[칼럼] '수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법.' - '수학1 - (1) 지수와 로그'

‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법,’ - 수학Ⅰ- (1) ‘지수와 로그’

 안녕하세요. ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법’의 ‘이다정’입니다.

 이제 6월 모의고사가 얼마 남지 않았습니다. 이 시점에서 대수능 수학 과목 중 공통과목인 ‘수학Ⅰ’, ‘수학Ⅱ’이 많이 부족하고 어려움을 느끼는 수험생이 있기에 정리를 해보려고 합니다. ‘수학Ⅰ’을 어떤 시점에서, 어떤 관점으로, 문제를 처음 접했을 때 어떻게 접근해야 하는 지 이 글을 통해서 알 수 있으리라 생각이 듭니다.

 ‘수학Ⅰ’ 과목은 크게 ‘지수함수 & 로그함수’, ‘삼각함수’, ‘수열’로 3가지의 단원으로 이루어집니다. ‘수학Ⅰ’의 첫 번째 칼럼에서는 ‘지수함수 & 로그함수’에 대해서 써보려고 합니다.

1. 거듭제곱근이란. [정의] (★★★★★)

- 거듭제곱근에서 가장 중요한 것은 2가지라고 생각합니다. (1) 정의, (2) 차수(홀수, 짝수)입니다. 

 (1) 정의는 ‘a의 n제곱근’이라는 말이 나왔을 때, a의 n제곱근은 'x^n = a'란 방정식의 실근이라는 것을 기억하시면 쉽습니다. ‘a의 n제곱근’이라는 말과 'x^n = a'란 방정식의 꼴을 생각하시며 문제를 읽어가시면 좋을 거 같습니다. 

 (2) ‘차수’란, 'x^n = a'에서 n이 홀수인지, 짝수인지에 대한 개념입니다.

A. ‘n이 홀수라면’ y=x^n과 y=a 이 두 함수는 a가 양수, 음수, 0중 어떤 수든지 간에 항상 교점 1개를 가지므로 실근은 항상 1개가 나올 것입니다.

B. 만약 ‘n이 짝수라면’ a의 범위에 따라서 교점의 개수가 달라지기 때문에 실근의 개수가 달라질 것입니다. a가 양수라면 실근이 2개가 나올 것이고, 여기서 나오는 두 실근은 y=x^n (n은 짝수) 함수가 우함수(y축 대칭)이기 때문에 부호가 다른 두 개의 실근이 나오게 될 것입니다. a가 0이라면 x=0에서 실근이 한 개가 나오고, a가 음수라면 두 함수 간의 교점이 발생하지 않기 때문에 실근의 개수는 0이 될 것입니다.

 저는 이 개념을 ‘특별히’ 외우지 않습니다. 만약 문제를 풀 때 이 개념이 나왔는데 내가 홀수차, 짝수차에 따른 실근의 개수가 흐릿하다 싶으시면 ‘그래프’를 그리면 됩니다.

 n이 홀수면 쉽게 삼차함수(x^3)을 그리시면 되고, n이 짝수면 이차함수(x^2)을 그리시고 y=a를 ‘양수, 음수, 0’에 맞게 그리며 교점의 개수를 파악하고, 실근을 파악하시면 됩니다.

 ※ 계산의 효율을 위해서 : 저는 개인적으로 복잡한 거듭제곱근(루트)의 계산이 문제로 출제되었을 때 거듭제곱근(루트)을 지수로 바꾸는 편입니다. 거듭제곱근을 지수로 바꾸시면 지수법칙을 이용해서 쉽게 계산을 할 수 있습니다. 거듭제곱근과 지수를 유기적으로 바꾸시며 계산하면 복잡한 계산이 조금 더 쉬워지리라 생각이 듭니다.

2. ‘로그 (log_a b)’ (밑이 a, 진수가 b인 로그)

- 다수의 수험생의 경험을 비추어보았을 때 고등과정에서 ‘지수’를 배울 때보다 ‘로그’를 배울 때 더 어렵다고 합니다. ‘지수’는 이전 초, 중등 과정에서도 쉽게 볼 수 있지만 ‘로그’는 고등과정에서 처음 접하는 개념이기 때문입니다. 

- 제가 처음 ‘로그’를 배울 때 ‘로그는 지수다.’라는 말로 ‘로그’를 배웠습니다. 로그를 어렵게 생각하시는 분들이 많은데 로그를 지수로 생각하시면 조금 더 접근하기가 쉬우리라 생각합니다. ‘log_a b’가 있다면 이 로그는 a를 b로 만드는 지수입니다. ‘a^(log_a b) = b’ 이기 때문에 로그를 볼 때 지수라고 생각하시면서 보시면 더 좋을 거 같습니다. 

2-1. 로그의 조건 (밑과 진수)

- ‘로그’를 처음 접하시면 새로운 용어 두 가지를 배우게 됩니다. ‘밑’과 ‘진수’입니다. ‘log_a b’에서 ‘a'를 ’밑‘이라고 하며, ’b'를 ‘진수’라고 합니다.

- 밑의 조건 : a>0, a≠1

- 진수의 조건 : b>0

 이 두 가지 조건을 꼭 알고 계셔야 로그에서 밑이나 진수가 미지수로 제시되었을 때 각 미지수에 대해서 범위를 제한할 수 있습니다.

2-2. 로그의 밑의 변환 공식 (★★★)

- 로그의 밑은 자유롭게 변환할 수 있습니다. 이를 저희는 ‘로그의 밑(의) 변환 공식’이라고 말합니다. 로그의 밑을 통일시키는 것은 로그의 연산 과정에 있어서 필수적이라고 할 수 있습니다. 그렇기에 밑을 가장 쉽게 통일할 수 있는 방법인 ‘밑 변환 공식’을 통해서 밑을 통일한 후 계산하는 것이 필요합니다. 물론 밑 변환 공식을 사용할 때 새로운 밑을 c라고 했을 때 c는 로그의 밑 조건을 만족해야 합니다. (보통 계산과 표현을 쉽게 하기 위해 밑을 10으로 변환하여 상용로그를 많이 이용합니다.)

 지수에서도, 로그에서도 계산할 때 가장 중요한 조건이 밑이 같아야 한다는 점입니다. 그렇기 때문에 지수, 로그 계산식에서 밑을 먼저 확인하신 후에 만약 밑의 숫자나 문자가 다른 경우 밑을 변환하여 밑을 통일시킨 후에 계산하는 것이 절대적이고 필수적입니다.

 ※ 로그의 곱셈: 로그의 곱셈에서는 무조건 밑변환을 하고 계산하셔야 합니다. 생각보다 많이 로그의 곱셈 개념을 모르시는 분들이 많더라고요.

3. ‘지수’와 ‘로그’는 다르지 않다. (★★★★★)

- 만약 저에게 ‘지수와 로그’ 단원의 칼럼 중 가장 중요한 한 가지를 뽑으라고 한다면 저는 당연히 이 3번 주제입니다. 너무 뻔하고 당연한 말이지만 많은 수험생이 문제 풀이에 있어서 이를 이용하는 것이 자연스럽지 못합니다.

- ‘a^b = c’ 라고 했을 때, 이 방정식은 분명히 지수로 표현되어있습니다. 하지만 이 지수식을 보고 로그를 이용한 방정식으로 표현할 줄 알아야 합니다. 제가 위에서 로그의 정의에 관해서 설명할 때 log_a b는 a를 b로 만드는 지수라고 했습니다. 지금 ‘a^b = c’ 식을 보았을 때 a에 b라는 지수를 씌우니 c라는 값이 나왔습니다. 그렇다면 b는 a를 c로 만드는 지수이므로 'b = log_a c'라고 쓸 수 있습니다. 저는 이 과정을 설명할 때 [‘밑’은 ‘항상’ ‘밑’]이라는 말을 사용합니다. ‘지수’에서 ‘로그’로 변환할 때도, ‘로그’에서 ‘지수’로 변환할 때도 ‘밑’은 ‘항상’ ‘밑’의 위치에 놓여있다는 점을 기억하시면 지수에서 로그로의, 그 역과정도 자연스럽게 문제 풀이에 이용될 수 있다고 생각합니다.

 이 방법에 관해서 설명하는 이유는 바로 수험생 개개인에 있습니다. 어떤 학생은 로그를 통한 계산 풀이를 부담스러워하고 지수를 통한 계산 풀이를 선호할 것이며 다른 학생은 지수보단 로그를 통한 계산 풀이를 선호할 것입니다. 수험생 각각의 선호도에 따라서 지수를 로그로, 로그를 지수로 변환하며 선호하는 계산 풀이로의 유도가 가능하다는 것입니다. ‘지수’를 ‘지수’로만 보지 않고, ‘로그’를 ‘로그’로만 보지 않으며 ‘지수’와 ‘로그’는 다르지 않다고 생각하셔야 합니다.

4. '상용로그'란 (log_10 a)

- ‘상용로그’란 알고 보면 되게 문제 풀이에 있어서 간접적으로도 많이 사용되고, 직접적으로 상용로그에 대한 문제가 출제되었을 때도 한 가지만 알고 있다면 쉽게 풀이가 가능한 영역입니다. ‘상용로그’는 밑이 10인 로그를 말하며 밑인 10을 생략하여 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 ‘log_10 a = log a’ 라고 쓸 수 있는 것입니다. 로그의 밑변환 공식을 사용할 때도 보통 상용로그를 통해서 밑변환을 하는 경우가 많이 있기 때문에 상용로그를 표현하는 것에 있어서 주저함이 없어야 한다고 생각합니다.

- 만약 ‘상용로그’를 주제로 문제가 출시된다면 ‘상용로그표’가 같이 <보기>로 제시될 가능성이 높다고 생각합니다. 그렇기에 상용로그표를 보는 방법을 아셔야 합니다. 또한 추가로 상용로그표를 통해서 수를 나타내고, 값을 계산하는 방법도 아셔야 합니다.

ex) log 2.11 = 0.3222일 때 log 211의 값을 계산하는 방법도 당연히 알아야 합니다.

 log 2.11 + 2 = log 2.11 + log 100 = log 211 = 0.3222 + 2 = 2.3222가 되는 것입니다. 이렇게 덧셈과 뺄셈을 통해서 상용로그표를 보고 계산하는 방법을 아셔야 합니다.

⇒ 이렇게 ‘지수’와 '로그‘에 대해서 어느 정도의 정리를 해보았습니다. 다음은 ’지수함수‘와 ’로그함수‘입니다. 이 단원에 대해 들어가기 전에 ’함수‘에 대해서 먼저 알아보려고 합니다.

5. 함수에 대해서. (★★★★★)

- 지수함수와 로그함수를 들어가기 이전에 ‘함수’에 대해서 알아야 합니다. (수험생을 기준으로 작성하는 칼럼으로 기본적인 개념은 생략합니다.) 함수를 보는 관점에는 두 가지 관점이 있습니다. ‘(1) 식으로 보는 관점’과 ‘(2) 그래프로 보는 관점’입니다.

5-(1). ‘함수를 식으로 보는 관점’

- 함수를 식으로 보는 관점이란 간단합니다. 실수 전체를 정의역으로 하는 다항함수 f(x)가 있을 때, f(x)가 (a. b)를 지난다고 하면, 이를 식으로 나타내는 것입니다. ‘f(a)=b’를 쓰시고 x 대신 a를 대입한 f(a)와 b라는 값이 같다는 방정식을 푸는 것입니다.

ex) f(x)=ax+3 일 때, f(x)는 (3, 9)를 지나면 f(3)=3a+3=9를 풀면 됩니다. 이 방정식을 푸시면 a값은 2가 됩니다. 이렇게 함수에 대한 식이 나왔을 때 식으로 접근할 수 있어야 합니다.

5-(2). ‘함수를 그래프로 보는 관점’

- 함수를 그래프로 보는 관점은 조금 어색한 수험생들이 많을 수 있습니다. 일차함수나 이차함수가 나오는 경우는 쉽게 그래프를 그릴 수 있겠지만, 지수함수, 로그함수, 3차 이상의 다항함수가 식으로 나왔을 때 이를 그래프로 바로 그리기 어려울 수도 있습니다. 하지만 어떠한 함수가 나왔을 때는 오로지 식으로만 문제에 접근하기 보다는 그래프를 그려서 함수의 특징을 확인하면 더 쉽게 문제 풀이가 가능합니다.

5-(2)-추가. 그래프를 그릴 때 확인해야 하는 7가지 (★★★★★)

- 그래프를 그릴 때 확인해야 하는 특징들이 있습니다. ⓵ 정의역, ⓶ 대칭성의 존재, ⓷ x를 +INF(무한대), -INF로 보냈을 때 어디로 가는지, ⓸ 점근선, ⓹ 함수의 증가, 감소 구간, ⓺ 특이점(x절편, y절편), (추가 : ⓻ 변곡점) 등이 있습니다. 이러한 특징들을 파악하시면서 그래프를 그리시면 이전보다 쉽게 그래프를 그리실 수 있을 겁니다. 함수식을 보고 그래프를 그리는 것은 문제 풀이에 있어서 필수적이라고 개인적으로 생각합니다. 문제를 풀 때 그림이 나오지 않았다면 그림을 그릴 줄 알아야 하고, 그래프가 그림으로 주어지지 않았다면 그래프를 그릴 줄 알아야 문제풀이를 할 때 쉽게 할 수 있습니다.

<추가 :물론, 함수를 식으로만 접근해서도 문제를 풀 수 있습니다. 하지만 그래프를 직접 그려봄으로써 함수의 특징을, 문제의 조건을 더 쉽게 적용하고 파악할 수 있기 때문에 함수식을 그래프로 보는 관점에 대한 체화과정이 필요합니다.>

 이제 어느 정도의 함수에 대한 기본 정리가 되었기에 수학Ⅰ의 지수함수와 로그함수에 대해서 정리를 해보겠습니다.

6. ‘지수함수’란 (y=a^x)

 ‘지수함수’를 볼 때 가장 중요한 것은 3가지라고 생각합니다.

6-1. 지수함수 : 밑의 범위에 따른 그래프 개형의 변화 (★★★)

- 첫 번째는 ‘y=a^x’에서 a값이 '0<a<1' 일 때와 ‘a>1' 일 때의 그래프 개형이 달라진다는 것입니다. 만약 a의 값을 정확하게 주지 않은 경우 항상 '0<a<1' 일 때와 ‘a>1' 때로 케이스 분류하신 후에 문제 풀이를 하셔야 합니다. 이 두 가지 케이스로 나눈 후에 문제에서 제시된 조건들을 대입해보며 풀이를 하셔야 합니다. 이 2가지 케이스 중 1가지의 케이스를 배제한 상태로 문제를 풀게 되면 문제 풀이에서 모순이 발생할 수도 있으며 답 도출이 안 될 수도 있습니다.

6-2. 지수함수 : ’점근선‘과 평행이동/대칭이동 (★★★★)

- 두 번째는 지수함수의 ’점근선‘입니다. y=a^x 그래프를 보면 ’y=0'이라는 점근선을 가지고 있습니다. y=a^x를 x축을 방향으로 평행이동을 한 경우 점근선은 y=0으로 동일합니다. 하지만 함수를 y축을 방향으로 평행이동을 하면 점근선이 변하기 때문에 이 점을 유의하며 그래프를 그리고 조건과 <보기>를 대입하셔야 한다는 것입니다. 예를 들어 y=a^x 그래프를 y축을 방향으로 b만큼 평행이동 시킨다면 함수식은 y=a^x +b가 될 것이고 점근선도 y=b로 변하게 될 것입니다. 이를 생각하며 한 번쯤은 지수함수를 x축에 대하여 대칭이동을 했을 때와 y축에 대하여 대칭이동을 했을 때 점근선에 영향을 미치는지 확인해보면 좋을 것 같습니다.

6-3. 지수함수 : ‘특이점’ (★★★)

- 세 번째는 ‘특이점’입니다. y=a^x에서 한 개의 특이점이 있다면 당연 (0, 1)이라고 할 수 있습니다. a의 값과 무관하게 함수 y=a^x가 항상 지나는 점이기 때문입니다. 

 만약 y=2^x 함수를 x축의 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동을 한다면 함수식은 ‘y=2^(x-a) +b’가 될 것이고 이 그래프가 항상 지나는 점은 (a, 1+b)가 될 것입니다. 이 특이점도 평행이동에 대해서 영향을 미친다는 것을 생각하며 그래프를 그리고, 그래프의 특징을 이용하면 됩니다.

7. ‘로그함수’란 (y=log_a x)

 ‘로그함수’를 볼 때 지수함수와 동일하게 중요하게 보아야 하는 세 가지가 있습니다.

7-1. 로그함수 : 밑의 범위에 따른 그래프 개형의 변화 (★★★)

- 첫 번째는 ‘y=log_a x’에서 a값이 '0<a<1' 일 때와 ‘a>1' 일 때의 그래프 개형이 달라진다는 것입니다. 그렇기에 문제에서 a의 값을 주지 않은 경우에 지수함수의 풀이와 동일하게 케이스를 나누어 케이스별로 문제를 풀이하셔야 합니다.

7-2. 로그함수 : ’점근선‘과 평행이동/대칭이동 (★★★★)

- 두 번째는 로그함수의 ’점근선‘입니다. y=log_a x 그래프를 보면 ’x=0'이라는 점근선을 가지고 있습니다. 로그함수를 x축, y축 방향으로 평행이동 했을 때 점근선이 영향을 미치는지를 확인하고 11월의 대수능전에 미리 알고 계셔야 합니다. 또한 x축과 y축의 방향으로 각각 대칭이동을 했을 때 점근선이 변하는지, 변하지 않는지도 알고 계셔야합니다.

7-3. 로그함수 : ‘특이점’ (★★★)

- 세 번째는 ‘특이점’입니다. y=log_a x에서 한 개의 특이점이 있다면 당연 (1, 0)이라고 할 수 있습니다. a의 값과 무관하게 함수 y=log_a x가 항상 지나는 점이기 때문입니다. 평행이동을 했을 때 그래프가 이동하는 것이기 때문에 그래프 위의 점인 이 특이점도 x축 방향으로, 또는 y축 방향으로 평행이동하게 됩니다.

8. ‘지수함수와 로그함수는’ ‘역함수’ 관계이다. (★★★★★)

- ‘지수함수’와 ‘로그함수’는 ‘역함수’ 관계입니다. 수학Ⅰ을 공부하고 있는 학생이라면 당연히 이 관계에 대해서 알고 있을 겁니다. 또한, 역함수 문제가 나왔을 때 어떤 것을 이용해야 하는 지도 알고 있습니다. 많은 수험생이 역함수 관계로 문제에 접근할 때 원함수와 역함수만을 보는 것이 아니라 ‘y=x’도 함께 봐야 한다는 것을 알 것입니다. 하지만 여기서 그친다면 역함수의 관계에 대한 문제가 출제되었을 때 부족할 수 있습니다.

- 첫 번째는 'y=x'에 대해서입니다. 'y=x'는 중요한 함수입니다. 왜 이 함수가 중요한지는 ‘기울기’에 있습니다. 기울기가 1인 그래프 위 한 점에서 x축으로, y축으로 수선의 발을 내리면 직각삼각형이 생기는 것을 볼 수 있습니다. 또한, 이 직각삼각형은 예각이 45°인 직각이등변삼각형임을 알 수도 있습니다.

- 두 번째는 'y=-x+k' 그래프입니다. 'y=-x+k' 그래프는 원함수와 역함수 위에서 대칭인 두 개의 점을 이었을 때 생기는 직선입니다. 첫 번째 ‘y=x’에 대해서 설명할 때 알려드렸듯 y=x 그래프에서는 기울기가 1이듯, 'y=-x+k' 그래프에서는 기울기가 ‘-1’이기 때문에 y=x에서 사용할 수 있는 특징을 동일하게 사용할 수 있습니다.

- 세 번째는 원함수가 증가했을 때와 감소했을 때입니다. 원함수가 증가할 때 역함수도 동일하게 증가하며, 만약 교점이 있다고 하면, 이 교점들은 'y=x' 그래프 위에 존재합니다. 하지만 만약 원함수가 감소한다고 한다면 y=x 위에서 생기는 교점은 1개뿐이고 y=x를 기준으로 위쪽과 아래쪽에 쌍으로 교점이 생기게 됩니다. 즉 감소하는 함수의 경우 역함수와의 교점이 ‘1+2n’개씩 생기기 때문에 홀수개의 교점이 생긴다는 것을 기억하시면 좋을 것 같습니다.

 만약 문제에서 원함수와 역함수와의 교점이 6개라고 주어진다면 이 함수는 증가하는 함수라고 단언할 수 있습니다. 하지만 만약 교점이 5개라고 주어진다면 함수가 증가할 때와 감소할 때로 케이스를 나누어 문제를 접근하셔야 한다는 것입니다. 또한 y=x 위에 교점이 존재하지 않는 것도 주의하셔야 합니다.

9. ‘지수함수와 로그함수’와 ‘다항함수’의 교점 (★★★★★)

- 두 개의 다항함수 f(x)와 g(x)가 있다고 했을 때 이 두 함수의 교점을 구하는 방법은 f(x)=g(x)를 풀어 교점의 x값을 구하면 됩니다. 하지만 지수함수 f(x)와 로그함수 g(x)가 있다고 했을 때 이 두 함수의 교점의 x좌표를 구하기 위해 f(x)=g(x)의 방정식을 두어 풀 수 없습니다. 몇 개의 가능한 함수가 있겠지만 보통의 지수함수, 로그함수와 다항함수의 교점을 방정식을 통해서 구하는 것은 불가능합니다. 그렇기에 이런 경우는 그래프를 그려 교점이 어느 구간에 위치하는 것을 확인하는 과정이 필요합니다. 무작정 방정식을 푸는 것, 대입법을 통해서 푸는 것은 불가능할 수 있다는 것을 인지하고 계셔야 합니다.

ex) 대입법을 통해서 교점을 구할 수 있는 함수의 예

(x > 0의 구간에서) y=2^x 와 y=x^2 을 보면 대입법을 통해서 (2, 4)와 (4, 16)에서 교점을 갖는다는 것을 확인할 수 있습니다.

10. ‘3개’의 방정식이 엮여있을 경우 (지수·로그 방정식의 풀이: 필수 유형) (★★)

- 지수, 로그 문제들을 보면 ‘A=B=C’ 꼴로 생긴 조건들을 자주 보셨을 겁니다. 저 같은 경우 이런 모양의 조건이 주어진 경우 ‘= k’로 방정식에 식을 한 개 더 추가해서 A, B, C를 k에 대해서 정리합니다. 예를 들어 A=k, B=k, C=k로 쓴 후 이 세 개의 방정식을 각각 정리한 후 연립하고, 다른 추가 조건을 추가하여 문제가 원하는 답을 도출해 낸다는 것입니다. 물론 k를 통해서 정리한 후에 연산법칙(±÷×)을 통해서 식을 연립하고 정리하는 과정이 분명히 필요할 것입니다.

ex) ‘2021학년도 9월 가형 11번’

0. 수학Ⅰ을 공부하는 수험생에게

- 수학Ⅰ에 대해서 정리를 해보았습니다. 만약 이 글을 끝까지 읽으신 수험생이라면, 또한, 제 칼럼의 글을 읽는데 막힘이 없으셨다면 수학Ⅰ을 열심히 공부하고 있다고 생각합니다. 저는 이번 6월 모의고사에서, 앞으로의 9월 모의고사에서 가장 날씨가 추울 11월의 대수능에서 수학Ⅰ에 대한 문제가 어떻게 출제될지 어느 정도는 모의고사를 보며, 기출을 보며 예상은 할 수 있고, 모의고사의 앞부분을 풀고 있을 때 뒤에 어떤 문제가 나오는지에 대해서 예상할 수 있습니다.

 하지만, 지금의 단계에서 여러분들에게 쉽게 말씀드릴 수는 없을 것 같습니다. 지금의 단계에서 제가 수험생 여러분들에게 해드릴 수 있는 말은 ‘기본에 충실하자.’입니다. 기본에 충실히 기출문제를 분석하고 끝까지 최선을 다한다면 여러분들이 원하는 결과가 있으리라 생각합니다.

 당연히, 제 말이 절대적인 기준은 아닙니다.
  하지만, 수험생 여러분이 이 글을 보며, 칼럼을 보며 정리하며 공부했으면 좋겠습니다.

 궁금한 점이 있다면 댓글로 남겨주세요.
  항상 응원합니다.

 ‘모두 남은 시간 동안 최선을 다합시다.
 열심히 공부합시다. 이다정 입니다.’
 
 
 ‘홀로 일어난 새벽을 두려워 말고

별을 보고 걸어가는 사람이 되라’ [정호승 - 희망을 만드는 사람이 되라 중]
 
 
 ‘수능을 수능답게, 수학을 쉽게 보는 방법,’ - 수학Ⅰ- (1) ‘지수와 로그’

@ex_dajeong

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