 되겠네요. 선분 BC와 AB의 길이의 비를 나타낼 수가 있습니다.

다음 조건은 삼각형의 넓이의 비를 주었습니다. 넓이를 구하는 공식은 다양하게 있습니다만, 이 도형 상황을 보게되면 각 BAC를 모두 공유하고 있다는 사실을 알 수 있습니다. 

여기서 점 D와 점E가 원위의 점이라는 사실에 주목해 봅시다. 이 점을 활용하면 선분 AD와 선분 AE의 길이는 같다는 사실을 알 수 있습니다.

따라서 선분 AC의 길이만 알게 되면 이를 통해서통해서 넓이를 나타내 볼 수 있습니다.

주어진 조건들을 이용하여 삼각형 ABC의 길이비를 모두 알게 되었습니다.

삼각형 ABC의 상황을 확실하게 알았으므로 이제 삼각형의 특정 각의 사인값을 통해 마지막 조건인 삼각형 외접원의 반지름을 구해볼 수 있습니다.

즉 이를 통해 a값을 확정지을 수 있습니다. 

이 뒤에 풀이과정은 다양하겠습니다만, 제가 현장에서 풀었던 방식인 sinBAC를 가지고 진행해 보겠습니다.

sinBAC는 앞에서 구했었고 이를 통해 삼각형 ABC의 넓이 역시 구할 수 있습니다. 이는 점A에서 선분BC에 수선을 내렸을 때 생기는 점을 N이라 할때, 선분 AN의 길이와 선분 BC와의 곱을 통해 구할 수 있는 넓이와 같습니다.

또한 선분 AN을 연장을 한 직선과 원이 만나는 점이 점 P가 되고 이는 삼각형 PBC의 넓이를 확정 지을 수 있는 방법이 됩니다.

결국 다음과 같이 정답을 구할 수 있습니다.

당연한 소리를 길게 풀어쓴 감이 있는데 다양한 분들이 전부 이해하기 쉽도록 풀어썼습니다.

아무쪼록 도움이 되었으면 좋겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다.