복수했습니다

*주의 : 물1 실력이 낮아서 제 풀이가 쓸데없이 길 때가 있습니다. 가끔씩 물2 개념을 가져올 때도 있고요. 이 점 유의해주세요.

시작부터 괴랄한 문제네요.

먼저 q에서의 속력과 마찰 구간내에서의 속력이 서로 같다는 점을 이용하여 속력을 표시해줍니다. 그 후 마찰 구간의 길이와 높이를, 걸린 시간 t와 가속도 3a를 통해서 표현해줍니다. 여기서 저는 물2 개념을 빌렸는데, (물1 문제에 물2 개념을 빌린다는 것부터가 이상하지만) 빗면 p, q의 경사각을 θ₁이라고 하면 gsinθ₁=3a이므로 sinθ₁=3a/g임을 이용하여 각 구간의 길이를 표시했습니다.

t와 s의 높이 차를 H라고 두고, 수평면과 r 사이의 높이를 p라고 둔 다음, r에서 s까지 이동하는데 걸린 시간이 마찰 구간을 지나는 시간 t라고 했으므로, 구간 rs의 길이를 표시해줍니다. 높이가 h라는 것과 빗면에서의 가속도가 2a라는 것이 주어져 있으므로, 경사각의 사인값을 이용하면 됩니다. gsinθ₂=2a이니 sinθ₂=2a/g.

구간 rs에서 등가속도 직선 운동을 하므로, 평균 속력을 이용하여 또 하나의 식을 세워줍니다. 그리고 우측 빗면에서 세운 높이들을 참고하여, 마찰 구간의 끝 점의 높이를 표시해주세요.

이제 마찰 구간의 끝 점에서의 역학적 에너지와 t에서의 역학적 에너지가 서로 같음을 통해서 역.에.보. 식을 세우시면 3a*sqrt(2gh)*t=gh라는 식이 나오게 됩니다.

거의 다 왔습니다. 이 식을 평균 속력 식에다가 집어넣어서 t를 소거시키고 정리하면 H가 나오게 됩니다.

<주관적인 난이도>

물1 공부를 할 때, 이 문제에서 엄청나게 애를 먹었던 기억이 납니다. 식 정리도 어려워서 현장에서 멘탈이 나가기 좋았겠네요.. 지금 풀어봐도 개어렵습니다... 우웩 넘어갈게요. (난이도 9/10)

쉬는 시간을 안 주네요.

이 문제에서도 저는 어쩔 수 없이 물2 개념을 빌려야 했습니다. 두 빗면의 길이가 각각 d₁, d₂이고 높이가 h로 서로 같을 때, gsinθ₁=a₁, gsinθ₂=a₂에 의해서 h=d₁a₁/g=d₂a₂/g이죠. 즉,  d₁ : d₂ = a₂ : a₁ 이므로 이렇게 정리할 수가 있습니다. 높이가 서로 같은 두 빗면에 대하여 두 빗면의 길이의 비는 두 빗면에서의 가속도 비와 서로 반비례합니다.

구간 pq와 rs의 길이를 각각 2d, 3d라고 잡읍시다. A가 q를 지날 때 실이 끊어졌다고 했죠? q에서의 속력을 구하기 위해 운동 방정식을 세워보면 4ma-3ma=3ma' 즉, a'=a/3이네요. 이제 등가속도 운동 공식을 통해서 (혹은, 일*운동에너지 정리로 풀어도 됨. 사실 이게 더 간결함) q에서의 속력을 얻어냅시다! sqrt(4ad/3)이군요!

이제 실을 끊어보기 전에, A는 2d만큼 이동했으니 B 역시 2d만큼 이동해야 합니다. 즉, 실이 끊어진 직후 B의 위치는 q로부터 수평면과 멀어지는 방향으로 d만큼 떨어진 곳에 있다는 얘기입니다. B부터 살펴보면, 마찰 구간에서의 속력은 일정하다고 했으니, s에서의 속력만 구하면 되겠네요? 이 빗면에서의 가속도가 2a라고 했으므로 일*운동에너지 정리를 이용하면 s에서의 속력을 손쉽게 구할 수가 있겠죠! sqrt(16ad/3)네요!

그러면 마찰 구간에서의 B의 운동 에너지는 16mad/3이네요. 수평면에 닿기 직전의 A의 운동 에너지가 이의 2배라고 했으므로 이 운동 에너지는 32mad/3. 수평면과 p까지의 빗면 길이를 2p라고 두고 일*운동에너지 정리를 통해서 p를 구해보면, p=2d/3이라는 걸 알 수가 있습니다. 높이의 비는 빗면 길이의 비에 비례하므로 답은 5번입니다.

장담합니다. 잘 가시다가 마지막에 트롤해서 1번을 찍은 사람이 있을 겁니다.

<주관적인 난이도>

이것 역시 물1 공부할 때 상당히 애를 먹었습니다. 빗면 길이와 가속도 크기의 관계를 몰라가지고 접근도 못하고 포기했었는데, 지금이라도 이렇게 깔끔하게(?) 푸니까 속이 뻥 뚫리네요. 231120보단 그래도 상대적으로 쉬웠습니다. 그렇다고 이 문제가 쉽다는 건 아님 (난이도 8/10)

이건 좀 할 만했습니다.

먼저 B의 에너지부터 분석해봅시다. 여기서 편의상 두 용수철이 d만큼 압축됐을 때의 탄성 퍼텐셜 에너지를 K라고 잡았으며, A, B의 질량은 a, b라고 대체했습니다. B가 Q를 완전히 압축시켰을 때부터 살펴보면, 이 때 Q가 있는 수평면에서의 B의 처음 운동 에너지는 2K라는 걸 확인할 수가 있어요. 수평면에서의 중력 퍼텐셜 에너지를 0이라고 잡으면, 2K는 결국 B의 역학적 에너지랑 동일하겠죠. 

그리고 마찰 구간을 등속도로 지난다고 했는데, 여러분께 질문 하나 드려보겠습니다. 물체가 마찰 구간을 등속도로 지나면 물체는 얼마만큼의 역학적 에너지를 손실할까요?

마찰 구간 시작점에서의 역학적 에너지를 E+P (E는 운동 에너지, P는 중력 퍼텐셜 에너지)라고 하면, 끝점에서의 역학적 에너지는 속력이 일정하므로 E가 될 겁니다. (마찰 구간 끝점에서의 중력 퍼텐셜 에너지는 0) 그러니까 P만큼의 에너지를 잃는다는 거죠. 한 마디로, 특정 구간을 일정한 속력으로 지나 내려갈 때, 물체는 그 구간의 높이만큼의 중력 퍼텐셜 에너지를 잃게 됩니다. 

그러면 높이가 h인 곳에서 용수철 P와 떨어져 있을 때 B의 역학적 에너지는 2K+2bgh이겠네요. 그리고 문제에서 A, B기 분리된 후 P의 탄성 퍼텐셜 에너지의 최댓값은 B의 마찰 구간에서의 역학적 에너지 감소량 2bgh랑 같다고 했음에 유의합시다. 그러면 초기 P의 탄성 퍼텐셜 에너지 4K는, 결국 분리 후 P의 에너지 최댓값 2bgh랑 B의 분리 직후 '운동 에너지'의 합이랑 같다는 거겠네요. 

정리하면 K=3bgh/2라고 나옵니다. 이제 마지막으로 A를 살펴봅시다. A와 B가 분리된 직후에, A는 최대 운동 에너지를 갖게 될 겁니다. 분리 직후 B의 최대 속력이랑 같은 속력을 같겠지요. P에서 연결된 동시에 서로 접촉된 두 물체는 분리 전 같은 속력으로 이동하는데, 여기서 분리 직후의 두 물체의 속력도 서로 같으니까요. 이때의 A의 운동 에너지는 분리 후 P의 최대 에너지 2bgh랑 같게 됩니다.

높이가 h인 곳에서의 B의 운동 에너지 2K+bgh=4bgh로부터 최대 속력 v=sqrt(8gh)를 얻어내신 후, 위와 같이 정리하면, A와 B의 질량 비가 나오게 됩니다.

<주관적인 난이도>

제가 무식하게 길게 적어놓긴 했지만, 사실 이 문제는 그렇게 과하게 어려운 게 아니었습니다. 그림과는 다르게, 생각보다 할 만하다고 생각해요. (난이도 5/10)

현역 때 이 문제한테 제대로 거하게 두들겨 맞았습니다.

먼저 q의 높이를 p라고 잡고, 마찰 구간의 길이를 d라고 잡아봅시다. 최저점에서의 역학적 에너지를 위의 (가)처럼 표시하시고, 빗면 위의 가속도와 마찰 구간에서의 가속도를 같이 표시해주셔야 합니다. 위처럼요. 마찰 구간에서의 가속도가 일정하다고 한다는 건 결국 마찰 구간에 일정한 마찰력이 작용한다는 거 아니겠습니까?

물체의 역학적 에너지는 마찰력에 의해서 손실되므로, (가)에서 r에서의 역학적 에너지는 최저점의 역학적 에너지에서, 마찰 구간이 물체에 한 일의 양을 빼면 나오겠네요.

이제 (나)를 봅시다. 이 경우에는 마찰력이 (가)에서와 서로 반대 방향으로 작용하게 된다는 거 잊지 마세요. 문제에서 마찰 구간을 지날 때마다 물체 속력이 줄어든다고 했으므로, 마찰 구간에서의 알짜힘은(즉, 빗면 위의 가속도에 의한 힘 + 마찰력에 의한 힘) 물체의 운동 방향과 반대 방향이어야 합니다. 

마찰력이 물체에 한 일의 양을 빼서 역학적 에너지 보존 식을 위처럼 세워보면 h₁에 대한 정보가 나오게 됩니다. (gh₁=4ad) 그런데 우리가 아직 사용하지 않은 정보가 있죠. 마찰 구간을 지나면서 손실된 역학적 에너지는 (가), (나)에서 서로 같다는 것이요. 하늘색 식으로 적어뒀으니 참조하세요. 그러면 h₂에 대한 정보도 튀어나오니, (gh₂=ad) 최종적인 답을 구할 수가 있는 거죠.

<주관적인 난이도>

그림은 단순한데 은근 까다롭습니다. 하도 수험 생활 때 물리 문제 풀이 연습을 많이 해와서 풀이 길이가 여기까지 줄어들 수가 있긴 했는데, 그래도 어려운 건 기정 사실인 것 같습니다. (난이도 7/10)

물1러라면 굉장히 익숙한 이 문제!!

만만한 B부터 봅시다. 역에보를 통해서 속도를 바로 구할 수가 있죠?? 아차! 문제에서 (가)에서 두 물체가 충돌하기 직전의 두 속력이 서로 같다고 했으므로, A의 속도도 표시해줍시다.

편의를 위해서 용수철이 d만큼 압축했을 때의 에너지를 K라고 표시합니다. (가)에서 A의 처음 역학적 에너지는 K+mga이겠네요. (h_A=a로 표시함) 마찰 구간에서 등속도 운동을 하며 내려온다고 했으니, 제가 방금 언급한 것처럼, A는 2mgh의 에너지를 잃게 됩니다. 그러면 수평면에서 충돌 직전 운동 에너지는(=역학적 에너지) K+mga-2mgh인데, 속력이 3sqrt(2gh)라고 하니까, 운동 방정식 등식을 적어둡시다. 그 후, 운동량 보존 법칙을 통해, (나)에서 A의 속도를 구해주세요. 그러면 크기는 5sqrt(2gh)이고 방향은 좌측인 속도로 나올 겁니다.

마찰 구간을 올라갈 때 손실된 역학적 에너지는 (가)에서랑 2mgh로 동일하게 됩니다. 역에보 식을 세우면 4K+mga+2mgh=25mgh이겠군요. 

최종적으로, (가)에서의 운동 방정식 등식과 (나)의 역에보 식을 서로 연립하여 K가 소거되도록 설계하면, a가 나오게 됩니다.

<주관적인 난이도>

이 문제를 처음 접했을 때가 기억나네요. 비주얼에 먼저 경악. 그리고 그때의 자신의 능지로는 도저히 알아낼 수가 없는 접근법에 의욕 상실. 딱 이 두 단계로 인해 제 멘탈이 탈탈 털렸었죠. 하지만 지금은 저의 매콤한 점심밥입니다. (난이도 6/10)

이 문제는 생각보다 재미있고 맛있어서 가져와봤습니다.

먼저 문제에 주어진 대로, 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 증가량 18kd²은 A의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량 6mgh의 3배인 18mgh랑 같다는 걸 통해서 kd=mg임을 바로 알 수가 있습니다.

이제 두 물체가 서로 분리되기 직전의 상황을 봅시다. 이때의 두 물체의 속력을 v라 잡고 역에보 식을 적용해보면, 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 18kd²=18mgh와 두 물체의 중력 퍼텐셜 에너지 12mgh의 합 30mgh가 바로 두 물체의 운동 에너지 mv²입니다. 따라서 v=sqrt(30gd)입니다.

이제 B가 분리된 후를 살펴봅시다. B가 분리돼도 분리 직후 A의 속력은 v임을 인지하세요. (나)에서 용수철이 d만큼 늘어나 있단 것에 유의하여 역에보 식을 세워보면, A의 위치의 기준의 중력 퍼텐셜 에너지를 0으로 잡으면, 용수철의 평형점에서의 A의 중력 퍼텐셜 에너지 mgd와 A의 운동 에너지 15mgd의 합 16mgd가, 용수철이 d만큼 늘어났을 때의 에너지 0.5mgd와 A의 운동 에너지의 합이란 걸 알 수가 있습니다. 따라서 A의 운동 에너지는 31mgd/2입니다.

<주관적인 난이도>

용수철에 관한 에너지를 연습하는 데에 도움이 되는 문제인 것 같습니다. 쉬우므로 물1을 막 공부하신 분들은 이거 한 번 더 풀어보세용 (난이도 3/10)

물1러라면 익숙한 문제 2!

높이 문자들은 타자치기 귀찮으므로 각각 a, b라고 잡겠습니다. A는 마찰 구간에서 등속도 운동을 하며 내려온다고 했으므로 9mgh/4만큼의 에너지를 잃겠네요. 그러면 충돌 전 A의 수평면에서의 운동 에너지는 3mga-9mgh/4이겠고요.

B는 충돌 전 속력이 sqrt(2gb)이고, 충돌 후 속력이 sqrt(8gh)=2sqrt(2gh)란 걸 알 수가 있는데, 문제에서 주어졌듯 B의 속력은 충돌 후가 충돌 전의 2배라고 했으므로 b=h란 걸 알 수가 있어요.

또한 A의 충돌 후의 속력이 sqrt(2gh)/2라는 걸 충돌 후 A의 최종 위치로부터 알아낼 수가 있으므로 이제 운동량 보존 법칙을 통해서 충돌 전 A의 속력을 구해내면 됩니다! 답은 3sqrt(2gh)/2이에요.

그럼 끝났네요. 충돌 전 A의 운동 에너지는 3mga-9mgh/4=27mgh/4. 따라서 a=3h이에요.

<개인적인 난이도>

솔직히... 221120보다 더 쉬웠습니다. 221120의 하위호환(?) (난이도 4/10)

.......그런데,

A의 초기 높이가 3h라면, 적어도 비율은 맞춰주시지 그랬어요?

아, 어차피 그림이 개떡같아도 문제 푸는 데엔 지장이 없으니까 저렇게 맞추신 건가...

아무튼 이 문제는 난생 처음 보는 유형이어서 아예 손도 못 대고 포기했던 문제였습니다.

먼저 B에 연결된 물체부터 분석해봅시다. 두 물체의 질량은 m으로 잡습니다. 용수철 B가 늘어나 있으므로 아래쪽으로 크키 kL의 힘이 작용할 겁니다. 또한 아래쪽으로 크기가 mg인 중력이 작용하고요. 즉, 이 물체에 연결된 실의 장력은 kL+mg라는 소리겠죠.

이제 A와 연결된 물체입니다. 이 물체에서 아래쪽으로 작용하는 힘은 중력 mg와 장력 kL+mg입니다. 즉, A를 위로 당기는 힘의 크기는 kL+2mg이어야 한다는 거예요. 도르래의 질량은 무시하라고 했으니 위쪽에 있는 실과 용수철만 봅시다. 여기서 중요한 게 있습니다. 결국 물체의 양 끝에 실과 용수철이 각각 연결되어 있는 것이니, 이 물체가 정지해있으려면, 실과 용수철에 작용하는 힘이 서로 같아야 합니다.

이 사실로부터, A의 탄성력 크기 kL의 2배 2kL=kL+2mg이므로, kL=2mg라는 것을 알아낼 수가 있습니다. 이제 (나)의 B를 봅시다. 이건 생각보다 단순해요. 그냥 역에보 식을 위처럼 세우기만 하면 끝입니다. 물체의 중력 퍼텐셜 에너지 mg(L+x)와 (가)의 B의 탄성 퍼텐셜 에너지 0.5kL²=mgL의 합이 (나)의 B의 에너지 0.5kx²랑 동일하다는 식을 세우면 돼요. 이차방정식이 나오긴 하는데 그래도 간단하잖아요, 그쵸?

<주관적인 난이도>

저 험악한 비주얼만 봐서는 굉장히 어려울 것 같으나, 실상은 그리 미친 듯이 어렵진 않았습니다. (가)의 실과 용수철에 작용하는 힘이 서로 같아야 함을 인지 못 했다면 어려웠을 것 같네요. (난이도 4~7/10)

A는 p, q, r에서 각각 순간적으로 정지합니다.

p, q, r에서의 전체 역학적 에너지를 각각 적으신 다음, 손실된 역학적 에너지를 구하기 위하여, 각 점에서의 역학적 에너지의 차이를 구하시면 됩니다. 그 후, K를 소겨시켰어야 했는데, 제가 멍청하게 W를 소겨시켜버렸네요...;;

역학적 에너지를 적으실 때, A의 운동 에너지는 각 점마다 0이므로 무시하세요. 그리고 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 뿐만 아니라 B의 중력 퍼텐셜 에너지도 고려하셔야 합니다! p일 때엔 B가 특정 기준점으로부터 7L의 높이에 있고, r일 땐 기준선에 있고, 마지막 q일 땐 4L의 높이에 있다고 생각하셔야 돼요!

<주관적인 난이도>

저 B의 중력 퍼텐셜 에너지를 생각하지 못하셨다면 어려웠을 겁니다. 저도 한때 그랬거든요ㅋㅋㅋ 근데 그것만 캐치하시면, 굉장히 쉬운 문제로 보일 거예요. (난이도 3~5/10)

아하... 이거 유명하죠. 그 시절 악명 높기로 자자한 문제입니다.

ㄱ. 아까 이전 문제에서 언급했다시피, A의 중력 퍼텐셜 에너지를 반드시 고려하셔야 합니다. 역에보 식은 빨간 식으로 적어뒀습니다. 정리하면 ㄱ은 정답인 걸 알 수 있어요.

ㄴ. A는 정지 직후 다시 탄성력에 의해 위로 올라가게 되므로 알짜힘은 0이 아닙니다. 물체가 순간 정지해있다고 해서 그 물체에 작용하는 알짜힘이 0인 건 아닙니다. 그러면 위로 던져진 물체의 속력이 0인 순간의 물체에 작용하는 알짜힘도 0입니까?

ㄷ. 벽으로부터 L만큼 떨어진 지점과 L₀만큼 떨어진 지점에서의 B의 속력이 0이므로 그 지점들의 중간 지점을 평형점 즉, 물체 속력이 최대가 되는 지점이라고 생각할 수가 있습니다. 이에 의거하여 역에보 식을 위 사진처럼 세우면, B의 최대 속력은 g*sqrt(m/(2k))임을 알 수가 있죠!

<주관적인 난이도>

ㄱ, ㄴ까진 어찌저찌 판단을 잘 했는데, ㄷ에서 나가리되신 분들이 많았을 겁니다. 이 ㄷ 선지 하나 때문에 문제가 급격하게 어려워졌어요. (난이도 7/10)

먼저 용수철의 평형점으로부터 x만큼 떨어진 지점에서 B가 왼쪽으로 가속도 x''를 가지고 운동하는 순간을 생각해볼까... 각 물체와 실, 용수철에 작용하는 힘들을 모두 표시해주고, F=ma 식을 이용하면.... 미분방정식이 나오네.

위처럼 미분방정식의 해의 구조를 파악해주고...

x의 최댓값이 L-L₀라는 것과, x의 초기값 즉, t=0일 때의 값이 0이라는 것에 유의하여 A와 θ를 찾아낸 뒤...

정리해서 변위 x를 구하자!

x를 시간 t에 대해 미분하면 속도 v가 나오게 되므로, 여기서 v의 최댓값을 구할 수가 있게 되네... 이 값을 가질 때의 저 sin함수 내부의 식을 ε로 치환해두자... 그러면 sinε=1이겠군..

sinε=1이라는 건...? cosε=0이란 걸 뜻하지.. 그렇다면 이때의 x는.....??? 응?

지옥같았던 문제....

ㄱ. (나)에서 물체가 정지해있단 건? 물체의 중력과 용수철의 탄성력의 합이 0인 걸 뜻하죠. 즉, mg=kd. 정답.

ㄴ. (다)에서 물체의 위치를 중력 퍼텐셜 에너지가 0인 기준점으로 잡고, 역에보를 세워봅시다! (다)일 때엔 용수철이 3d만큼 압축돼있으므로 에너지 9kd²/2입니다. 근데 보니까 물체가 정지해있으니 역학적 에너지는 9kd²/2=9mgd/2이네요. (mg=kd)

(라)에서 용수철 A는 무시하고, 용수철 B가 0.5d만큼 압축됐으므로 에너지 kd²/8=mgd/8, 물체가 정지한 순간이니 운동 에너지는 0, 중력 퍼텐셜 에너지는 (다)의 기준점으로부터 높이가 3.5d+x인 곳에 물체가 있으므로 mg(3.5d+x). (다)와 (라)에서의 역학적 에너지는 서로 같으므로, 정리하면 x=7d/8이란 걸 알아낼 수 있습니다! 정답이고요!

ㄷ. 이거 중요합니다. 물체가 용수철의 평형점 즉, 물체가 용수철과 연결돼 가만히 있을 수 있는 지점을 지날 때가 바로 물체가 최대 운동 에너지를 가지는 순간이에요. 따라서 용수철 A가 d만큼 압축돼있는 순간을 기준으로 역에보 식을 우측의 하늘색 식으로 세우고 정리하다보면, 물체의 운동 에너지의 최댓값은 2mgd임을 알 수가 있어요. 정답!

<주관적인 난이도>

그림이 4개나 주어져 있는 기괴한 상황 때문에 멘탈이 흔들린 적이 있습니다. 물론 차근차근 접근하다보면, 그렇게 겁 먹을 만한 문제는 아니란 걸 알 수가 있긴 하지만요. 그러나 역시 ㄷ선지는 저 빨간 볼드체의 개념을 모르신다면 상당히 고전할 만하다고 생각합니다. (난이도 7/10)

-흠... 역시 ㄷ선지는 이해하기가 어려워.

그 유명한 나X키 문제입니다.

230920에서 중요한 개념을 하나 말씀드렸죠. 기억 안 나신다면 다시 위로 올라가셔서 뭐였는지 읽고 오세요. 이 개념을 통해서 구간 pq와 구간 rs에서의 가속도의 크기는 각각 2a, a라는 걸 알 수가 있습니다.

B가 p에서 정지해있다가 q를 v의 속력으로 지나는 데까지 걸린 시간을 t로 둡시다. 그러면 평균 속력과 가속도 특징에 의하여 vt=2L, 2at=v임을 알 수 있습니다.

그리고 (나)를 보시면, A가 (가)에서랑 똑같이 p에서 정지해있다가 q를 v의 속력으로 지나게 되는데, 여기에서도 걸린 시간은 t랑 동일하게 됩니다. 그런데 이럴 동안 B는 곡선 구간 qr을 지났네요. 이 말은 즉, 구간 qr을 지나는 데 걸리는 시간은 t임을 의미합니다.

구간 rs에서의 가속도는 a이므로 t가 지날 때마다 2at=v에 의해 속력이 v/2씩 줄어들게 되겠지요. q, r의 높이는 서로 같으니 이 두 점에서의 속력도 서로 v로 같겠죠. B가 r에서 최고점 s까지 가는데 걸리는 시간은 2t입니다. 2at=v니까요. B가 2t라는 시간동안 r에서 s까지 가는 사이, q에 있었던 A는 시간 t를 소비해서 q에서 r까지 도달할 것이며, 남은 시간 t 동안에는 rs 사이를 운동하여 속력 v/2로 특정 지점을 지날 것입니다.

A가 t동안 r에서 특정 지점까지 갔을 때 이 두 지점 사이의 거리는 평균 속력에 의해서 3vt/4=3L/2란 걸 알 수가 있네요. 자, 이 순간 B는 s에서 정지해있으므로 A, B 사이의 거리는 2L-3L/2=L/2입니다. 이 두 물체가 서로 만나는 데 걸리는 시간을 T라고 잡아보죠.

이 시간 T동안 A와 B는 각각 평균 속력에 의해서 vT/2-aT²/2, aT²/2만큼 이동하게 됩니다. 이 두 이동 거리의 합은 결국 초기 A, B 사이의 거리 L/2랑 동일하므로 vT/2=L/2=vt/4. 따라서 T=t/2입니다. 그렇다면, 이때의 A의 속력은 v/2-aT=v/2-at/2=v/2-v/4=v/4임을 확인할 수가 있는 것이죠!!

<주관적인 난이도>

등가속도 직선 운동을 가지고 이렇게까지 꼬아낼 수가 있구나... 라는 생각이 드는 문제였습니다. 진심으로 쉽지가 않았습니다. 초보 시절 때엔 아예 접근 조차 못 했어요. 등가속도 운동 중 레전드 문제들 중 하나. (난이도 7/10)

또 옛날에 못 풀었던 문제입니다.

구간마다 같은 크기의 일정한 힘을 특정 시간동안 받았다고 명시돼있는데, 이걸 복잡하게 생각하시지 마시고, 그냥 F=ma이므로, 등가속도 운동을 하셨다고 이해하시면 됩니다. 예컨대, 구간 A에서는 (구간마다 작용하는 힘의 크기를 F라고 칭하겠습니다.) F를 시간 t동안 운동 방향과 반대 방향으로 받았다고 했는데, 이 말은 물체의 속력이 at만큼 변했다는 거랑 똑같습니다. 복잡하게 생각하실 필요가 없다는 거죠, 그냥 속력의 변화라고 이해하시면 돼요.

A의 시작점에서의 속력을 p라고 잡으면 끝점에서의 속력은 p-at가 되겠죠. B에선 F를 A에서 힘을 받는 시간의 2배인 2t동안 받았다고 했으므로, 이 구간에서의 물체 속력 변화량은 2at입니다. 끝점에서 속력이 0이므로 B의 시작점에서의 속력은 2at가 되는 것이죠.

자, 이제 각 구간에서 등가속도 운동을 한다는 것도 알았겠다, 각 구간에서 평균 속력을 사용해서 나온 식들을 정리해보면, at=2p/3임을 도출해낼 수 있어요. 각 구간의 끝에서의 운동 에너지를 그림과 같이 E에 대해 표시한 후, 역에보를 통하여 두 높이의 비율을 구하면 해결됩니다.

<주관적인 난이도>

지금 보면 그냥 등가속도 운동하고 쉬운 역에보를 섞어놓은 비교적 적당한 문제였네요. 이 문제를 가지고 고전을 많이 한 옛날의 저에게 이건 그닥 어려운 것도 아니라고 놀리고 싶어지네요. (난이도 5/10)

산을 올라갔다 내려가는 문제입니다.

L₁과 L₂를 지나는 데 걸린 시간을 t라고 잡아봅시다. 각 구간마다 지나는 시간이 동일하고 등가속도 직선 운동이므로, 각 구간의 끝마다 물체의 속력 변화량이 동일할 겁니다. 그림처럼 각 지점에서의 속력을 표시해보죠.

이때, L₃구간의 가속도고 구할 수 있는데, L₃를 지나는 데 t/2가 소비되는 반면, L₂를 지나는 데 t가 소비되잖습니까? 두 빗면의 높이는 서로 같고 각 구간의 점마다 속력도 서로 같고요. L₂에서 속력이 p만큼 감소하는 데 t가 걸린 반면, L₃에서 p만큼의 속력이 감소하는 데 t/2가 걸린다는 얘기네요. 즉, 걸린 시간의 비가 2:1이므로 가속도 크기 비는 1:2가 됩니다.

이 가속도를 각각 α, 2α라고 잡읍시다. 각 구간에서의 평균 속력을 적용한 다음, 가속도 크기 비율과, 동일한 두 빗면의 높이를 통하여, 좌우의 빗면 길이가 2:1임을 이용하면, 최종적인 정답이 나오게 됩니다. 그림을 참조하세요.

<주관적인 난이도>

등가속도 운동을 이런 식으로 활용한 문제라니. 기가 막힙니다. 평균 속력이 필연적이란 걸 다시금 깨닫게 해주네요. 퀄리티가 은근 높았던 문제였습니다. (난이도 5/10)

만만해 보였는데, 만만한 건 오히려 나였다

빗면 위의 어떤 구간의 길이가 L일 때 그 구간의 높이는 d라고 잡았습니다. R, Q에서의 A의 운동 에너지 조건부터 분석합시다. Q, R에서의 운동 에너지를 각각 4E, 9E라고 잡으면, E=Agd/5임을 알 수 있죠. (A, B는 각각 물체 A와 B의 질량)

B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은, A와 B가 함께 2L만큼 운동하였으니 2BgL이 될 거이며, 이 운동을 하는 동안 A의 운동 에너지 증가량 즉, 4E=4Agd/5가 B의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량의 4/5배인 8BgL/5랑 같다고 하였으니, 정리하면 Ad=2BL이라는 중요한 식이 만들어져요.

이제 A, B의 운동 방정식과 등가속도 운동 개념을 저 파란 식들처럼 정리하면, A와 B가 서로 연결돼있을 때 가속도 a=2gd/(5L)임을 알 수가 있어요. (여기서 빗면의 가속도 gsinθ=dg/L을 이용했답니다) 이 가속도를 A, B의 운동 방정식에 대입한 뒤, Ad=2BL이라는 식을 함께 고려하면 결국 A=4B라는 최종 답이 나오게 되는 거죠.

<주관적인 난이도>

후... 비록 물2 개념을 빌려왔어도, 어려운 건 역시 어렵습니다. 옛날에 던진 문제인데, 이런 난리를 쳐서라도 풀어내니까 왠지 뿌듯하네요. (난이도 7/10)

마지막 문제입니다.

특이하게도 세 물체의 질량에 대한 정보가 주어져 있지 않네요. 우리가 직접 구해봐야겠네요. 먼저 (가). 각 빗면 위에서의 가속도의 크기를 각각 a, b라고 잡읍시다. 세 물체가 서로 정지해있으므로 Aa+Ba=Cb입니다. 근데 문제에서 실의 장력에 대한 조건이 주어져 있으니, 이를 활용하면, Cb=3Aa라는 식이 나오게 됩니다. 이 두 식을 서로 연립하면, B=2A라는 B의 질량에 대한 정보가 나오게 됩니다.

이제 (나)를 살펴봅시다. 같은 시간 동안 A는 3s만큼, B와 C는 s만큼 이동했네요? 이 말은 즉, A의 가속도 크기가 a일 때, 서로 연결된 B와 C의 가속도 크기는 a/3라는 것이죠!!! 각각 정지해 있다가 출발할 때의 등가속도 운동 공식 0.5at²=d니까 이동 거리와 가속도 크기가 서로 비례한 거죠!

B와 C에 대한 운동 방정식을 세운 뒤, Cb=3Aa라는 (가)에서 얻은 식까지 생각하면, C=A, b=3a라는 귀중한 정보를 얻어내실 수가 있습니다.

거의 다 왔습니다. A의 운동 에너지 변화량은 E_A=3Aas라는 걸 바로 알 수가 있고요. C의 역학적 에너지 변화량은.... 우선 운동 에너지 증가량부터 구해보죠. B랑 연결됐을 때 가속도 크기가 a/3이므로 운동 에너지 증가량은 Cas/3=Aas/3이고요. 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 3Cas=3Aas란 걸 알 수 있어요. 따라서 E_C=3Aas-Aas/3=8Aas/3입니다.

<주관적인 난이도>

예. 포기했었던 문제입니다. 그래도 계속 풀다보니 풀이 과정의 길이가 점점 줄어들더니 결국 여기까지 오게 됐어요! ...그런데 풀이 과정이 줄어들었을 뿐이지 그래도 저의 악몽인 건 여전합니다. 두 번 다신 보고 싶지 않네요. 으윽 (난이도 7/10)

결론 : 저는 물1보단 물2에 더 잘 맞는 듯 합니다.

저의 설명에 오류가 있다면 보고해주세요.