Welcome to 'Electric Circuits' 2편

-1편에서 이어집니다-

1편 : https://url.kr/v58ss4

직류에서의 전력 공식이 P=VI란 걸 상기하며, 교류에서의 전력 식도 저렇게 나타내볼 겁니다. v(t)i(t)로 말이죠.

이 식은 어떤 시간에서의 순간적인 전력을 나타낸다고 해서 Instantaneous Power(순시 전력)이라고 부릅니다.

이걸로 끝! ...이러면 안 돼요.

v(t)와 i(t)의 식을 위처럼 확장시켜봅시다.

저 삼각함수 공식을 통해서 전력 식을 저 빨간 식으로 변형시키는 거죠!

먼저, 평균 전력의 식은 위와 같이 정의됩니다.

이 식에 전력 식을 그대로 적용시키면 됩니다. 이때 중간의 주황색 식에서 cos함수를 한 주기만큼 적분시키면 0이 된다는 걸 눈치채셔야 해요.

적분 후 나오는 저 빨간 식이 바로 평균 전력이 되는 겁니다.

또한, 이 평균 전력은 복소수의 실수 부분이라고 생각할 수도 있습니다. 이 아이디어를 활용하면 그림처럼 매우 중요한 보라색 공식이 하나 나오게 돼요.

이 회로를 분석해봅시다.

간단한 형태이기에 전류는 바로 나오고요.

아까 구한 전류를 통해 각 소자에서의 전압을 그림처럼 나타내줍니다.

이제 저항과 코일에서의 평균 전력을 구해봅시다. 공식은 저 위에 빨간 식으로 적어놨으니 참조하시고요.

다음 회로입니다.

전류는 뭐...

바로 구해버릴게요.

여기에서는 전력을 위주로 공부할 거니.

이제 본격적으로 평균 전력을 분석해봅시다. 아까 제가 말씀드렸죠, 코일과 축전기에서는 전압과 전류의 위상이 90°만큼 차이가 나서 결국 cos값은 0이 되므로 평균 전력이 0이 된다고요.

저항에서의 평균 전력은 그림처럼 구하실 수 있습니다. 저항에서 전압과 전류의 위상이 같으니 cos값은 1이 되니 답이 바로 나오는 거고요.

먼저 전력을 '소비'하는 경우입니다. 전류가 소자에 걸리는 전압의 +로 들어가서 -로 빠져나올 때 이 소자는 전력을 소비합니다.

전압원에서는 똑같이 전류가 전압원의 +로 들어가 -로 빠져나올 때 전력을 소비하게 됩니다.

전류원은 전류원과 연결된 전선에서 전류가 전류원 양단의 전압의 +로 들어가 -로 빠져나오면, 전력을 소비합니다.

반대로, 전력을 '공급'하는 경우입니다. 이때는 전류가 소자에 걸리는 전압의 -로 들어가 +로 빠져나올 때, 이 소자는 전력을 공급하게 됩니다.

전력을 공급할 때는 전력을 소비하는 경우와 달리 전력의 값이 음수로 나오게 됩니다. 근데 '-24W 공급'이 아닌, '24W 공급'이라고 양수로 적어주셔야 합니다.

전압원에 흐르는 전류가 전압원의 -로 들어가 +로 나온다면 이 전압원은 전력을 공급하며,

전류원에 흐르는 전류가 전류원 양단의 전압의 -로 들어가 +로 나올 시, 이 전류원 역시 전력을 공급하게 됩니다.

다시 본론으로 돌아가봅시다. 각 전압원에 흐르는 전류 a, b는 모두 각 전압원의 -로 들어가 +로 빠져나오므로, 두 전압원은 모두 전력을 공급한다는 걸 깨달을 수 있습니다.

이제 평균 전력 공식을 적용시켜보면, 각 60W, 40W의 전력을 공급한다는 것을 알 수 있죠! (평균 전력이 모두 음수로 나오는 것에 주목하세요)

이 회로입니다. 단순해 보이니 금방 풀겠네요.

전류 분배 법칙을 적용하여,

각 전류를 가볍게 구해냅시다.

코일, 축전기의 평균 전력은 0이니 무시하고, 5Ω 저항만 살펴봅시다. 이 저항은 평균 전력 2.647W를 '소비'하는군요.

이제 전류원을 살펴봅시다. 그림과 같이 전류가 전압의 -로 들어가 +로 나오므로 이 전류원은 전력을 '공급'합니다. 그것도, 5Ω 저항의 소비 전력과 같은 양인 2.647W의 전력을 말이죠.

이로써, 회로에서 소비하는 전력의 양과 공급하는 전력의 양은 서로 같음을 알 수 있습니다.

그림과 같이 Thevenin 등가 회로와 연결된 임피던스가 Z_L인 소자가 있다고 칩시다.

그러면 위의 회로 상에 흐르는 전류 I는 다음과 같이 표현되죠. 나중의 연산을 위해서 복소수 형태로 표현하겠습니다.

위와 같이 임피던스가 Z인 소자에 전류 I가 흐를 때, 이 소자 양단에 걸리는 전압이 V라고 합시다.

그리고 이 임피던스를 복소수 형태로 나타냅시다.

옴의 법칙과 평균 전력 공식을 응용해보면, 평균 전력은 저렇게도 나타나게 됩니다.

위 식을 다듬어보면, 평균 전력은 전류의 세기와, 임피던스의 실수 부분으로 표현이 가능하단 걸 알 수 있어요!!

이 공식을 통해 Z_L에서의 평균 전력을 구해보면 위와 같은 하늘색 식으로 나오게 돼요.

변수가 R_L, X_L. 이렇게 총 두 가지가 있으므로 각 변수에 대해 저따구로 편미분을 해주어야 합니다..

이때 평균 전력이 최대가 되기 위해서는 각 편미분의 값이 모두 0이 되어야만 합니다! 이에 의거하여, R_L과 X_L에 대한 조건을 얻을 수 있죠!

평균 전력 공식을 그대로 적용하면 최대 소비 전력 공식이 저렇게 간단히 나옵니다.

Z_L에서의 최대 소비 전력을 구하는 문제입니다. 먼저 Thevenin 등가 회로부터 얻어내야 공식을 적용할 수 있겠죠?

Z_L이 있던 전선을 제거하여, 연결되어 있던 지점을 점 a, b로 표시해줍시다. Z_Th를 구하고 싶으므로 전압원은 제거합시다.

이제 단자 a, b에서 보는 합성 임피던스를 구해야 하는데...

생각보다 그리 쉬워 보이지는 않습니다. 이럴 때는 전선 일부를 들어올려서 특정 부분 안으로 집어넣어야 합니다.

먼저 주어진 회로를 우측처럼 비스듬히 살펴봅시다.

코일 전선을 그림처럼 들어올리세요.

그러고 나서, 코일, 축전기, 저항이 서로 교차하는 지점을 들어올리세요.

들어올렸으면, 그 지점을 그림처럼 바닥에 놓으세요.

짜잔~~! 회로가 저렇게 보기 좋게 간결화가 됐답니다~!

.

그러면 저런 식으로 합성 임피던스를 쉽게 구할 수가 있게 되죠?

여기까지 Z_Th을 구해봤으니, 이제 V_Th도 구해봅시다.

그림처럼 전류 표시를 해주세요.

그 후, 그림처럼 기준을 잡고 KVL을 적용시켜서 전류 a를 구해주세용

전류도 구했겠다, 점 a, b에서의 전위를 알아낸 뒤, V_Th를 얻어냅시다!

그러면 Z_L=Z_Th* 및 최대 소비 전력 공식을 적용하면 최종 답이 저렇게 나타나게 됩니다.

이번에는 Z_L이 아니라 R_L만 나와있습니다. 즉, '저항'의 최대 소비 전력을 구하라는 거죠. 아까 그 공식은 임피던스가 실수, 허수 부분이 모두 포함된 상황에만 적용이 가능한 반면에, 여기에선 임피던스 실수 부분 즉, 저항만 존재하기에 이 공식을 적용하긴 힘들어 보여서 다른 풀이를 강구해봐야겠죠...

전류원부터 지워버리고,

합성 임피던스를 구합니다. 금방 나오죠?

V_Th. 그림과 같이 전류 분배 법칙을 적용해서 각 전선에서의 전류를 구한 뒤,

단자 a, b의 전위차를 옴의 법칙을 활용해서 구하면 됩니다.

임피던스가 실수 및 허수 부분을 모두 포함하는 경우, 평균 전력 공식을 편미분한 식이 저거잖아요?

그러면 편미분 식이 위처럼 수정됩니다.

편미분한 식이 0이 돼야 한다는 이론을 통해 정리해보면, 최대 소비 전력을 위한 저항값은 Z_Th의 크기임을 알 수가 있겠네요!!!

이제 회로 상의 전류 I를 이용하여 R에서의 평균 전력만 구하면 해결됩니다!

의존 전류원이 있네요. 주의합시다.

일단 전압원으로부터 각진동수가 4 rad/s임을 알아내어, 각 소자의 임피던스를 나타냅니다.

이제 이 전압원을 삭제하고, 단자 ab 사이에 가상의 1∠0°A 전류원을 꽂아보죠.

각 전선에서 전류를 몇 부분 표시해주고,

KCL을 통해 전류를 더 많이 표시해줍니다.

그 후, KVL을 적용시켜 a와 V₀에 대한 연립방정식을 생성(?)시킵니다.

연립방정식을 푸는 건 진짜 몇 번을 풀어도 싫증나고 지루하군요.

아무튼 연립방정식에서 얻은 데이터로 그림처럼 Z_Th를 얻어내면 됩니다..

다음은 V_Th입니다. 가장 먼저 전압원의 전압을 Phasor로, 각 소자의 임피던스로 표현해주신 다음에, 전류를 표시해줍시다.

KCL을 활용하여 더 많은 전류를 표시해주고,

그림과 같이 KVL을 적용해보면 또 거지같은 연립방정식이 튀어나오게 됩니다;;으으으윽...

마지막으로 단자 a, b에서의 전위를 계산하고 정리하면 끝...!

이 식을 통해, 교류 전류 및 전압의 rms 값은 최댓값의 sqrt(1/2)배라는 걸 알 수 있죠!

다음과 같은 평균 전력 식을 살짝 변형해볼 겁니다.

위처럼 말이죠!

여기서 θ_v-θ_i의 부호에 따라서 회로의 특성이 위와 같이 나뉘게 된답니다. 전류를 기준으로 잡으면 외우는 게 더 편합니다. 예컨대, θ_v-θ_i>0이라면, 전류가 전압보다 위상이 더 뒤처져 있단 것이므로, 뒤처짐을 뜻하는 lagging을 쓰시면 됩니다. 또한, 전류의 위상이 전압보다 90° 더 뒤처지는 코일을 생각해서 Inductive라고 쓰시면 되는 거고요.

위와 같이 전류 I=가 Load Z로 흘러 양단에 전압 V가 걸렸다고 생각해봅시다. 이때 Complex Power 즉, 복소 전력 S는 저 빨간 식으로 표현됩니다. 단위는 VA 즉, '볼트암페어'고요.

S는 rms 값으로 정리할 수도 있습니다.

이 S=를 복소수 형태로 정리하면 총 2개의 유형의 전력으로 나뉘어지는데, 각각 Real Power(유효 전력)과 Reactive Power(무효 전력)으로 나뉩니다. 유효 전력은 평균 전력과 같다는 것에 유의하세요.

또한 복소 전력은 위처럼 전류와 임피던스에 관한 식으로 나타낼 수 있을 뿐만 아니라,

전압과 임피던스에 관한 식으로 나타낼 수도 있어요. 저 분모에는 Z가 아닌 켤레복소수 Z*가 들어가야 함에 주의하세요!

전압원이 공급하는 전력을 조사해보는 문제입니다.

이 문제에서 전압원의 전압은 rms 값입니다.

전압원의 공급 전력을 구하고 싶으면 전체 전류를 알아야 하므로, 전체 임피던스를 구해봅시다.

그 뒤, 전류를 구해줍니다.

그러면 전압원이 공급하는 복소 전력 S는 위와 같이 나타납니다.

('공급하는 전력'을 적는 것이므로 -를 함부로 붙이시면 안 됩니다.)

위처럼 말이에요!!

이는 곧 복소 전력이 모든 종류의 전력을 포함한다는 이론을 뒷받침해주는 것이죠!!!!

이번에는 우측의 의존 전류원의 공급(또는 소비) 전력을 조사하는 문제입니다.

좌측 전압원의 전압은 rms 값임에 유의해주세요.

우선 그림처럼 전류를 표시해주시고,

가능한 두 경로에 대하여 KVL을 적용시킨 뒤,

연립방정식을 푸셔서 V₀와 a를 구하시면 됩니다.

이제 위처럼 각 지점에서의 전위를 계산하다보면, 의존 전류원 양단의 전압을 구할 수가 있게 됩니다.

전류원의 전류가 전압의 -로 들어가 +로 빠져나오므로 이 전류원은 전력을 공급한다는 것을 알 수 있겠네요.

복소 전력을 계산해보면 위의 빨간 식으로 나오게 되고요.

이 복소 전력으로 다른 모든 전력들도 구해보면 위와 같이 나타나게 됩니다!

V_s를 구하는 문제입니다. 씁.. 뭔가 복잡해보이네요. 차근차근 분석해봅시다.

먼저 구할 수 있는 것부터 구해봅시다. 저 첫 번째 Load를 분석해보자고요. pf가 0.9인데 lagging이라고 했으므로, 여기에서의 전류는 전압보다 뒤처질 것입니다. 즉, 전압의 위상이 더 크단 소리이므로 θ_v-θ_i>0이겠네요.

이 θ_v-θ_i의 값을 토대로 나머지 정보들을 얻어봅시다. 우선 저 10 W에 주목해주세요? 단위가 W인 전력은 뭐밖에 없죠? Real Power(=Average Power)밖에 없어요! 복소 전력 S의 실수 부분이 바로 유효 전력 P이므로, Scos(θ_v-θ_i)=P를 이용하여 복소 전력의 크기인 피상 전력 S를 구해낸 다음, 무효 전력 Q도 Ssin(θ_v-θ_i)=Q로부터 구해내서 최종적인 복소 전력 S를 구해내면 됩니다!

다음은 두 번째 Load입니다. 이번에는 leading이라고 했으므로 여기에서의 전류는 전압보다 위상이 앞서있을 것입니다. 따라서 θ_v-θ_i<0이겠죠.

동일한 방식으로 복소 전력 S를 구해내시면 되겠습니다!

자, 이제 저 우측에 있는 120V (rms)를 분석해봐야 하는데...

좌측 하단에 적어놓은 복소 전력 공식을 활용하여 저 Load에서의 전류 I를 구해놓읍시다. 이때 120V가 rms 값이라고 명시돼있으므로 I도 rms 값입니다?!

그 후, 저 단자에서의 전압 V도 구해주세요. 그래야 V_s를 구할 수가 있으니까요.

그러면 저 10 W 뭐시기의 Load에 걸리는 전압은 저 두 전압을 합한 거랑 같죠?

저 Load에 흐르는 전류 a도 똑같은 방식으로 구할 수가 있습니다.

그러면 저 단자에 걸리는 전압 V도 구할 수가 있겠죠. rms 값이라는 거 기억해주시고요!

따라서 V_s는 저 두 전압을 합한 값이 되는 거예요.

코일의 특성상, 코일에 전류가 흐르면 코일 주변에 자기 선속 Φ가 생겨나게 됩니다. Faraday's Law에 의해 코일 양단의 전압 v는 위와 같은 식으로 표현되고요. 이때 N은 코일의 감은 수입니다.

위의 v 식을 조금 변형해보면 자체 유도 계수 L에 대한 식으로 나타낼 수가 있게 됩니다. 이것이 상호 리액턴스를 이해하기 위한 배경 지식이에요.

다음과 같이 두 코일이 서로 인접해있는 상황을 생각해보죠. 여기서 Φ₁은 인덕턴스가 L₁인 코일 1로부터 발산되는 자기 선속이고, Φ₁₁은 코일 1에만 연결되는 자기 선속, 그리고 Φ₁₂는 두 코일을 모두 연결하는 자기 선속입니다. 이 세 자기 선속에 대하여 위의 파란 식이 성립하게 됩니다.

또한 Faraday's Law에 의해 코일 양단의 전압은 위처럼 표현되고요. 

위 식들을 정리하다보면, M₂₁이라는 새로운 기호가 생기는데, 이것이 바로 Mutual Inductance입니다!

그리고 코일 2 양단 전압 v₂를 보시면, 일반 코일 양단의 전압의 식과 상당히 비슷한 걸 알 수 있습니다. 

이번엔 반대로 생각해볼까요? 저 그림과 파란 식에 대하여 Φ₂는 우측 코일 2로부터 발산되는 자기 선속, Φ₂₁은 두 코일을 모두 연결하는 자기 선속, Φ₂₂는 코일 2만 연결하는 자기 선속을 말합니다.

각 코일의 전위차의 식을 표현해보면, 코일 1의 양단 전압의 식에 이번에는 M₁₂라는 기호가 등장하게 됩니다. 이것 역시 Mutual Inductance입니다. 

코일의 감은 방향에 따라서 코일 내부의 자기장 또는 자기 선속의 방향이 달라지게 됩니다. 이런 것까지 고려해야 상호 인덕턴스를 더 정확하게 활용할 수 있어요.

Dot Convention이 뭔지 간략히 설명해드릴게요. 먼저 다음과 같은 코일이 2개 있다고 하고 코일 1에 전류 i₁이 화살표 방향으로 흐른다고 생각해봅시다. 

그러면 코일 1에 의한 자기장은 저 파란색으로 표현할 수 있습니다. 물론 실제 자기장 모양은 저것보다 훨씬 더 복잡하겠지요. 그냥 간단하게 그렸을 뿐입니다. 자기장의 정확한 모양은 여기서 중요한 게 아니니...

아무튼 코일 2에서 전류 i₂가 화살표 방향으로 흐른다고 가정해봅시다. 

이때 코일 2에 의한 자기장은 저 하늘색 선으로 표현되겠죠.

그런데, 자세히 보시면? 저 두 자기장의 방향이 시계 방향으로 서로 같다는 것을 확인하실 수 있습니다.

이처럼, 두 자기장의 방향이 서로 같다면, 먼저 코일 1의 전류가 코일 1에 들어가는 쪽에 점을 하나 찍고, 그 다음에 코일 2의 전류가 코일 2에 들어가는 쪽에도 점을 찍습니다. 

만일 코일 2의 전류가 저 위치에서 흐른다고 한다면...

코일 1, 2에서 생성하는 자기장 방향이 서로 다르게 됩니다. 이럴 때는 먼저 표시한 전류 i₁이 코일 1에 들어가는 쪽에 점을 찍은 후, 전류 i₂가 코일 2로부터 나오는 쪽에 점을 찍어야 합니다.

이처럼 코일의 감는 방향으로 인한 혼동을 방지해주고, 코일 양단의 전압 부호를 확연하게 정할 수 있게 해주는 등 회로 해석이 더 간편해지는 역할을 하는 과정이 바로 Dot Convention입니다.

전류가 점으로 들어갈 때, 반대편에 있는 코일의 양단의 전압은 위와 같습니다. 이때 오른쪽 코일(코일 2)의 +, -의 위치를 정하실 때, 웬만하면 전류가 흐르는 반대편 코일의 점의 위치와 나란한 곳에 +를 놓으세요.

아, 제가 외운 방식을 알려드릴게요. "위 상황에서 두 코일의 점의 위치가 좌측처럼 서로 나란하다면, 오른쪽 코일 양단 전압은 양(+)이어야 하며, 만일 점 위치가 우측처럼 나란하지 않다면, 음(-)이어야 한다." ...이것이 제가 외운 방법입니다. 참고하세요.

전류가 점에서 나올 때엔 전압이 위와 같이 정해집니다. 제가 외운 방식은 다음과 같습니다:

"위 상황에서 두 코일의 점의 위치가 좌측처럼 서로 나란하다면, 왼쪽 코일 양단 전압은 음(-)이어야 하며, 만일 점 위치가 우측처럼 나란하지 않다면, 양(+)이어야 한다."

위 회로의 합성 인덕턴스를 구하는 문제입니다.

우선 상호 인덕턴스 M은 이따가 생각하고, 전류에 의한 일반 전압부터 고려합시다. 이 과정에서는 점의 의미가 없습니다.

우선 회로를 그림과 같이 접어봅시다.

그러면 우측에 있는 그림과 매우 유사해져서 분석이 훨씬 더 수월해지게 되지요!

왜 유사하냐면, 코일 1에서의 전압을 알아내기 위해서 코일 2에 흐르는 전류의 방향 및 점의 위치를 고려해야 하는데, 점의 위치가 서로 엇갈려 있고, 코일 2에서의 전류가 점으로 들어가는 이런 상황이 우측 그림과 유사하지 않습니까??

아무튼 코일 1에서의 전압은 우측을 참조하면 저렇게 나옴을 알 수 있고요.

다음으로 코일 2에서의 전압도 우측에서처럼 구하면 되겠죠!

즉, 최종 인덕턴스는 그림처럼 구할 수가 있습니다!

이번 문제 역시 합성 인덕턴스를 구하는 문제입니다!

먼저, 서로의 상호 인덕턴스와 점은 무시하고 오로지 전류에 의한 전압만 구해봅시다.

이제 각 코일의 상호 인덕턴스에 의한 전압을 구해야겠죠. 우선 12H 코일부터 살펴보죠!

그림처럼 회로를 접어서 상황을 단순화시킵시다. 굳이 문제 옆에다 저걸 그리지 않고도, 머릿속으로 형상화할 수도 있어요.

16H 코일과의 상호 인덕턴스에 의한 전압은 저렇게 표시되며,

20H 코일과읜 상호 인덕턴스에 의한 전압은 저런 식으로 나타나게 됩니다!

다음은 16H 코일입니다.

이번에는 회로를 접는 방식이 달라집니다.

두 상호 인덕턴스에 의한 전압을 구하는 과정에서 상황이 모두 우측 그림에서랑 똑같습니다. 이렇게 16H 코일에서의 전압도 모두 구해봤고요,

마지막으로, 20H 코일입니다.

위처럼 회로를 접어주신 뒤,

각각의 코일과의 상호 인덕턴스에 의한 전압을 따로 표시해주면 됩니다.

위처럼요. 나중에 이에 대한 자세한 설명은 생략할 겁니다! 이거에 익숙해지셔야 해요!

위 전압들을 모두 합해보면 최종 답은 20H임을 힘들게 알 수가 있죠.

똑같이 합성 인덕턴스를 구하는 문제입니다.

위처럼 전류가 흐른다고 생각해보죠.

굳이 회로를 접지 않아도 우측 그림과 유사하므로 상호 인덕턴스에 의한 전압을 바로 구할 수가 있겠네여

전류에 의한 전압도 고려하면, 저런 항등식들이 생기게 됩니다.

이를 적절히 정리하면, 최종 합성 인덕턴스는 다음과 같이 나오게 됩니다.

V₀를 구하는 문제입니다.

먼저 회로 상에 그림과 같이 전류 a, b가 흐른다고 가정해봅시다. 그럼 V₀=b겠네요.

이제 각 코일에서의 상호 인덕턴스에 의한 전압을 표시해주면 돼요. 전류 b가 점으로 들어가는 데다, 점의 위치가 서로 엇갈려 있으니 전압은 저렇게 표시됩니다. 이때 착각해서 -jb'이라고 적으시면 안됩니다... 지금은 복소수 꼴의 임피던스의 개념을 쓰고 있는 거지, 양수인 인덕턴스의 개념을 쓰는 게 아니니까요.

아무튼 다른 코일에도 전압을 위처럼 써줍시다.

자, 이제 각 경로에 대해 기준을 잡고, KVL만 적용하면 됩니다...!

이때 V₀=b라고 못 박아뒀으므로 a는 소거시켜야 합니다. 그럼 최종적으로 V₀는 저렇게 나오게 되죠.

Thevenin 등가 회로를 구하는 문제입니다. 이게 뭔 혼종인가 싶겠지만 겁 먹지 말고 침착하게 풀어나갑시다.

먼저 Z_Th입니다. 의존 요소가 없어서 편리하네요.....라고 말하고 싶지만, 저 상호 인덕턴스에 의한 코일 양단의 전압 자체가 전류에 '의존'하는 값이어서 반드시 가상의 전압원이나 전류원을 설치해야 합니다.

전류를 그림처럼 정한 뒤, 각 코일에서 걸리는 전압을 분석해봅시다.

위의 회로 부분을 우측처럼 접어보는 거죠.

그러면 각 코일에서의 상호 인덕턴스에 의한 전압은 위처럼 표시됩니다.

각 코일에서의 전압도 구했으니 본격적으로 KVL을 적용해서 전류 a, b를 구해냅시다.

전류를 구했으니 그림처럼 Z_Th를 알아내면 됩니다.

다음은 V_Th입니다. 그 전에 우측에 있는 부분을 Source Transform시켜서 보기 좋게 바꿔볼까요?

훨씬 낫네요. 이제 회로 상의 전류를 위처럼 정해놓고?

각 코일에서의 전압을 분석하기 위해 회로 일부를 접어봐야겠죠.

저렇게 나타나는군요!

자! 이제 KVL만 잘 마무리하면 전류 I도 저렇게 나오게 됩니다.그러면 V_Th까지 잘 구할 수가 있게 되죠.

최종 답입니다.

다음은 두 코일 간의 저장된 에너지입니다. 우선, 두 코일 간의 전체 전력의 식부터 세워봅시다. 초기 상태일 때 두 전류는 모두 0이라고 세우고요.

전력 공식 p=vi를 통해서 위와 같이 세우는 게 가능합니다!

위와 같이 전류 i₁만 특정 값까지 증가하다가, i₂가 특정 값까지 증가하는 상황으로 말이죠. 

먼저 위와 같은 상황에서의 에너지를 구해봅시다. i₂=0으로 유지되므로 i₂'(t)=0이겠죠. 그러면 이 상황의 전력 p₁은 저 하늘색 식으로 단순화됩니다. 이 전력을 시간 t에 대해 적분시켜서 에너지를 구하면 저 빨간 식이 되겠네요.다음 상황입니다. 이 경우엔 i₁=I₁으로 유지되어 i₁'(t)=0이겠죠? 이를 통해, 이 상황의 전력 p₂는 저 하늘색 식으로 표현될 겁니다. 즉, 에너지는 저 빨간 식이 되는 것이죠.

저런 식으로 말이예요. 뭐, 이 경우에도 정리 방식은 똑같이 적용됩니다.

전류 변화 과정이 어떻든 간에, 전류는 모두 0에서 시작하여 각각 특정 값까지 도달하였단 점이죠.

아까 그 에너지 식은 점의 위치가 서로 나란했을 때만 성립합니다. 그렇다면 우측처럼 점 위치가 엇갈려 있으면 어떻게 해야 할까요?

두 전류가 각각 점에서 서로 같은 방향으로 출입한다면 +M으로 연산하시고,

두 전류가 각기 점에서 다른 방향으로 출입한다면, -M으로 연산해야 합니다.

전류의 방향을 무시하고 점의 위치만 보면 망합니다. 꼭 전류의 방향도 생각하세요.

저장되는 에너지는 음수가 될 수 없으므로 W는 반드시 0 이상의 값을 가져야 한다는 게 보이지 않나요?!

위 식을 완전제곱식을 포함한 식으로 변형시키고, 부등호 조건에 맞는 식을 찾아내면 됩니다.

그러면 상호 인덕턴스 M에 대한 조건식이 나오게 돼요.아까 그 M에 대한 식을 통해, 그림처럼 새로운 상수 k를 얻어낼 수 있습니다. 이 k를 결합 계수라고 합니다. M≤sqrt(L₁L₂)라는 식에 의거하여 k의 값은 0 이상 1 이하라는 것도 알 수 있고요.

또한 k의 범위에 따라서 두 코일이 얼마나 결합됐는지 구분할 수 있습니다. k=0.5일 때는 딱히 쓸만한 용어가 없어서 생략했습니다.

시간 t=2s일 때 두 코일에 저장된 에너지를 구하는 문제입니다.

우선 상호 인덕턴스를 포함한 모든 소자를 복소수에 관한 식으로 바꾸고,

각 구간에 흐르는 전류를 표시한 뒤 각 코일에 걸리는 상호 인덕턴스에 의한 전압을 그림처럼 표시해줍니다.

맨 우측에서 전류 분배 법칙을 쓴 뒤, 각 경로에서 KVL을 적용하고,

두 전류를 구하시면 이제 반만큼 온 겁니다.

아까 문제에서 시간 t=2s일 때의 에너지를 구하라고 했으므로, t=2s일 때의 두 전류를 구해줍니다.

이때, 두 전류가 점에서 출입하는 방향을 자세히 살펴보시면, 좌측 전류 0.817A는 점으로 들어가고, 우측 전류 0.425A는 점에서 나오는 걸 볼 수 있어요. 즉, 두 전류의 점의 출입 방향이 서로 다르므로, 에너지를 계산하실 때 반드시 -M으로 연산하셔야 하는 거예요.

이번에는 시간 t=15ms일 때 두 코일에 저장된 에너지를 계산하는 문제입니다.

모든 데이터를 복소수 꼴로 고치고 각 코일에서의 M에 의한 전압을 표시해줍니다.

각 경로에 대하여 KVL을 적용해서 전류의 정확한 함수를 구합시다.

How tedious

시간 t=15ms일 때의 각 전류의 값을 구해준 뒤,

에너지를 도출합니다. 각 전류의 점의 출입 방향이 서로 다르므로 -M으로 연산해야 함에 주의하시고요.

대충 좌측처럼 상호 임피더스가 포함된 회로를 우측처럼 훨씬 간단한 회로로 바꿔주는 이론입니다. 이때 우측에 있는 Z_R이 바로 Reflected Impedance(반사 임피던스)입니다.

각 코일의 M에 의한 전압을 표시하고 바로 각 부분에 대해 KVL을 적용해줍니다.

정리하면, V에서 I₁을 나눈 값을 알 수 있습니다.

최종적으로 Reflected Impedance는 저런 식으로 표현되며, 위 아래의 회로는 서로 변환될 수 있습니다.

바로 문제를 풀어봅시다. 위 회로의 등가 임피던스를 구하는 문제이지요.

아까 구했던 Z_R의 공식에 각 데이터를 모두 대입하면 바로 해결됩니다!

위의 각 임피던스를 모두 합한 값이 곧 Z_in이죠!

이번에는 저 좌측에 있는 상호 인덕턴스가 포함된 회로를, 우측 두 가지의 상호 임덕턴스가 없는 회로로 변형시키는 방법을 학습해볼 겁니다.

코일 양단의 전압을 전류에 대한 식으로 표현한 뒤, 그림처럼 행렬 형태로 고치는 겁니다.

행렬곱의 방법은 다 아실 거라고 믿겠습니다. (불친절)

이제 저 Y자 코일 회로에서도 똑같은 방법으로 행렬식을 세워봅시다.

각각 비교하여 정리하다보면, 코일 a, b, c의 인덕턴스를 구할 수 있게 됩니다.

WOW!! >.<

방금 말대로 M이 음수가 된다면, 코일의 인덕턴스의 조건(양수)에 위배되고 말죠?

그러면 그냥 코일을 축전기로 대체하면 됩니다! 이때 인덕턴스에서 전기 용량으로 바뀌게 되고, 이 값은 M의 역수로 표현해야 합니다! 

위와 같은 전류가 흐른다고 생각해봅시다.

그 후, KCL, KVL을 모두 적용해서 위같은 식을 세워주세요.

이때 원래 회로에 있던 행렬식 V=A₀I를 I=AV꼴로 고쳐주셔야만 각기의 행렬식을 비교할 수가 있겠죠.

그러러면 행렬 A의 역행렬 A^-1을 구해봐야겠죠?

위처럼요.

비교하고 정리하면, 각 코일 A, B, C의 인덕턴스가 아까보다 더 복잡하게 나오게 됩니다.

이 부분에서 M의 부호를 결정하는 방법은 다음과 같습니다. 먼저 위처럼 점의 위치가 서로 나란하다면 +로 계산하고,

서로 엇갈린다면 -로 계산하여야 합니다.

저 회로는...

위와 같이 바뀐다는 거죠.

다음과 같은 회로에서 각 전압의 식을 구하신 다음,

위와 같이 전압 V₂를 구해봅시다.

이상적인 변압기의 특징은 바로, 두 코일이 완벽하게 결합돼있다는 겁니다. 즉 결합 계수 k=1이라는 거죠.

상호 인덕턴스가 저 하늘색 식이란 걸 이용해서 V₂의 식을 변형시켜보면, I₂항이 소거돼서 nV₁이 나오게 됩니다. 이때 n은 코일 1과 2의 감은 수의 비율입니다. n=N₂/N₁라는 거죠.

이상적인 변압기는 위 그림으로 표기됩니다.

이 변압기가 포함된 다음과 같은 회로를 분석해봅시다!

먼저, Faraday's Law를 통해서 코일 양단의 전압의 식을 세운 뒤, 우측 하단의 빨간 식으로 세워봅니다.

그 후 전력이 보존되므로 식을 위처럼 세울 수가 있겠죠?

먼저 전압기 주요 공식들을 위처럼 전압에 관한 식, 전류에 관한 식으로로 쪼개줍시다.

먼저, 전압에 관한 식입니다. 이때, 웬만하면 각 코일 양단에 걸리는 전압의 +의 위치가 그림처럼 나란하게 두는 것이 좋습니다. 그래야 공식을 외우는 게 편리하기 때문입니다.

아무튼 위처럼 전압의 +와 점의 위치가 두 코일에서 서로 일치하다면, 감은 비율 n은 양수로 계산합니다.

(전압의 -와 점의 위치가 두 코일에서 서로 동일해도 n은 양수로 여깁니다.)

만약 전압의 + 위치가 서로 나란한 상태에서, 점의 위치가 위처럼 서로 엇갈려 있다면, n은 음수로 여겨야 하고요.

다음은 전류에 관한 공식입니다. 두 코일에 흐르는 각 전류의 점에서의 출입 방향이 서로 다르다면, n은 양수로 고려합니다.

만약 위처럼 전류의 점에서의 출입 방향이 서로 같으면 n은 음수로 계산하셔야 하고요.

이때 전압 공식에서의 n의 부호와 전류 공식에서의 n의 부호는 별개입니다.

각 전류를 구하는 문제입니다.

전압 공식을 이용하여 그림처럼 전압을 표시해줍시다. 이때 전압의 + 위치가 서로 나란하게 두셔야 합니다. 그래야 전압의 부호 판별이 더 쉽거든요. 전압의 + 위치가 나란할 때 점들이 서로 엇갈린 곳에 위치해있으므로 감은 비율 n은 음수가 되겠죠. 그럼 전압 부호는 위처럼 표현됩니다.

그리고 각 전류의 점에서의 출입 방향이 서로 같으므로 감은 비율 n은 음수로 계산되겠네요.

이제 각 경로에 대해서 기준을 잡고 KVL을 적용하고 나오는 연립방정식에서...

V는 관심없으므로 소거시켜서 전류만 깔끔하게 구하면 됩니다!

저 8Ω 저항이 소비하는 평균 전력을 구하는 문제입니다.

우선 그림처럼 수 표현 방식을 바꿔주고,

위처럼 코일에서의 전압을 표시해주세요. 전압의 + 위치가 서로 나란할 때 점의 위치는 서로 엇갈려 있으니 부호가 서로 다르겠죠.

그리고 그림처럼 전류를 설정하고, 점에서의 출입 방향을 따져보면, 서로 방향이 같으므로 감은 비율 n은 음수로 취급하여 계산해야 하고요.

그 다음, 각 경로에 대해 KVL을 적용시키고

관심없는 V를 소거시켜서 전류 a를 구하면 되겠네요.그럼 8Ω 저항에서의 전류 I는 저 하늘색 식으로 표현할 수가 있겠고요.

따라서 이 저항에서의 평균 전력은 저렇게 나오게 되네요.

i_x를 구하는 문제군요.

가장 먼저 각 소자의 데이터를 복소수로 변환한 뒤

변압기의 전압을 표시해줍니다.

다음과 같이 전류를 표시했을 때 이번에는 점에서의 출입 방향이 서로 같으므로 감은 비율 n이 음수가 되겠네요!

자! 이제 남은 거는... KVL입니다. 저렇게 경로가 무려 3가지나 나와버리네요, 짜증나게시리.상당히 기괴합니다. 이번에는 20Ω 저항에서 소비하는 평균 전력을 구해야 합니다. 이때, 좌측에 있는 전압이 rms 값이란 걸 인지해둡시다.

그림과 같이 각 코일 양단의 전압을 부호에 유의하며 표시해준 다음,

전류도 부호에 주의하며 표시해줍니다.

그러고 나서 남은 전선에서의 전류도 같이 표기해주고요.

아무튼 이제 KVL을 적용해보면......

.............ㅋ.........

저 20Ω 저항에서의 소비 평균 전력이 뭔지만 알고 싶으니 나머지 미지수는 무시하고 저 전류 b만 처알면 되겠네요

연립방정식 푸는 과정은 여러분들이 알아서 보시고요.

그냥 그림만 봐도 충분히 이해가 가실 텐데 제가 X발 이딴 거까지 일일이 말로 ㅅ

(급차분) 저 저항이 소비하는 평균 전력은 저렇게 나타낼 수가 있답니다! ,,>▽<,,♥

저게 바로 Autotransformer입니다. 뭐 특별한 건 없어요. 변압기를 조금 변형한 것일 뿐입니다.

여기에서도 변압기의 주요 공식을 적용할 수 있어요. Faraday's 법칙을 통해서 우측 상단의 파란 식도 유도할 수 있고요, 전력이 서로 같으므로 중간의 주황색 식과 위의 파란 식으로부터 빨간 식을 도출해낼 수가 있어요.

이 경우에도 마찬가지입니다.

변압기의 주요 공식만 적절히 사용하시면 돼요!

각 전류를 모두 구하는 문제입니다.

우선 코일의 감은 수가 저렇게 표기되어 있으므로

각 구간에서의 전압의 비도 알 수 있습니다. +의 위치와 점의 위치가 두 곳에서 모두 같으므로 부호는 양(+)이고요.

또한 전류 비도 감은 수의 비로부터 금방 알 수가 있습니다.

이제 각 경로에서 KVL을 적용하고

전류 a만 구하면 게임이 끝납니다.

위처럼 말이죠!!!!

전류 방향을 표시할 때에는, 웬만하면 각 점에서 출입하는 방향이 그림처럼 서로 상이하게 되도록 표시하세요.

또한 전력 보존 공식을 쓰실 때 전류 I₁을 I₀로 쓰는 참사가 발생하지 않도록 주의해주시고요!

간단히 말해, Transfer Function(전달 함수)은 입력과 출력 간의 비율을 말합니다.

이 회로의 H(w)를 구해봅시다. 이 전달 함수는 Voltage Gain(V_o/V_i)으로 정의됩니다.

각 소자의 임피던스를 표현할 때, jw는 소문자 s로 치환할 겁니다.

V_o를 구하기 위해선 전압 분배 법칙을 써야만겠죠. 그러기 위해선 저 빨간 박스 내부의 단자의 합성 임피던스를 구해야 합니다.

이제 전압 분배 법칙을 쓰시면 V_i와 V_o에 대한 식이 위처럼 나오게 됩니다. 

따라서 전달 함수 H(s)는 저렇게 표현됩니다.

그림과 같은 직렬 RLC 회로를 살펴봅시다. 이번에는 좀 더 깊고 유심하게 살펴볼 거예요.

먼저 전체 임피던스 Z부터 구해보고 따져봅시다. 이때 공명 즉, Resonance가 발생하려면 회로 상의 전류의 최댓값이 최대가 돼야 합니다. 이러기 위해선 Z의 크기가 최소가 돼야겠네요. 여기서 변수는 각진동수 w밖에 없으므로, 저 임피던스의 허수 부분이 0이어야 합니다! 즉, 이때의 w가 바로 공명 진동수(Resonant Frequency)예요!

공명 진동수 w₀일 때 코일, 축전기에 걸리는 전압의 최댓값은 전류의 최댓값과 리액턴스의 곱으로 나타낼 수 있어요. 여기서 Q는 Quality Factor(Q 인자)이며, 식은 위처럼 표현됩니다.

각진동수에 따른 전류의 최댓값의 함수의 그래프를 그려보면

위와 같이 그려지게 됩니다. 여기서 w₀일 때 전류의 최댓값이 최대가 되는 동시에, 평균 전력도 최대가 됩니다. 여기서 w₁, w₂일 때 전류 최댓값은 최댓값의...

..제 말은, 공명 진동수에서의 전류의 최댓값의 sqrt(1/2)배가 된다는 겁니다 ㅎㅎ;;

이러면 평균 전력도 (1/2)배가 되는 것이죠. 이때의 두 각진동수를 Half-Power Frequencies라고 부릅니다.

이때의 각진동수 w₁, w₂를 찾아보면 위와 같이 나오게 됩니다. 이때 각진동수는 양수여야 함에 주의하세요.

Bandwidth(대역폭)은 w₁, w₂의 차이로 구해지게 됩니다.

또한 B는 Q에 대한 식으로 나타낼 수도 있습니다.

그리고 만약 Q가 10 이상의 값을(충분히 큰 값) 가진다면 w₁, w₂는 위처럼 근사할 수도 있습니다.

위와 같은 병렬 RLC 회로를 살펴봅시다.

이 경우 역시 공명이 발생하려면 전류의 최댓값이 최대가 돼야 하므로, 전체 임피던스는 최소여야 합니다. 이를 만족시키는 공명 진동수 w₀는 직렬 RLC 회로의 경우에서랑 동일하게 됩니다!

이때에도 Quality Factor Q를 구할 수 있습니다. 위처럼 말이죠.

그 후, 저항에 걸리는 전압의 최댓값의 함수의 그래프를 그려보면

위와 같이 그려집니다. 이때 w₁, w₂는 전압 최댓값이 w₀에서의 sqrt(1/2)배가 되도록 하는 Half-Power Frequencies입니다.

즉, w₁, w₂는 저렇게 구해집니다. 각진동수는 양수임을 기억하세요.

즉, Bandwidth B는 저렇게 표현되겠죠.

만약 Q가 충분히 크다면(10 이상), w₁, w₂는 저렇게 근사되고요.

묻는 게 참 많네요~

그래도 개념 공부를 한다는 생각으로 풀어봅시다.

네 질문들은 그냥 공식에 때려넣기만 하면 풀립니다!

(이때 Q의 값이 10보다 크므로 w₁, w₂를 근사해서 풀 수도 있습니다. w₀에서 B/2를 더하거나 빼는 식으로 말이죠!)

빨간 질문입니다. Half-Power Frequencies인 w₁, w₂에서는 전류 진폭이 w₀에서의 sqrt(1/2)배라고 말씀드렸죠?

역시 묻는 게 많군요.

공식에다 다 때려넣으면 그만입니다~! 이때, Q가 엄청나게 크므로 w₁, w₂는 근사해서 구해냅시다!

그리고 w₁, w₂에서의 평균 전력은 w₀에서의 (1/2)배라고 강조했습니다! 애초에 이 두 각진동수의 명칭부터가 Half-Power Frequencies이잖아요.

먼저 임피던스를 구해주고,

합성 임피던스를 그림과 같이 구해냅니다.

그 후, 실수 부분과 허수 부분이 두드러지도록 식을 정리해줘야 합니다. 더럽네요

그리고 이제 뭐 어쩌란 걸까요?

허수 부분에만 중점을 두므로 실수 부분은 굳이 불필요하게 구하지 맙시다!

위의 식이 0이 되기 위한 공명 진동수 w₀=4841 rad/s이군요!!

위 회로의 공명 진동수를 구하는 문제입니다!

아까처럼 전체 임피던스를 구합시다.

그리고 실수 및 허수 부분이 분명해지도록 정리해주고요. 이때 허수 부분이 0이 되는 w를 찾아야 하므로, 실수 부분은 무시하고 허수 부분만 구해야 합니다. 그래야 시간이 절약되니까요.

따라서 최종적으로 w₀는 저렇게 표현됩니다.

(The End)

끝까지 감상해주셔서 감사합니다!!!