[칼럼] n차함수를 넘나드는 비율관계

다항함수의 비율관계에 대해서는 다들 익숙하실 거예요.

그런데 n차함수의 비율관계를 n+1차함수에서도 사용할 수 있다는 사실, 알고 계셨나요?

삼차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.

t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 삼차식이기에 m(t)는 이차식으로 나타낼 수 있어요.

f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)+f(a)라면 m(t)=M(t-b)(t-c)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))

이 공식 m(t)=M(t-b)(t-c) 자체만으로도 정말 유용하게 쓰일 수 있기에 암기해 두어도 좋아요.

거리곱을 활용한다면 두 점을 이은 직선의 기울기를 구할 때 식을 쓸 필요도 없겠죠.

m(t)가 이차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 이차함수의 성질을 삼차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.

왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=p에서 삼차함수에 접하는 직선은 빨간색으로, x=a에서 삼차함수에 접하는 직선은 파란색으로 나타내 볼게요.

왼쪽 그림상 빨간색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 빨간색 직선의 y좌표로, 왼쪽 그림상 파란색 직선의 기울기는 오른쪽 그림상 파란색 직선의 y좌표로 나타나요.

왼쪽 그림과 오른쪽 그림에서 a, b, c, p, q의 x좌표는 동일해요.

이차함수는 대칭축을 기준으로 대칭이기에 a와 q, b와 c는 각각 p를 기준으로 대칭인 수예요.

삼차함수에서 활용할 수 있는 새로운 비율관계가 나왔죠?

(p-b):(c-p)=1:1이고 (p-a):(q-p)=1:1이에요.

이제 사차함수로 넘어가 볼까요?

사차함수 f(x) 위의 x좌표가 a인 점과 (단, a는 상수) x좌표가 t인 점을 이은 직선의 방정식은 y=[{f(t)-f(a)}÷(t-a)](x-a)+f(a)이고 이 직선의 기울기 m(t)={f(t)-f(a)}÷(t-a)이에요.

t에 대한 식 {f(t)-f(a)}는 (t-a)를 인수로 갖는 사차식이기에 m(t)는 삼차식으로 나타낼 수 있어요.

f(x)=M(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+f(a)라면 m(t)=M(x-b)(x-c)(x-d)인 거예요. (단, t=a일 때는 m(t)=f'(a))

m(t)가 삼차식 형태로 나타난다는 점을 이용하면 삼차함수의 성질을 사차함수인 f(x)에 적용할 수 있어요.

왼쪽 그림상 (a, 0)을 지나고 x=r에서 사차함수에 접하는 빨간색 직선과 (a, 0)을 지나고 x=q에서 사차함수에 접하는 파란색 직선을 그리면 삼차함수의 비율관계에 의해 (q-p):(r-q):(s-r)=1:2:1임을 알 수 있어요.

특수한 케이스들에서 이러한 비율관계를 활용하는 예시를 몇 가지 들어 볼게요.

a가 사차함수와 공통 접선의 접점인 경우 (b-a):(c-b):(d-c)=1:2:1이에요.

a가 사차함수 f(x)-f(a)의 삼중근인 경우 (a-p):(q-a):(b-q)=1:2:1이에요.

왼쪽 그림상 빨간색 직선과 파란색 직선의 기울기가 부호만 반대인 경우 (c-b):(d-c)=1:1이에요.

이와 같이 다항항수 위의 한 점에서 다항함수에 그은 접선이 있는 경우 비율관계를 이용해 필요한 점의 x좌표를 손쉽게 구할 수 있어요. 이미 알고 있는 비율관계나 근과 계수의 관계 등과 연관지어 사용하면 복잡한 식을 전개해야 하는 풀이를 최소화할 수 있을 거예요.