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✏__경​나 [1352463] · MS 2024 · 쪽지

2025-04-11 23:01:27
조회수 206

230622 without 유리화

게시글 주소: https://orbi.kr/00072794502

유리화를 하지 않아도 수2 개념만을 활용해 논리적 비약 없이 박스조건을 해석할 수 있습니다


하지만 수2 개념만을 활용했다고 무조건 수2 풀이라고 할 수는 없죠

마치 미적분에서 등장하는 개념인 '볼록성'을 직관적으로 이해할 수 있고 수2 개념만으로 충분히 설명할 수 있다고 하더라도 수2 문제에서 볼록성을 활용하는 풀이가 수2 풀이라고는 할 수 없는 것처럼요


그런 이유로, 수2만 배웠어도 이해할 수 있도록 썼지만, 미적분을 선택하지 않은 사람도 이렇게 풀 수 있어야 한다고는 생각하지 않습니다

반면 미적분을 선택한 사람이라면 당연히 이렇게도 풀 수 있어야 한다고 생각합니다

각설하고 풀이 ㄱㄱ



먼저 박스조건 안의 극한을 보면, 분모와 분자가 모두 0으로 수렴하는 0/0꼴의 극한인데, 겉보기엔 되게 험상궂게 생겼지만 구조를 뜯어보면 유리화를 하니 마니 하는게 창피할 정도로 굉장히 단순한 형태의 극한식입니다


분자를 

꼴의 합성함수로 이해할 수 있거든요


합성함수의 0으로 가는 극한의 본질은, 먼저 겉함수를 수렴하도록 하는 간단한 꼴의 인수 h(x)를 나누고 곱하여 f(g(x))에 대한 극한을 h(g(x))에 대한 극한으로 변형시킨 뒤 속함수를 해결하는 것입니다


그러므로 첫째로 해야 할 일은


을 만족하는 적당한 간단한 꼴의 h(s)를 찾는 것입니다


여기서 직관적으로 분자는 y=√x를 반드시 (0, 0)을 지나도록 평행이동시킨 꼴이고 따라서 g(t)가 0일 때 h(s)=√s, g(t)가 0이 아닐 때 h(s)=s(미분계수의 정의를 떠올려보면, (0,0)에서 미분가능한데 미분계수가 0이 아니므로...)라는 것을 직관적으로 내다볼 수 있으나 지금은 문제를 푸는 중이니 좀더 연역적으로 접근해봅시다.


분자가 무리함수 꼴입니다

무리함수는 이차함수의 부분적인 역함수이고 따라서 위의 극한을 역함수의 극한으로 해석할 수 있습니다

역함수의 극한의 기본은 치환을 통해 식변형을 시도하는 것입니다


첨언하자면 무리함수, 분모분자가 일차함수인 유리함수, 일차함수, 이차함수, 로그함수, 지수함수는 대수적으로 =c 꼴의 방정식의 근을 구하기 쉬운 함수인데, 이는 곧 역함수를 구하기 쉬운 것과 같습니다

역함수를 구하기 쉬운 성질은 곧 치환하기 편하다는 성질로 이어지고, 실제로 상술한 함수들은 극한 계산이든 치환적분이든 상당히 자주 치환되는 편입니다


예를 들면 lim x->0 (e^x–1)/x =1의 증명도 e^x–1을 t로 치환하는 것이 핵심이고, lnx를 적분할 때도 1을 적분하지 않고 lnx를 t로 치환한 다음 부분적분을 시도할 수 있습니다 

어느 쪽이든 부분적분을 해야 하는 것은 마찬가지지만요


하여튼, 

로 치환하면


이고


s->0+일때 k->0+이므로 앞의 극한을



로 바꿀 수 있습니다


여기서 g(t)=0인 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 볼 수 있겠죠

h(s)를 고르는 것은 1. 단순한 꼴이고, 2. 극한이 수렴하기만 하면 무엇이든 상관없습니다 

g(t)=0이라면 h(s)=√s를, 그렇지 않으면 h(s)=s로 고르는 것으로 충분합니다



글로 쓰니 주저리 주저리 길어졌는데, 지금까지의 내용들을 다시 정리하면 이렇습니다




1. g(t)가 0이 아닐 때



에서


가 0이 아닌 값으로 수렴하므로 박스 안 극한이 수렴할 필요충분조건은


가 수렴하는 것이고,



2. g(t)가 0일 때


에서 박스 안 극한이 수렴할 필요충분조건은


가 수렴하는 것입니다



그런데 두 케이스 모두, 극한의 수렴 여부가 t의 값과 독립적이므로, 두 극한 중 하나는 수렴하고 하나는 수렴하지 않아야 하고,

2. 의 극한이 수렴하면 1. 의 극한이 0으로 수렴하므로 

1.의 극한이 수렴하고, 2.의 극한이 수렴하지 않아야 합니다


1.의 극한이 수렴하기 위한 필요충분조건은 f(x)=(x+3)(x-m)이고,

2. 의 극한은 g(x)가 x=0 근방에서 삼차함수인 고로 절대로 수렴할 수 없으므로,




박스 안 조건은

" t=–3, 6인 경우, 그리고 오직 그 경우에만 g(t)=0이고, f(x)=(x+3)(x–m)이다. "와 동치입니다.


따라서,

에서 

m=–3 또는 m≥0이고,

a>0, b>3에서 f(b–3)=f(b+m)=0이므로 m=–3, b=9입니다



마지막으로 x=0에서의 연속성을 활용하면 a=3/4고

따라서 g(4)=19입니다




다쓰고 보니 ㅈㄴ 마음에 안드네요 

뭔가 약파는 느낌

아무튼 읽어주셔서 감사합니다

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