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경​나 [1352463] · MS 2024 · 쪽지

2025-04-08 13:01:18
조회수 414

테일러급수를 이용한 근사를 교과내로 끌고오기

게시글 주소: https://orbi.kr/00072759696

원제목은 "sinx 테일러급수 3차항까지 교과내로 보이고 싶어서" 였다

근데 글쓰면서 테일러급수를 이용한 근사 자체를 교과내로 끌고올 수 있다는 걸 깨달음


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ


x–sinx/x³ 수렴성 가정 없이 구해보려고 아침 내내 씨름했는데 

뭔가 눈곱만큼이나마 알아낸 것들 있어서 기록으로 남김









1. 일단 테일러급수 3차항까지 교과내로 보이려고 했다는건 무슨의미인가


함수 f(x)에 대해 이면 


이렇게 나타낼 수 있을 것임

이러면 차수가 n차 이하인 극한식에서 다루기 편해질때가 있겠죠

마찬가지로 sinx도


임을 보인다면 


라고 나타낼 수 있을 거임










2. 덧셈정리?


 

이렇게 하면 값 자체는 알 수 있는데 문제가 뭐냐면 그 값이 극한이 수렴한다는 가정 하에서의 극한값이라는 거임


그러니까 '극한이 수렴함을 증명'이라는 열쇠가 없으면 못 여는 상자 안에 갇혀서 애석하게도 못쓰는 상태임


근데 혼자 여러 방법도 시도해보고 구글링도 해본 결과 그냥 차라리 수렴한다는 가정 없이 극한값을 직접 구하는게 훨씬 효율적이라고 결론내림







3. 그래서 어떻게 계산하는가


평균값 정리로 풀 수 있지 않을까 시도해봤는데 이게 내 능력부족인지 아니면 원래 안되는 건지 궁금해서 실패한 시도 먼저 공유해보려고 함


1) 평균값 정리 이용하기


x-sinx/x³은 x=0에 대해 선대칭이니까 x->0+인 경우만 보이면 x->0-인 경우도 대칭적으로 보일 수 있으니 x->0+인 경우만 보겠음


라고 하면, f(x)는 실수 전체 미분가능이므로 평균값 정리에 의해


로 나타낼 수 있음


이고 x->0+일때 c->0+이므로


이 0이 아닌 값으로 수렴하고,

따라서 원래의 극한


이 수렴할 필요충분조건은 


이 수렴하는 것임





에서


이고

 적절한 열린구간 (0, h)에서 라고 정의하면

이고, c의 유일성도 확인됨

이제 원래의 극한

을 계산할 차례인데, 


계산을 위해가 수렴하는 적당한 h(t)를 골라보자.


라고 하면 t->1-일때 k->0+이고


에서 극한을 뚫어져라 쳐다보면


가 가능하다는걸 알수있음


따라서,


로 나타낼 수 있고,


가 0이 아닌 값으로 수렴하므로,


가 수렴하기 위한 필요충분조건은



가 수렴하는 것임을 알 수 있는데,



이므로


의 수렴성은


의 수렴성에 의해 좌우됨을 알 수 있다.












고장났다 이기








생략하겠지만 f(x)를 


로 잡아도 결국 순환논증으로 귀결됨


평균값정리로 바로 계산하는 건 뭐 어케 해야하는 건지 원래 안되는건지 잘 모르겠음








2) 진짜로 구하는 방법

이건 직접 찾은건데 후술할 숏컷에 비하면 ㅈㄴ 돌아가는 풀이인데다 확장도 불가능함



로부터


로 나타낼 수 있고 양변을 부정적분 때리면


인데, 따라서


임을 보이는 것은



에서



임을 보이는 것과 논리적으로 동치임을 알 수 있음

이번에도 마찬가지로 F(x)=–F(–x)이므로 우극한이 0으로 수렴함을 보이는 것으로 충분하고, 

F(0)=0이고 F(x)는 실수 전체에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해



라고 할수있음

그런데 에서 


이고


이고


위에서 


였던 것을 상기시키면


부등식의 양변에 x->0+ 극한을 취함으로써 샌드위치 정리를 적용하면


임을 얻을 수 있음


상술했다시피 


인고로



이고


앞에서 봤듯이 

임












3) 굳이 이렇게 돌아가야 할까?

아래의 풀이는 구글링하다 발견한 갓-외궈 성님의 풀이임


적당한 열린구간 (0, h)에서

양변을 0부터 x(0<x<h)까지 정적분하면



0부터 x까지 다시 정적분



again



따라서



양변에 샌드위치를 쓰면




우함수이므로






이 외에도 존나 다양한데

궁금하면 구글링 ㄱㄱ

기하적으로 증명하는 것도 있던데 그건 이해하기 너무 힘들어보여서 그냥 뒤로가기 누름




4. 그래서 어따 쓰는데


일단 위의 결과와


를 엮으면



도 알수있고


따라서





로 나타낼 수 있고

추가로

를 바탕으로


로도 나타낼 수 있음


당장은 이차/삼차항까지밖에 증명하지 못해서 활용이 제한적이긴 한데

더 높은 차수의 경우도 교과내로 증명이 가능하다면야..


..라고 써놓고 보니


위의 부등식 양변 정적분을 계속한다면?


그니까 여기서


한번더하면



한번더하면



이거 일반화 되겠는데?




 여기서 양변을 2n번 0부터 x까지 정적분하면





따라서 샌드위치 정리에 의해



대칭성에 의해 x->0인 경우에도 마찬가지고


따라서


sinx에 대해 정리하면



n이 0인 경우에도 정의되니까 깔끔하게







이때 g_n(x)가 n->inf일 때에도 정의되는가는 차치하고

n을 무한대로 보내면 직관적으로 

 

 

이런 꼴이 됨



마찬가지로

 양변을 0부터 x까지 2n번 정적분하면


음.. 이건 스스로 해보자

굳이 그래야 하나 싶지만 나중에 시간나면 수정해서 유도과정 추가하겠음

어쨌든 결과는 이렇게 나올것이다










그래서 이렇게 구한 sinx와 cosx의 테일러급수가 뭔 의미가 있느냐?

미분해서 구한 거랑 뭐가 다르냐? 하면


미분으로 구한 건 로피탈 없이 극한식에서 교과과정 내 논리로 사용할 수가 없다


예를들어 sinx를 미분으로 마찬가지로


꼴로 나타낼 수 있음을 보였다고 치자


그래봤자


여기서


로피탈 안쓰면 이거 계산이 안된다


그래서 교과내로 더이상 풀이를 전개할수가 없음


반면 



이렇게 나타낸 꼴은 교과내로 저 극한을 계산할 수 있게 해줌



이제 우리는 교과내로


따위의 극한도



로 생각하고




이렇게 처리할 수 있게 됨


예시가 좀 짜치긴 한데 가끔 비상탈출버튼 정도는 됨





결론과 요약)


1. 미분으로 만든 테일러급수 근사 꼴은 로피탈 없이 극한식에서 논리적 비약 없이 근사 불가능함

2. 그래서 미분 없이 극한 수렴속도로 3차항까지 나타내려고 해봄

3. 3차항까지 나타내려고 이것저것 해보다가 외궈성님 풀이에서 일반화할수 있음을 발견함

4. 극한식에서 sinx와 cosx의 테일러전개 근사를 교과내로 끌고옴

5. 타이핑 ㅈㄴ 오래걸렸는데 막상 다쓰고나니 스크롤이 짧아서 슬프다



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