230622 without 유리화
게시글 주소: https://orbi.kr/00072794502
유리화를 하지 않아도 수2 개념만을 활용해 논리적 비약 없이 박스조건을 해석할 수 있습니다
하지만 수2 개념만을 활용했다고 무조건 수2 풀이라고 할 수는 없죠
마치 미적분에서 등장하는 개념인 '볼록성'을 직관적으로 이해할 수 있고 수2 개념만으로 충분히 설명할 수 있다고 하더라도 수2 문제에서 볼록성을 활용하는 풀이가 수2 풀이라고는 할 수 없는 것처럼요
그런 이유로, 수2만 배웠어도 이해할 수 있도록 썼지만, 미적분을 선택하지 않은 사람도 이렇게 풀 수 있어야 한다고는 생각하지 않습니다
반면 미적분을 선택한 사람이라면 당연히 이렇게도 풀 수 있어야 한다고 생각합니다
각설하고 풀이 ㄱㄱ
먼저 박스조건 안의 극한을 보면, 분모와 분자가 모두 0으로 수렴하는 0/0꼴의 극한인데, 겉보기엔 되게 험상궂게 생겼지만 구조를 뜯어보면 유리화를 하니 마니 하는게 창피할 정도로 굉장히 단순한 형태의 극한식입니다
분자를
꼴의 합성함수로 이해할 수 있거든요
합성함수의 0으로 가는 극한의 본질은, 먼저 겉함수를 수렴하도록 하는 간단한 꼴의 인수 h(x)를 나누고 곱하여 f(g(x))에 대한 극한을 h(g(x))에 대한 극한으로 변형시킨 뒤 속함수를 해결하는 것입니다
그러므로 첫째로 해야 할 일은
을 만족하는 적당한 간단한 꼴의 h(s)를 찾는 것입니다
여기서 직관적으로 분자는 y=√x를 반드시 (0, 0)을 지나도록 평행이동시킨 꼴이고 따라서 g(t)가 0일 때 h(s)=√s, g(t)가 0이 아닐 때 h(s)=s(미분계수의 정의를 떠올려보면, (0,0)에서 미분가능한데 미분계수가 0이 아니므로...)라는 것을 직관적으로 내다볼 수 있으나 지금은 문제를 푸는 중이니 좀더 연역적으로 접근해봅시다.
분자가 무리함수 꼴입니다
무리함수는 이차함수의 부분적인 역함수이고 따라서 위의 극한을 역함수의 극한으로 해석할 수 있습니다
역함수의 극한의 기본은 치환을 통해 식변형을 시도하는 것입니다
첨언하자면 무리함수, 분모분자가 일차함수인 유리함수, 일차함수, 이차함수, 로그함수, 지수함수는 대수적으로 =c 꼴의 방정식의 근을 구하기 쉬운 함수인데, 이는 곧 역함수를 구하기 쉬운 것과 같습니다
역함수를 구하기 쉬운 성질은 곧 치환하기 편하다는 성질로 이어지고, 실제로 상술한 함수들은 극한 계산이든 치환적분이든 상당히 자주 치환되는 편입니다
예를 들면 lim x->0 (e^x–1)/x =1의 증명도 e^x–1을 t로 치환하는 것이 핵심이고, lnx를 적분할 때도 1을 적분하지 않고 lnx를 t로 치환한 다음 부분적분을 시도할 수 있습니다
어느 쪽이든 부분적분을 해야 하는 것은 마찬가지지만요
하여튼,
로 치환하면
이고
s->0+일때 k->0+이므로 앞의 극한을
로 바꿀 수 있습니다
여기서 g(t)=0인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 볼 수 있겠죠
h(s)를 고르는 것은 1. 단순한 꼴이고, 2. 극한이 수렴하기만 하면 무엇이든 상관없습니다
g(t)=0이라면 h(s)=√s를, 그렇지 않으면 h(s)=s로 고르는 것으로 충분합니다
글로 쓰니 주저리 주저리 길어졌는데, 지금까지의 내용들을 다시 정리하면 이렇습니다
1. g(t)가 0이 아닐 때
에서
가 0이 아닌 값으로 수렴하므로 박스 안 극한이 수렴할 필요충분조건은
가 수렴하는 것이고,
2. g(t)가 0일 때
에서 박스 안 극한이 수렴할 필요충분조건은
가 수렴하는 것입니다
그런데 두 케이스 모두, 극한의 수렴 여부가 t의 값과 독립적이므로, 두 극한 중 하나는 수렴하고 하나는 수렴하지 않아야 하고,
2. 의 극한이 수렴하면 1. 의 극한이 0으로 수렴하므로
1.의 극한이 수렴하고, 2.의 극한이 수렴하지 않아야 합니다
1.의 극한이 수렴하기 위한 필요충분조건은 f(x)=(x+3)(x-m)이고,
2. 의 극한은 g(x)가 x=0 근방에서 삼차함수인 고로 절대로 수렴할 수 없으므로,
박스 안 조건은
" t=–3, 6인 경우, 그리고 오직 그 경우에만 g(t)=0이고, f(x)=(x+3)(x–m)이다. "와 동치입니다.
따라서,
에서
m=–3 또는 m≥0이고,
a>0, b>3에서 f(b–3)=f(b+m)=0이므로 m=–3, b=9입니다
마지막으로 x=0에서의 연속성을 활용하면 a=3/4고
따라서 g(4)=19입니다
다쓰고 보니 ㅈㄴ 마음에 안드네요
뭔가 약파는 느낌
아무튼 읽어주셔서 감사합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
기억이 없네 그날 동생한테 전화건 기억도없는데 걸려잇고
-
루비 티셔츠는 없어서 아이 티셔츠만 있음
-
-
제가 이런 감이 아예없어서 질문해봄 집에 후드밖에없는데ㅠㅠ
-
아 여기서 키 더 크면 좀 곤란한데..
-
현재 영어는 월간조정식만 매일 풀고있고 원래는 70중반이었고 오르긴 했는데 이제는...
-
그냥 모든 근심걱정이 다 상쇄가 됨
-
본인은 수학100으로 가겠숩니다
-
아
-
걍 죽을까
-
부결 땅땅땅 8
모결 하늘하늘하늘 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
부결 땅땅땅 2
-
지능이 높을수록 푸씨임 그러므로 나는 상남자임
-
교재,인강쇼핑 ㄹㅇ
-
참고로 인스타 원래 안함
-
성형하고 싶다 7
거울봤음
-
후후흐흐ㅡ 깆버ㅜㄴ 좋내
-
20대의 유일한 장점인 듯
-
으하하
-
ㅈㅅㅎㄴㄷ
-
진짜 만18세임
-
모일수 있나 표 찢어지고 쪽수로 밀리는거 아님?
-
그리울거야....
-
인문 가능한가요…
-
00년대 사탐들…
-
라고 하지만 너무 빠른 것 같음 남고 싶다
-
-
이건 예쁘장한 남자도 ㄱㄴ
-
20대되서 좋은건 성인인증 정식으로 해서 볼 수 있는 것뿐인듯
-
방송에서 달리기하는거 신기했는데 ㄹㅇ 둘다 대통령할줄은 몰랐네
-
맞팔 2
해줘잉
-
?? 4
2*2=2? 한 문제도 답을 제대로 못 내는 중 지금 레전드
-
ㄱㄱ
-
-
낼 살려구영 수능교재 x
-
잘있어요 10
이젠다신안옵니다
-
여목너무어렵다 4
이거어캐해야하는거애
-
매일 독서하기 on
-
부모님도 계속 권유했는데 안 했다... 할걸
-
ㅅ살을 한달만에 최대한 많이빼는법이뭐임 님들다이어트법공유좀
-
웃고있니......?
-
재작수 48에 1년 쉬었다가 공부하는데요 현역때 윤도영쌤 듣다가 증발해버리셔서...
-
심심해죽겠는데할거추천좀 31
급함 급급
-
재미있어서 많이 그리고 오래 풀긴 푸는 데 그만큼 쉬지 않으면 오히려 퇴화하는 느낌이 드네요
-
ㄴㅇㅅ!!!
-
아직 해결못한 궁금증
-
지금 스카에서 오는길인데 머리가 너무 아프다 오늘 아침 10시부터 지금까지 수학만 했노...
-
플레이어 진작에 설치되어있는데 자꾸 설치하라고 하는데
-
좀 양날의검인듯 같이 자극되고 러닝메이트기도 한데 점점 놀자판 되가는거같음 이게...
-
남자라 그런가?
사진 주인 ㄷㄷ
왜 유리아가 아니지