[칼럼] n차함수를 넘나드는 비율관계
게시글 주소: https://orbi.kr/00072909034
다항함수의 비율관계에 대해서는 다들 익숙하실 거예요.
그런데 n차함수의 비율관계를 n+1차함수에서도 사용할 수 있다는 사실, 알고 계셨나요?
삼차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.
t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 삼차식이기에 m(t)는 이차식으로 나타낼 수 있어요.
f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)+f(a)라면 m(t)=M(t-b)(t-c)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))
이 공식 m(t)=M(t-b)(t-c) 자체만으로도 정말 유용하게 쓰일 수 있기에 암기해 두어도 좋아요.
거리곱을 활용한다면 두 점을 이은 직선의 기울기를 구할 때 식을 쓸 필요도 없겠죠.
m(t)가 이차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 이차함수의 성질을 삼차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.
왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=p에서 삼차함수에 접하는 직선은 빨간색으로, x=a에서 삼차함수에 접하는 직선은 파란색으로 나타내 볼게요.
왼쪽 그림상 빨간색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 빨간색 직선의 y좌표로, 왼쪽 그림상 파란색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 파란색 직선의 y좌표로 나타나요.
왼쪽 그림과 오른쪽 그림에서 a, b, c, p, q의 x좌표는 동일해요.
이차함수는 대칭축을 기준으로 대칭이기에 a와 q, b와 c는 각각 p를 기준으로 대칭인 수예요.
삼차함수에서 활용할 수 있는 새로운 비율관계가 나왔죠?
(p-b):(c-p)=1:1이고 (p-a):(q-p)=1:1이에요.
이제 사차함수로 넘어가 볼까요?
사차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.
t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 사차식이기에 m(t)는 삼차식으로 나타낼 수 있어요.
f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+f(a)라면 m(t)=M(x-b)(x-c)(x-d)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))
m(t)가 삼차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 삼차함수의 성질을 사차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.
왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=r에서 사차함수에 접하는 빨간색 직선과 (a, 0)을 지나고 x=q에서 사차함수에 접하는 파란색 직선을 그리면 삼차함수의 비율관계에 의해 (q-p):(r-q):(s-r)=1:2:1임을 알 수 있어요.
특수한 케이스들에서 이러한 비율관계를 활용하는 예시를 몇 가지 들어 볼게요.
a가 사차함수와 공통 접선의 접점인 경우 (b-a):(c-b):(d-c)=1:2:1이에요.
a가 사차함수 f(x)-f(a)의 삼중근인 경우 (a-p):(q-a):(b-q)=1:2:1이에요.
왼쪽 그림상 빨간색 직선과 파란색 직선의 기울기가 부호만 반대인 경우 (c-b):(d-c)=1:1이에요.
이와 같이 다항항수 위의 한 점에서 다항함수에 그은 접선이 있는 경우 비율관계를 이용해 필요한 점의 x좌표를 손쉽게 구할 수 있어요. 이미 알고 있는 비율관계나 근과 계수의 관계 등과 연관지어 사용하면 복잡한 식을 전개해야 하는 풀이를 최소화할 수 있을 거예요.
0 XDK (+51,010)
-
50,000
-
10
-
1,000
-
좀 바람직하지 않은거가틈
-
이름만 들어도 졸라웃기네ㅋㅋ 그래서 저게 뭔스킬이라고?
-
3헉년 1학기 끝나고 수능 준비하는데 학교애서 거의 풀자습 학교 끝난 후에 저녁먹고...
-
흠냐링 9
라면먹는중
-
-
역시 이세계가 최고야 「수속성의 마법사」
-
지금 수논때메 개념은 돌린상태라 23~27은 풀 수 있는데 하아 어떡하지 진짜...
-
일단 나보단 잘봄
-
얘 6평 30보다 어거운 건가요? 아니면 그냥 평이한 벡터 문제인가요?
-
근데 이걸 이렇게꼰다고?싶은애들도 있어서 ㅜ
-
계산실수랑 착각을 너무많이함 예를들어 1/r + 1/r = 1/2r이라 한다던가...
-
와..
-
본가가서 누워있을래
-
걍 솔직하게 얘기하면 스카이까지가 자명한 사실이긴 한데 좀 넓게 봤을 때 기준으로 ㅇㅇ
-
다들 뭐하세요?전 내신때도 외국어 안 해서 스페인어 처음부터 하는중
-
으흐흐
-
나는 이 지역 막 이사오고 초등학교 입학 준비하고 있었음
-
수학 기출 질문 0
김기현T 아이디어 2회독 끝나고 기출 병행하려는데 기생집4점이 부피가 너무 큰것...
-
ㅈㄱㄴ
-
6모 점수 국어 백분위 55 수학 66 영어 2 탐구 79(동사) 80(세사) 인데...
-
으엙 4
기립성 저혈압 심해져서 이제 귀까지 먹먹해짐
-
과한 내려치기는 더 문제임 대한민국 방산이랑 문화 컨텐츠 왜 이렇게 잘나가냐…ㅋㅋㅋ
-
잇올에서 만났다
-
존나 힘들고 현타오네.. 나 뭐한거지
-
젊고잘생긴오빠일 거 같아
-
사설은 너무 너이새끼 이거 못봤어? 틀려 이새끼야 이 느낌인데 교육청은 그래도 괜찮음…
-
아쉽다.
-
나임
-
피곤하군 2
ㅡㅡ… 집가는중
-
여붕이 등장 13
오빠들 여붕이 왔어용
-
. 6
-
걍 멜로디가 좋아서 듣는건가? 아니면 일본어를 알아듣는건가
-
789 에 교사경 기출 많아서 풀꺼없으묜 푸러야겟음
-
님들 식중독 조심하세요 11
여름에 식중독 진짜 위험함..
-
별로 상관관계가 없는거 같은디
-
그냥 정가로 12권 사기vs 8~12권까지 번장에서 사기
-
특히 나머지 22번급 15번급은 시간박으면서 비비면 풀리긴하는데번 합성함수 연속으로...
-
Wake Me Up When September Ends - Green Day...
-
100점 받는 사람들은 문제보면 풀이 방향이 딱 보이는거임? 96이상을 받아본적이...
-
문제 조건 찾는 법을 익혀야 함. 조건 몇개인지도 알지 못하면 생각보다 많이 꼬이고 불안정해지더라.
-
가군 가천한 18명 (25 30 20 25) - 무가산 대전한 7명 (27 28...
-
6월 모의고사 성적입니다. 수능때 영어 못 봐서 대학 급간 낮아질 것 같아서...
-
6모 생윤 50 윤사 47이라 11이긴 한데 아리까리한 거 많았어서 순 실력은...
-
우리학교 문과 진짜 개꼴통이라 이과반에서 조용히 정시공부하고싶은데 선생님한테...
-
영어61>86 수학 미적 1찍맞 80> 찍맞x 84 이정도면 그래도 반년동안...
-
알여주실수있나요??? 1회-4회 요!!
-
작수 백분위 84에서 6모 백분위 99 됐는데 6모가 워낙 쉬워서 그런지 체감상...
-
진짜 너무 고의 아님? 아무리 봐도 혼자가기 싫어서 다른사람 데려갈려한거같은데
-
전일대비 -1.4kg
-
영어 서바는 5
듣기 문제는 있는데, 듣기 파일은 안줌?
ㅇㅎ 이분이셨구나
무민님인 줄
그렇게 대단하신 분과 저를 착각하시다니..
선생님도 대단하셔요수학 잘하고 싶어요 수학은 나의 원수
파이팅!!!!!!!생명수님이셧군..
와 이거 생명수 님이었구나
예상 못 했어요
이렇게 시각 자료도 써주시니 훨씬 보기 좋네요!
ㅎㅎ 좋은 말씀 감사합니다!점수 상당히 높게 드렸는데
누군지는 몰랐네요
감사합니다!!!오마이갓 좋은데여 이거
감사합니다~!
감사합니다^&^그럼 4차함수의 비율관계를 5차에서도 쓸 수 있나요?
넴 쓸 수 있어요!감사합니다 붙잡고 이해해봐야겠어요...ㄷㄷ
감사합니다~~생명suuuuuuuuuuuuuuuuuu
그저 goat
Siuuuu~
감사합니다:)