Welcome to 'Electric Circuits' 1편

Question

---이전 만화 보러 가기--------------------- 화2 산 염기 평형 - https://url.kr/2qaua4 일반물리 몇 문제 - https://url.kr/3ag3uo 물2 퀴즈쇼 - https://url.kr/cpsf5l 미분방정식 1편 - https://url.kr/qh93il 미분방정식 2편 - https://url.kr/s11fhf -------------------------------------------  (분량이 너무 길어 게시가 불가능하여, 1편과 2편으로 나누었습니다.)  지금까지 제작한 만화 중에서 가장 긴 분량인 동시에, 오르비에서 가장 긴 게시글이라고 해도 과언이 아닌 만화가 드디어 게시됐습니다!!!!  제작 기간 - 2주 이상.  첨가 이미지 수 - 1200장 이상.  더욱 개선된 그림체.  부탁이니 좋아요 좀 눌러주세요!!! 제게 큰 힘이 됩니다!!!!  매일 거진 5시간 이상 소비해가면서 그려왔습니다. 예전에 만들던 만화들은 삼성 노트 파일 하나만으로 충분히 완성시킬 수 있었으나, 이번엔 달랐습니다. 제작할 때 수많은 펜 글씨 및 이미지로 인한 렉 현상 때문에 다른 노트 파일에 이어서 만화를 그려야 했는데, 결국 최종적으로 4개의 노트 파일이 공존하게 됐습니다. 한 마디로, 이 만화는 이전까지의 만화랑은 분량이 비교도 안 될 정도로 막대하게 길다는 것입니다. 이 분량을 견디느라 제 몸에서 영혼이 몇 번 이탈해갔습니다. 또한 그 만큼 글로 설명도 해야 하기 때문에 그야말로 지옥 그 자체였습니다. 다 만들고 보니까, 확실히 이전 만화들에 비해서 그림이 깔끔해졌다는 게 체감이 됐습니다.  장담컨대, 이 만화는 한번에 다 읽기가 매우 힘드실 겁니다.  어쨌든 잡소리는 여기까지 하고, 바로 만화로 들어가봅시다. 오류 지적은 언제나 환영입니다!  (여담 : 때때로 그림을 보는 게, 설명을 보는 것보다 이해가 더 잘 될 수도 있습니다.)               먼저 전압원입니다. 저런 형태의 소자가 바로 전압원인데, 우측의 전원 장치와 동일합니다. 양 옆의 전위차가 V가 되도록 해주는 역할을 해주죠. 이때 우측 그림에서 긴 초록 선 쪽이 +, 짧은 초록 선 쪽이 -입니다. 이건 전류원이라고 합니다. 전류원 끝에 뭐가 연결됐든, 화살표 방향으로 항상 세기가 i인 전류가 흐르게 됩니다. 이 회로를 예로 들어보면, 저 depentent(의존) 전압원의 전압이 2Vx이고, 5Ω 저항 양단에 걸리는 전압은 Vx잖아요. 즉, 저 저항 양단의 전압 Vx에 '의존'하여 저 의존 전압원의 전압 값이 2Vx로 결정되는 것입니다.       이 회로에서 의존 전압원 옆에 적힌 i0는 전류가 아닌 전압입니다. 만약 i0=2라면 회로 상에 흐르는 전류는 화살표 방향으로 2A라는 거고, 의존 전압원의 전압은 10V라는 거죠. 절대 헷갈리시면 안 돼요!! 이 경우의 의존 전류원은 공급하는 전류가 2V0라는 뜻이에요! 전류원 양단의 전압을 뜻하는 게 절대 아닙니다!!  먼저 가장 기초적인 공식! 바로 옴의 법칙입니다! 그리고 전력 공식도 미리 익혀주세요! 나중에 자주 쓰니까요! 다음은 Kirchhoff's Current Law, KCL입니다! 들어가는 전류의 양은 나오는 전류의 양과 서로 같다는 법칙이죠!  저항의 직렬 연결입니다. 옴의 법칙 V=IR를 이용하여 각 저항 양단에서의 전위차(전압)을 비교해봅시다. 그럼 직렬 연결의 합성 저항값은 저 빨간 식으로 나타남을 알 수 있죠. 자세히 보시면, 각 저항에 걸리는 전압을 각각 V1과 V2라고 할 때, V1 : V2 = R1 : R2임을 알 수 있는데, 이를 전압 분배 법칙이라고 합니다.   저항의 병렬 연결입니다. 이 경우에는 먼저 두 저항 양단에 걸리는 전압이 서로 같다는 것과 KCL(들어가는 전류 양=나오는 전류 양)을 활용하여, 각 저항에 흐르는 전류 I1과 I2를 구해내야 합니다. 자세히 보시면 전류의 비와 저항값의 비에 대하여 I1 : I2 = R2 : R1임을 확인할 수 있는데, 이를 전류 분배 법칙이라고 부릅니다.    어쨌든 그 후, 전압 V0를 구하여 그림과 같이 식을 정리하면 저항의 병렬 연결의 합성 저항값이 도출됩니다. 먼저 이 회로를 분석해봅시다. 두 빨간 점의 전위차 V0를 구하는 문제이죠. 먼저 계산의 편위를 위하여 임시로 맨 밑 부분을 접지시켜 전위를 0V로 만들어버립시다. 그런 다음엔, 빨간 화살표 방향으로 I의 전류가 흐른다고 가정하고, 주황색 화살표 방향을 따라 경로를 따라가봅니다. 이제 10V 전압원을 지나야 합니다. 이때는 -에 들어가서 +로 나오므로 전위는 10V가 더해집니다. 쭉쭉 가봅시다. 이번엔 16Ω 저항을 지나야 하군요. 이 경우에는 V=IR 공식을 적용해야 합니다. 그럼 전위에는 16I가 더해지는 것이죠. (16IV라고 하면 헷갈리므로 뺐습니다.)     아까 그 상황에 대해 자세하게 설명해드릴게요. 저항 양단에 걸리는 전압을 표시하기 위한 +, -의 위치와 전류의 방향에 따라 각 양단에서의 전위가 서로 달라집니다. 그림에서처럼요. 왜냐하면 전류는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르는 경향이 있거든요.  전압원은 +쪽이 -쪽보다 전위가 더 높다는 것만 기억하시면 됩니다. 14Ω 저항을 지나면 전위가 14I 감소하게 됩니다. 다음은 25V 전압원인데, 이번에는 +로 들어가서 -로 나오죠? 아까 전압원에서 +쪽의 전위가 -쪽보다 더 높다고 명시해줬고요. 즉, 전위는 25V가 감소하는군요! 그런데 맨 처음에 맨 아래 전선에서의 전위는 0V라고 잡아줬고, 이 선에서의 전위가 (-15-30I)V라는 것을 밝혀냈으니 I=-0.5A라는 것입니다..?  제가 전류의 방향을 처음 정할 때, 빨간 화살표 방향으로 흐른다고 가정했었잖아요? 그런데 계산을 해보니 실제로 흐르는 전류의 방향이 파란 화살표 방향이었고요. 네, 그렇습니다. 빨간색 방향으로 -0.5A 전류가 흐른다는 것은? 파란색 방향으로 0.5A 전류가 흐른다는 얘기이죠~ 전류에 -가 붙으면, 전류의 방향이 뒤바뀐다는 것을 알아둡시다! 이제 각 지점에서의 전위를 구해봅시다. 그러면? 답은 18V가 나오는군요. Vx를 구하는 문제입니다.  계산 편의를 위해서 저 빨간 지점의 전위를 0V로 두고 I의 전류가 화살표 방향으로 흐른다고 가정해볼게요. 아까와 같은 방법으로 각 지점에서의 전위를 구하면 됩니다! 그리고 빨간 점이 포함된 전선에서의 전위가 0V라는 걸 이용해 I와 Vx간의 관계식 하나를 얻어주세요. 이때 우측에 있는 5Ω 저항 양단에 걸리는 전압 Vx와, 회로 상에 흐르는 전류 I 간의 관계식도 고려해야 합니다! 그럼 두 관계식으로부터 Vx를 구할 수가 있어요! 좌측 회로에서 옴의 법칙을 이용하여 V0를 구해내어 정리합니다. 이제 우측 회로에만 중점을 둘 겁니다. 20kΩ 저항에서의 정보에만 관심이 있기 때문이죠. 또한 빨간 선에서의 정보도 우린 알 거 없고요.      버립시다.        저 두 저항의 집합체가 서로 같아야 하는 조건을 알아봅시다. 먼저 세 쪽 중 한 쪽만 연결이 되지 않았다고 생각해보죠. 이때 우측에서 연결되지 않은 쪽의 저항 R2에는 전류가 흐르지 않으니 무시해주세요. 그럼 연결된 두 쪽 간의 합성 저항값은 저런 식으로 나타나게 될 겁니다. 같은 방법을 반복하면 저 3개의 식이 나타나게 됩니다. 위 세 식을 잘 연립해보면 R1을 구할 수가 있네요! 같은 방식으로 R2, R3도 구할 수 있고요! Ra, Rb, Rc를 구하려고 저 해괴한 파란 식을 써야한다는 게 좀 내티지 않지만 어쩔 수 없잖아요.  그림대로 식을 정리하다 보니 Ra가 나오게 되네요. 즉, Ra, Rb, Rc는 저렇게 표현됩니다. Ra, Rb, Rc의 공식은 형태가 모두 비슷하니 Ra의 식만 암기하면 돼요. 여기서 Ra와 R1은 서로 이웃하므로 공식의 분모자리에는 R1이 들어가게 됩니다. 다음은 R1, R2, R3입니다. 역시 공식 형식들이 모두 비슷하므로 R1 공식만 외워도 충분해요! 여기에선 R1을 Rb, Rc가 둘러싸고 있으므로, 그 두 저항의 곱인 RbRc를 공식의 분자자리에 넣어야 합니다. 이 문제입니다. 물2 자작 29편에 있었던 문제예요. 공식을 이용하여 Y자를 ∇모양으로 변환해줍시다.  그러면 위처럼 두 개의 회로가 공존하게 됩니다. 좌측 회로의 데이터를 모두 2배 증가시킨 결과가 우측 회로잖아요? 따라서 R0=16Ω입니다. 각 지점 1, 2, 3에서의 전위를 구해야 하는 문제입니다. 임의의 전류 a, b를 저런 식으로 정해줍시다. 그리고 KCL을 이용하여 각 전선에 흐르는 전류를 표시해주세요. 위처럼 경로 1, 2를 정해야 합니다. 이제 전위 계산을 하는 KVL(Kirchhoff's Voltage Law)을 각 경로에서 사용합시다. 이때 특정 지점을 기준으로 해서 화살표 방향으로 경로를 따라가면서 전위를 계산해갔습니다. 제가 입 아프게 말로 설명하는 것보다 차라리 그림을 자세히 살펴보시는 게 이해가 더 잘 될 거예요! KVL을 사용해서 나온 연립방정식을 풀어주세요! 그러면 a, b가 나옵니다! 게임이 끝났네요. 여기서 맨 밑의 전선은 접지가 돼 전위가 0V이므로 전위 계산을 통해 각 지점 1, 2, 3의 전위를 구하면 됩니다. 임의의 전류 a, b를 표현~   a, b만으로는 답을 얻어내는 게 어려울 테니 새로운 전류 c를 추가~ 또 정보가 부족하니 전류 d도 추가~ 이렇게 총 4개의 경로가 나타나는군요~ 각 경로에서의 특정 점을 기준으로 잡고, 화살표 방향으로 경로를 따라가면서 KVL을 적용시키세요! 가독성을 위해서 각 전류에 색을 입혔습니다. 그럼 저 흉측한 연립방정식이 나와요.. 저 연립방정식을 행렬의 형태로 표현해봅시다. 그러면 해의 원소가 모여있는 행렬 X는 A-1B의 행렬곱으로 구할 수 있어요! 이를 통하여 매트랩의 힘을 잠시 빌리면... a, b, c, d를 한번에 구할 수가 있게 됩니다!!  이제 매트랩으로 구한 네 전류를 저 기괴한 회로에 적용해봅시다. 어지럽네요  아무튼 전류를 모두 구했으니 각 지점에서의 전위도 구할 수가 있죠. vx와 ix를 구하는 문제입니다.      이제 각 전선에서의 전류를 그림과 같이 표시해줍시다. KCL를 적용했고요. KVL을 위해 경로를 정해야 하는데, 전류원은 포함시키지 말라고 당부했죠? 즉, 가능한 경로는 저것 뿐입니다. 먼저 KVL을 적용시켜 관계식을 하나 구해낸 뒤, 2Ω 저항에 걸리는 전압과 그 저항에 흐르는 전류를 통해 V=IR의 관계식을 하나 더 얻어내야 합니다. 이때 전류 방향과 전압 +, - 방향에 의한 부호에 조심해야 합니다! 아무튼 2개의 관계식을 통해 vx와 ix를 구해내면 끝!!!!!!!! Superposition을 적용시켜서 v0를 구해봅시다.  이 과정이 중요합니다. 하나의 전압원(전류원)을 기준으로 한다면 나머지 전압원(전류원)은 모두 없다고 가정을 해야 합니다!!! 여기서 빨간 글씨로 적혀있듯이, 전류원과 연결된 전선도 없다고 생각해야 해요! 먼저 12V 전압원을 기준으로 잡아볼게요. 그러면 2A, 4A 전류원 뿐만 아니라 전류원과 연결된 전선도 모두 없어집니다. 자, 그럼 회로가 저렇게 나타나게 되죠. 이때 5Ω 저항에 흐르는 전류는 저렇게 나타난다는 걸 알 수 있어요. 전압원에 3개의 저항들이 직렬 연결되어 있으니.. 다음은 4A 전류원입니다. 여기서 12V 전압원을 무시할 때, 전류원처럼 전선을 없애서 생각하시면 큰일납니다! 이 경우에는 하나의 저항과, 서로 직렬 연결된 두 저항이 병렬 연결을 하고 있는 꼴이므로 5Ω 저항에 흐르는 전류가 저 파란 식이란 걸 알 수가 있겠죠? 마지막으로 2A 전류원입니다.  이때도 유사한 방식으로 5Ω 저항의 전류를 구하면 되지요! 전류 세기와 방향까지 모두 고려하여 전체 전류를 합한 뒤, 옴의 법칙을 통해 v0를 구하면 게임 끝! 먼저 30V 전압원을 기준으로 합시다. 여기서 주의하셔야 할 게, 의존 전류원(전압원)은 그대로 두셔야 합니다! 지우면 안 돼요!!!! 30V 전압원을 기준으로 한 새로운 회로입니다. 여기서 v0는 나중에 생각하셔야 합니다. 그리고 의존 전류원의 전류를 i0가 아닌 b로 정해줍시다. 또한 10Ω 저항에 전류 a가 흐른다고 가정도 해보고요.  KVL을 쓰면 a, b의 관계식을 얻을 수 있는데, 유의하셔야 할 게 뭐냐면, a, b의 정확한 값은 구할 수 없다는 것입니다.  정확한 값은 몰라도, 저 관계식이 불필요하다는 건 절대 아니므로, 우선 우측 상단에 그대로 적어둘게요! 그 후, 6A 전류원을 기준으로 잡아봅시다. 각 전압원(전류원)만 고려해서 나타낸 회로 상의 전류 및 전압의 합은 원래 회로 상의 전류, 전압과 같아야 한다는 겁니다. 6A 전류원을 기준으로 한 새 회로입니다. 위에서 설명했던 대로, 10Ω 저항에 흐르는 전류와, 의존 전류원의 전류는 마음대로 정해선 안 되며, 그림처럼 나타내야 합니다! 이제 KVL을 적용합시다.방금 7a+2b=3이라고 했죠? 근데 KVL 식을 정리해보니 7a+2b라는 식이 나타났습니다! 신기하죠? 그러면 i0도 손쉽게 구할 수 있습니다. v0는 옴의 법칙으로 구할 수 있고요!! vx를 구하는 문제! 6A 전류원을 기준으로 해보죠. 의존 전압원은 그대로 두고, 이거의 전압을 4ix가 아닌, b라고 두고요.  KVL을 통해 a, b의 관계식을 얻어냅시다. 다시 한번 말하지만, a, b의 값은 구할 수 없습니다. 그냥 저 관계식 그 자체가 중요한 거예요.  아무튼 이제 4A 전류원을 기준으로 잡아봅시다. 여기서 의존 전압원의 전압은 전체 전압 4ix에서 b를 뺀 값이고요, 2Ω 저항에 흐르는 전류는 ix에서 a를 뺀 것입니다. KVL을 적용합시다. 여기서 아까 구했던 10a-b의 식이 나오게 됩니다!! 그러면 ix를 간단하게 구할 수가 있는 거죠! 자, 이제 원래 회로 상에 흐르는 전류를 정리한 후 vx를 구하면 클리어예요!! 저 두 회로가 서로 같다는 개념입니다!! 간단하죠? 저게 왜 같은 건지 보여드리겠습니다. 먼저 a 단자 쪽으로 전류 a가 흐르게 둬보죠. 그러면 b 단자로부터 전류 a가 나오게 됩니다. 이 성질을 이용해서 그림과 같이 정리하면 vs=isR라는 결정적인 식이 나타나게 됩니다. 그런데 좌측에서 저항 R이 전압원의 +가 아닌 -쪽에 연결됐다면 어떨까요? 어떻긴 뭘 어때요. 그래도 같지. 이 경우에도 똑같은 방법으로 증명을 할 수가 있답니다. 또한, 이 성질은 의존성 전압원(전류원)에서도 똑같이 적용됩니다! ix를 구하는 문제입니다. 원래 같았으면 KCL, KVL을 사용해서 구했겠지만, 이번엔 Source Transform을 써야겠죠? 제일 먼저 저 빨간 테두리 안의 회로를 변형시켜봅시다. 전류가 0.7ix이고 저항값이 10Ω이잖아요? 이걸 전압원과 저항이 모인 회로로 변형시켜본다면, 저항값은 10Ω으로 보존되고, 전압은 7ix가 될 겁니다. 자, 바꾸자마자 다시 바꿔야 합니다. 빨간 테두리 안의 회로를 바꾸면?  저렇게 나타나고요, 또 다시 빨간 박스 안의 회로를 변환시키면? 최종적으로 저렇게 훨씬 더 간결한 회로가 탄생하게 됩니다! 이제 KVL를 적용하면 ix를 편리하게 구할 수 있군요!!!!   다음과 같은 회로가 있다고 칩시다. 저 두 양단 a, b에 대하여 Thevenin 등가 회로를 얻어야 한다는 내용이거든요. 뭔 말이냐면, 저 복잡한 좌측 회로를 저 우측처럼 굉장히 간단한 회로로 변형시킬 수 있다는 것입니다!!!!!!       먼저 RTh를 구해봅시다. 이 과정에서 먼저 해야 할 것은, 전압원과 전류원을 모두 무시해야 한다는 겁니다. 전류원을 무시할 때, Superposition 때처럼 전류원과 연결된 전선도 같이 무시해야 합니다. 그 뒤, 단자 a, b의 관점에서 전체 합성 저항값을 구해야 합니다. 그림을 참고하세용! VTh를 구하기 위해서는, 전류원과 전압원은 그대로 나둔 후, 단자 a, b의 전위의 차를 구해야 합니다. 여기서 주의하셔야 할 게 뭐냐면, VTh는 a에서의 전위에서 b에서의 전위를 뺀 값(Va-Vb)으로 구해야 합니다. 착각해서 반대로 빼면 그냥 대참사입니다!  VTh를 구할 때 또 유의하셔야 할 게 있어요. 단자 a, b에는 연결된 게 아무것도 없어서 전류가 흐르지 않는다는 겁니다. 아무튼 회로 상에 흐르는 전류를 그림처럼 표시해놓은 다음?   KVL을 적용시키면...!? a가 나와요! VTh=Va-Vb임에 유의하면 그림에서처럼 VTh를 구할 수 있게 됩니다! Thevenin 등가 회로는 저항과 전압원이 있는 회로, Norton 등가 회로는 저항과 전류원이 있는 회로라고 생각하시면 됩니다. 각 회로는 Source Transform을 통해서 변환이 가능하고요!  모양이 좀 망측하지만 그래도 도전해봅시다...! 먼저 RTh를 구하는 과정입니다. 전압원, 전류원(전선 포함)을 모두 없애버립시다. 모양이 훨씬 더 간단해졌네요. 아무튼 단자 a, b사이의 합성 저항값을 구하면 저렇게 나타나게 됩니다. 다음은 VTh입니다. 전압원, 전류원 모두 그대로 나두고, 단자 a, b의 전위 차이를 구해야 합니다. 우선 각 전선에서의 전류를 그림처럼 표시해봅시다. 전류원을 피해서 KVL을 쓰기 적합한 경로를 선택한 뒤, KVL 적용하면 a에 관한 일차방정식이 나옵니다. VTh=Va-Vb라는 걸 상기하고 그림과 같이 전위차를 구해보면 10V가 나오게 되네요! Thevenin, Norton 등가 회로는 위와 같습니다.  RTh를 먼저 구해보죠. 이때 independent 18V 전압원만 제거하고 0.25v0 의존 전압원은 그대로 내둬야 합니다. 그 다음엔...      아 맞다, 저 단자 a, b 사이에 1A의 가상의 independent 전류원을 꽂는 거였습니다. 이제 각 구간마다 흐르는 전류들을 모두 표시해줍시다. 여기서 v0라는 데이터는 그대로 써야 합니다!   KVL을 적용하여 v0를 구해낸 다음에, 각 지점에서의 전위를 구해야 합니다! 결과적으로, a 단자와 b 단자의 전위는 각각 3V, 0V(가정한 값)이란 걸 알 수 있죠. 그러면 가상의 전류원 양단의 전위차는 3V이므로 그림에 적은 식에 의하여 RTh=3Ω임을 알 수가 있겠네요. 이때 전위차는 a의 전위에서 b의 전위를 뺀 값임을 기억하세요. 그리고 가상 전류원의 전류 방향이 반드시 b에서 a쪽으로 향하도록 한 상태에서 RTh를 구하는 것이 편합니다. RTh는 단자 a, b사이의 전위차를 전류원의 전류로 나눈 값이고요. VTh입니다. 이때는 똑같이 a, b 사이의 전위차만 구하면 해결돼요. 각 구간에서의 전류를 표시하고... 예. 이젠 감이 잡히시죠? 아, 이때 단자 a에는 전류가 흐르지 않는 데다가, 의존 전류원에는 전류 v0/4가 흘러야 하므로? KCL에 의해 2Ω 저항에는 빨간 화살표 방향으로 v0/4의 전류가 흘러야 합니다. 그리고, 지금 VTh를 구하는 과정에서 쓰이는 v0는 RTh를 구하던 과정에서 썼던 v0와는 별개임을 아셔야 합니다.   이제 KVL을 써보면? v0가 나오게 됩니다. 이 v0의 값을 이용하여 a, b 사이의 전위차를 구하면 3V가 나오는데 이게 곧 VTh라는 거죠? RTh부터 해보겠습니다. independent 소자인 3V 전압원은 빼버리고, 중간에 dependent 소자들이 있으므로 단자 ab 사이에 가상의 전류원 또는 전압원을 꽂아야 해요. 전류원은 아까 했으니 이번에는 1V 전압원을 넣어보겠습니다.  좌측 회로에서 KVL을 통해 Vx와 I0 사이의 관계식 하나를 구하고요? Vx=-500I0라는 관계식을 모든 부분에 적용시킨 뒤, 우측 회로에서 KVL을 사용하면 I0의 값도 구할 수가 있어용 그러면 가상의 전압원에는 전류가 그림처럼 흐르게 되고요. 이때 밑에 빨간 글씨로 강조했듯, 가상 전압원의 +가 a쪽으로 오게 한 후, 이 전압원에 흐르는 전류 방향이 b에서 a쪽으로 향하도록 해야 RTh를 헷갈리지 않게 구하실 수 있습니다. RTh는 전압원의 전압을 전류로 나눠서 구하실 수 있고요.   이 경우는 별 거 없어요. 좌측 회로에서 KVL을 쓰고, 우측 회로에서 옴의 법칙을 쓰면 그만이니까요. 우측에서 VTh는 결국 50Ω 저항 양단의 전압과 같은 꼴이므로 VTh=2V이군요. 저 저항 RL이 소비하는 전력이 최대가 되도록 이 저항값을 조절하고 싶은 상황입니다. 그러기 위해선 제일 먼저 Thevenin 등가 회로를 얻어내는 게 엄청 중요해요. 그게 싫다고 무식하게 개돌해서 식을 정리했다간, 계산 미사일 여러 발이 당신을 덮쳐서 당신의 필기 화면이나 종이면을 새까맣게 태운 것마냥 검정색으로 도배가 돼버리고 그에 따라 당신의 멘탈도 아주 그냥 개박살이 나서 그 박살난 부스러기를 과자 조각으로 착각하여 당신 집으로 침투해버린 크나큰 벌레 떼가 당신의 침실 안의 침대 밑에 잠복해있다가 새벽에 다리 기는 소리를 내며 당신의 옷 속으로   어쨌든, Thevenin 등가 회로 도출은 필연적인 과정입니다. 그러면 RL에서의 소비 전력은 저 파란 식으로 간단하게 표현할 수가 있습니다.  예제 하나 봅시다. 저 오른쪽에 있는 저항 R이 소비하는 전력이 최대가 되도록 하는 R값과, 그때의 소비 전력을 구하는 문제이죠.  가장 먼저 Thevenin 등가 회로를 구해봅시다. RTh를 구하기 위해 중간에 있는 전압원을 뺴버립시다. 그러면 단자 ab 관점에서 저항의 연결 방식은 그림처럼 되어있을 거예요. 네? 이해가 잘 안 가신다고요? ...이러면 되려나요? 아무튼 이걸 통해 RTh=25Ω임을 알 수 있겠네요! VTh도 간단합니다! 단자 a, b 사이의 전위차를 구하는 것이므로 그림처럼 전압 분배 식을 이용하며 각 지점에서의 전위를 구하면 쉽게 알아낼 수 있어요. VTh가 음수가 나왔다고 겁 먹으시면 안 돼요. 왜냐하면...  좌측처럼 뒤집힌 전압원으로 표현할 수 있으니까요! 그럼 최대 소비 전력을 위한 저항값 R과 그때의 R에서의 소비 전력 둘 다 구할 수가 있죠!! 아까랑 똑같이 최대 소비 전력을 위한 R의 값과 그때의 소비 전력을 구하는 문제예요.  RTh를 구해봅시다. 먼저 독립(independent) 4V 전압원은 제거하고, 위에 의존(dependent) 전류원이 있으므로 단자 a, b 사이에 가상의 전류원(전압원)을 꽂아야 합니다. 여기에선 1A 가상의 전류원을 꽂았습니다. 자, 새로운 회로가 만들어졌네요. 이때 6Ω 저항에 흐르는 전류와 가상의 전류원에 흐르는 전류가 서로 같아야 하므로 Vx=6임도 바로 캐치할 수 있어야 합니다. 이제 a, b 양단의 전위차를 KVL을 통해 구해내고, 그림의 빨간 식을 이용하여 RTh를 구하면 됩니다. 값이 뭔가 좀 무식하게 크지만 틀린 풀이는 없으므로 넘어가겠습니다.  VTh. 이 경우 6Ω 저항에는 전류가 흐르지 않으므로 걸리는 전압도 0이 됩니다. 즉, Vx=0이고? 우측 상단 부분에는 전류가 흐르지 않으므로 쌩까주시면 되겠고요, 좌측 하단 부분에서 KVL을 적용시켜서 전류 a를 구해주시면 됩니다! 이제 구한 a의 값을 통해서, 각 지점에서의 전위를 구해주시면 됩니다. 그러면 VTh=3V임이 역력하게 되죠. Thevenin 등가 회로도 구했으므로 전력 공식을 쓰면 최대 소비 전력이..... ㅇ? Op Amp의 뒤쪽 전선에는 전류가 흐르지 않고, 그와 동시에 전위도 서로 같다는 내용입니다. 단, Op Amp의 우측 하나의 전선에는 전류가 흐를 수 있습니다. 이 소자에 표기되지 않은 숨은 전선이 있기 때문이죠. 이 전선이 뭔지는 여기선 안 다룰 겁니다.   그냥 누가 봐도 v0를 구하라는 문제죠?  우선, Op Amp의 뒤쪽 전선 두 개는 전위가 서로 같다는 걸 이용해줍니다. 그리고, 그 두 개의 전선에는 전류가 흐르지 않는다는 걸 이용합니다. ...끝입니다.                     1단계 : Op Amp의 뒤쪽 두 전선의 전위는 서로 같음을 이용하여 각 지점의 전위를 그림과 같이 표시한다. 2단계 : 전위차와 저항값을 이용하여 전류를 그림과 같이 구해낸다. 3단계 : Op Amp의 뒤쪽 두 전선에는 전류가 흐르지 않음을 상기하며 각 전선에서의 전류를 위와 같이 표시한다. 4단계 : 옴의 법칙을 사용하여 각 지점에서의 전위를 구한다. 5단계 : 그림처럼 Op Amp의 뒤쪽 전선들의 전위는 서로 같음을 인지하며 특정 지점들의 전위를 미지수 p로 놓고, Op Amp의 뒤쪽 전선들엔 전류가 안 흐름을 이용하여 p를 구한다. 6단계 : 전위차와 저항값을 통해 전류를 구한다. 7단계 : 옴의 법칙으로 전위차를 구해낸 후, v0를 도출해낸다. 전기 용량이 C인 축전기에 화살표 방향으로 i의 전류가 흐르는 상황을 봅시다. 이때 축전기 양단에 걸리는 전압을 V라고 하고요. 그러면 축전기에 충전되는 전하량을 Q라고 할 때, Q=CV라는 식이 성립하게 됩니다. 전하량의 단위는 C(쿨롱)이며, 전기 용량의 단위는 F(패럿)입니다.      이때, 전류는 단위 시간 동안 어떤 단면적을 지나는 전하의 양이잖습니까? 따라서 저 식을 전류 i의 시간 t에 대한 적분으로 표현할 수도 있습니다. 또한, 축전기에 저장된 전기 에너지의 공식은 저렇게 나타남도 기억해주세요!  전류의 방향과 축전기 양단의 전압의 +, - 위치는 항상 신중하게 고려해주시기 바랍니다! 먼저 축전기의 직렬 연결입니다. 이때는 두 축전기를 지나는 전류가 서로 동일하죠. 따라서 등식 (2)는 저렇게 표현됩니다.  이 두 식을 서로 연립하면 축전기의 직렬 연결의 합성 전기 용량을 구할 수가 있게 됩니다. 다음은 병렬 연결! 전류가 서로 나눠지기에 두 축전기에서의 전하량은 서로 상이합니다. 이 세 식들을 서로 연립해봅시다. 그림을 봐주세요. 자, 저 빨간 식이 바로 축전기의 병렬 연결의 합성 전기 용량입니다. 축전기의 중요한 성질 중 하나는, 축전기가 충전 중일 때엔 전류가 흐르나, 충전이 완료되면, 축전기에 전류가 더 이상 흐르지 않는다는 것입니다.         그림처럼 자체 유도 계수(인덕턴스)가 L인 코일에 전류 i가 흐른다고 해봅시다. 그럼 코일 양단의 전압이 V일 때, V의 식은 저런 식으로 표현됩니다. V=L*(di/dt). 자체 유도 계수의 단위는 H(헨리)입니다.      코일에 저장된 자기 에너지는 저렇게 구할 수가 있고요.  다음은 코일의 연결입니다! 코일이 서로 직렬 연결돼있다면, 식은 위처럼 세울 수가 있겠죠. 이 두 식을 서로 연립하면 코일의 직렬 연결의 합성 자체 유도 계수를 구할 수가 있게 됩니다! 다음은 병렬 연결입니다. KCL까지 고려하면서 식을 세워준 다음,  서로 연립하면 돼요! 그럼 드디어 코일의 병렬 연결의 합성 자체 유도 계수가 나오게 됩니다. 위 코일의 연결 공식은 코일이 서로 충분히 멀리 떨어져 있을 때만 유효합니다. 코일들이 서로 너무 가까이 붙어있으면 서로에게 영향을 미쳐버려서 저 공식이 더 이상 통하지 않게 되거든요. 이에 대한 자세한 설명은 맨 나중에 설명하겠습니다! 그리고 전류 방향과 전압의 +, - 방향도 항시 고려해주세요. 코일의 중요한 성질 중 하나는, 초기 상태의 코일에는 전류가 흐르지 않고 전위차만 생기다가, 시간이 충분히 흐르게 되면 코일에는 최대의 가능한 전류가 일정하게 흘러 더 이상 전위차가 생기지 않는다는 것입니다. 평형 상태(시간이 충분히 지난 상태)일 때 iL과 vC를 구하는 문제입니다.  평형 상태에선 축전기엔 전류가 흐르지 않고 전압만 걸리고요, 코일에는 전류가 흐르되, 전압이 걸리지 않아서 저항 없는 전선같은 역할을 하게 됩니다. 잠시 축전기와 코일을 빼놓으면, 각 전선에 흐르는 전류를 모두 구할 수 있습니다.  축전기와 코일을 다시 돌려놓을게요. 그리고 아까 구한 전류를 통해 각 지점에서의 전위를 구하면 vC=0V임을 알 수 있죠. iL=2A라는 것도요. 여담으로 축전기와 코일에 저장된 전기 에너지, 자기 에너지도 공식을 이용하여 저렇게 구할 수 있고 말이에요. 시간 t에 대하여 t<0일 때 스위치를 계속 닫아 놓았다가, t=0인 순간 스위치를 여는 상황에서 축전기에 걸리는 전압 v(t)를 구하는 것입니다. t<0일 때 평형 상태일 때는 축전기에 전류가 흐르지 않으니 무시하고 KVL을 적용하면 각 전선에 흐르는 전류를 구할 수 있죠. 이걸로 각 지점의 전위를 구하면 v(0)을 구할 수가 있습니다. v(0-)가 아닌 v(0)이라고 적은 이유는, 축전기의 전하량 CV는 연속적이기 때문입니다. 이제 스위치를 열면, 저 10kΩ 저항에는 전류가 흐르지 않게 되죠. 그럼 저 하늘색의 경로로만 전류가 흐른다는 말이죠. 전류는 전압 v(t)에 대하여 나타내도록 합시다. 그리고 단위에도 조심하시고요! 저 경로에서 KVL을 쓰면 저 파란 식이 나오게 됩니다. v와 v'이 서로 공존하네요.                               t<0일 때 스위치를 닫고 있다가 t=0이 되는 순간 스위치를 여는 상황입니다. 이때 v0(t)를 구하는 문제이고요. 먼저 스위치를 닫고 있던 상황입니다. 이때 축전기엔 전류가 안 흐르고 전압만 걸립니다. 그러면 v0(0-)도 구할 수 있겠군요... 4V라고 말이죠..!이때 축전기 양단 전압을 v라고 한다면(+, - 위치 유의) v=v0이고, 축전기의 전하량은 연속이므로 v도 연속이니까 v0도 결국엔 연속이라는 말이 되네요... v0는 불연속이 아니었습니다. 어쨌든 그에 따라 v(0)=4V임도 알아둡시다. 이제 스위치를 열었습니다. 저 하늘색의 경로에 흐르는 전류를 v에 따라 표현한다면(단위 조심) 저렇게 그림처럼 나타낼 수가 있겠네요! 기준점을 잡고 KVL을 쓰면 v에 관한 1계 선형(몰라도 됨) 미분방정식이 나오게 됩니다!      따라서 v0(t)는 저렇게 나타낼 수 있습니다. v(t)와 같기 때문이죠! t<0일 때 닫혀 있던 스위치를 t=0일 때 바로 여는 상황에서 i0(t)를 구하는 문제입니다! 평형 상태일 때 코일은 저항 없는 전선 역할을 한다고 했죠. 우측 부분에서 전류 분배 법칙을 쓴 후 좌측 부분에서 KVL을 쓰면 i0(0)을 구할 수가 있게 됩니다. i0(0-)으로 적지 않은 이유는, 코일의 전류는 연속이기 때문에 굳이 그렇게 적을 필요가 없습니다. 이제 스위치를 열어봅시다. 그러면 우측의 경로에만 전류가 흐르게 되겠죠? 기준을 잡고 KVL을 쓰면 i0에 대한 미분방정식을 도출해낼 수 있습니다. t<0일 때 스위치를 a에 연결해놨다가, t=0일 때 순식간에 스위치를 b로 연결시키는 상황에서 축전기에 흐르는 전류 i(t)를 구하는 문제이군요!! 스위치가 a에 있고 평형 상태일 때는 전류가 흐르지 않는 축전기는 무시한 채 KVL을 써주시면 되겠네요. 축전기 양단 전압 v에 대하여 v(0)=20V이고요. 스위치를 재빠르게 b로 연결시킨 모습입니다. 축전기에서 Q=CV이니 Q를 시간 t에 대해 미분해서 나온 전류 i=CV'이란 건 더 이상 언급 안 해줘도 되겠죠? 이 경우에는 경로를 총 두 개로 나누어야겠습니다. 각각 기준에 맞춰서 KVL을 적용시키면 아래와 같이 두 개의 식이 나오게 됩니다. 여기서 우리는 v에 관심있지, a 따위에는 관심이 전혀 없으므로 a를 소거시켜버립시다! 그러면 v에 관한 미분방정식이 나오게 돼요. i=2v'이므로 v를 미분해서 정리하면 답이 나오네요.   이번에는 t<0일 때 스위치를 열고 있다가 t=0일 때 스위치를 닫아버리는 상황입니다. 코일의 전류 i를 구하라네요. 스위치가 열려 있을 때 상황은 매우 단순합니다. 저항의 직렬 연결과 옴의 법칙만 아시면 i(0)=2A라는 게 바로 나와버리잖습니까. 이제 스위치를 닫았습니다. 이 경우엔 경로를 2개로 쪼개는 수밖엔 없겠군요. 각 경로에서 KVL을 적용해서 연립방정식을 얻어내봅시다. a는 관심없으니 소거시켜버리고 i에 관한 식만 얻어냅시다.  이 미분방정식을 풀기 위해서는 우선 해 v=eλt라고 둬야 합니다. 그 후, v, v', v''를 구한 다음 위 미분방정식에 대입하여 λ를 구해내면 됩니다. 따라서 최종 답은 저 보라색 식이 되는 것이죠. 다음은 이 미분방정식입니다. 여기에서도 똑같이 v=eλt라고 두고 정리하면 λ=-1이 나오는데, 이 경우에는 중근으로 나옵니다.  이때는 e-t라고만 적지 말고, te-t라는 항도 추가해야 합니다!                        아까 구한 e-t에 어떤 함수 u(t)를 곱한 것을 v2라고 칭하고, 이 v2라는 녀석도 저 미분방정식의 해라고 생각해봅시다. v2에서 여러 번 미분한 v2', v2''까지 구하고 주어진 미분방정식에 대입해보면, u(t)의 이계도함수 u''=0임을 알아낼 수가 있죠. 이 u''을 다시 적분해보면 u(t)는 일차함수란 걸 알 수가 있죠. 따라서 v2의 형식은 저렇게 적어야 한다는 거예요. 다음 유형입니다. 저것도 풀어볼 거예요. 똑같이 v=eλt로 두고 풀어보면, 이번에는 λ가... 오일러 공식으로 eλt의 식을 정리해봅시다. 위와 같이 말이죠! ...물론 답을 저거 그대로 적어선 안 됩니다. 최종 답안에 허수 i가 포함되는 건 왠지 꺼리거든요. 그럼 어떻게 수정해야 할까요? 두 근 v1, v2를 합하여 정리한 v의 식에서 a, b에 관한 식들을 모두 치환하면 우리가 원하던 답안이 나오게 되죠!  이런 문제는 해를 일반해와 특수해로 나눠서 풀어야 해요. 먼저 일반해입니다. 이 경우에는 미분방정식의 우변이 0인 형태를 고려해서 풀어야 해요. 아까 하던 방식대로 풀면 일반해는 저렇게 나오게 되고요..다음은 특수해입니다. 이때는 우변을 다시 원래 형태로 되돌려야 해요. 과정이 굉장히 복잡할 것 같지만, 이때는 모든 항의 계수가 실수이기 때문에 풀이가 훨씬 더 간결해집니다. 저 빨간 식만 고려하면 되거든요!! 그러면 최종 답은 일반해와 특수해를 합한 것이 됩니다. 이때 초기 조건 즉, 함숫값이 주어져 있기 때문에 계수들을 위처럼 처리해주셔야 합니다.  위는 감쇠의 종류입니다. 꼭 알아두세요! t<0일 때 스위치를 닫아놨다가 t=0인 순간 스위치를 열었을 때 전류 i(t)를 구해야 하는 상황입니다.  t<0일 때엔 축전기 때문에 전류가 흐르지 않게 되어 i(0)=0A임을 알 수 있어요. 코일도 포함되어 있기 때문에 전류는 연속입니다. 이때 i(0)만 구하지 말고, 축전기 양단 전압 v(0)도 구해주세요. 축전기와 코일이 같이 섞인 경우에는, 두 소자의 데이터 모두를 고려해야 합니다. 이제 스위치를 열어봅시다. 기준점을 잡고 KVL을 적용하면 저 주황색 식이 나오게 되는데요. 여기서 v는 축전기 양단의 전압이라고 했으므로, 공식 Q=CV를 통해서 v를 전류 i에 대한 형태로 고치셔야 합니다. i'(0)은 아까 KVL로 구해서 나온 식의 시간 t에 0을 대입해서 정리하면 나옵니다. 여기서 v(0)=24V가 동원되는데, 이것이 바로 모든 데이터를 고려하라고 당부한 이유입니다. i(0)과 i'(0)의 값 모두 알게 됐으니 미분방정식을 본격적으로 풀 수가 있습니다. t>0일 때 닫혀 있던 스위치를 순식간에 열었을 때, 전류 i를 구하라는 거군요. 스위치가 닫혀 있을 때에는 축전기엔 전류가 흐르지 않고 저 코일 및 저항에만 전류가 흐르게 되죠. 즉, 코일에 흐르는 전류 i(0)는 30V/2Ω=15A이고, 축전기 양단에 걸리는 전압은 v(0)=30V가 되겠군요. (+, - 방향 주의) 스위치를 열었습니다. 그림처럼 기준을 잡고 KVL을 적용하면 빨간 식이 나옵니다. 아차, 까먹지 않기 위해 미리 t=0일 때의 데이터를 얻어냅시다. 그럼 i'(0)이 나오게 됩니다. 그리고 v를 i에 대한 식으로 바꿔줍시다.  위 개념에 주의하며 식을 그림과 같이 수정해주세요!  쭉쭉 정리해서 계수를 구해주기만 하면!? t=0일 때 스위치를 여는 상황에서 코일에 흐르는 전류 i를 구하는 문제입니다. 이번에는 저항과 축전기와 코일이 서로 병렬 연결이 되어 있군요. t<0 즉, 스위치가 닫혀 있을 때 코일엔 전류가 최대로 일정하게 흘러 전위차가 없고, 축전기엔 전류가 흐르지 않습니다. 밑부분 전위를 0V로 가정하고 정리해보면, 축전기에 걸리는 전압 v(0)=0V이란 걸 먼저 밝혀낼 수가 있겠고요. 그 다음엔 코일 양단의 전위가 서로 같아 5Ω 저항에는 전류가 흐르지 않게 돼서, i(0)도 알아낼 수 있죠! 스위치 오픈. 그러면 코일, 축전기, 저항 양단에 걸리는 전압은 그림에서 보이듯, v로 동일하게 됩니다. 병렬 연결이기 때문이죠. 여기에선 KVL 대신 KCL을 사용해야겠네요. 그림을 보시면, 두 개의 v, i에 대한 관계식이 나옴을 확인하실 수가 있겠습니당     v(0) 값을 이용해서 i'(0)도 미리 구해버립시다. i에 대한 미분방정식으로 변환하고, 해를 구하고, 초기 조건에 따라 i를 다듬어주면 됩니다..! 초기 상태인 v(0)=0V일 때 v(t)를 구하라는 문제입니다. 이 경우에는 전류를 미지수로 잡아야 합니다. 이때 초기 상태 t=0일 때엔 코일에 흐르는 전류가 0임에(즉, a(0)=0A) 유의하여 정리해야 합니다. 이를 통해 그림에서처럼 v'(0)=0임을 알 수 있습니다. 다음으로, 각 경로에 대하여 KVL을 적용시키면 됩니다. 위처럼 식들을 정리하다보면 v에 대한 미분방정식이 저런 식으ㄹ.....                 공학용 계산기가 이래서 필연적입니다 여러분  v의 식을 미분하실 때 하나의 팁이 있습니다. 위를 보시면, v(0), v'(0)의 값에 대한 조건이 있잖아요. v'(0)를 구할 때 sin함수에 t=0을 넣으면 그냥 0이 돼버리므로? v를 미분하실 때 굳이 sin함수의 계수까지 고려하실 필요가 전혀 없다는 겁니다. 아무튼 계수를 정리하다 보면... 이 회로로 예시를 들어봅시다. 먼저 첫 번째! 각 부분에 점들을 그림처럼 찍어줍니다. 그리고 맨 아래에 접지된 점을 찍어줍니다.  Duality를 사용할 때 좌우 데이터들이 서로 변환된다는 내용이에요. 이때 open은 개방을, short는 단락을 말하는데, 간단히 말하자면 open과 short는 각각 회로 상의 스위치를 연 것과 닫은 것이라고 이해하시면 됩니다.     간단히 말하면 저항값의 역수입니다. 컨덕턴스의 단위는 S(지멘스) 또는 ℧(모)를 사용하고요. Ω는 ohm으로 읽는 반면, ℧는 뒤집힌 형태라서 mho로 읽는다는 거죠. 재미있죠? ...아무튼,   이제 찍은 점들을 서로 이어야 합니다. 먼저 축전기와 코일을 지나서 선을 이으세요. 이때 선에 연결된 소자는 그림처럼 포함시켜야 합니다! 0.2F 축전기를 지나면 0.2H 코일을, 4H 코일을 지나면 4F 축전기를 그려야 한다는 거죠! 그리고 3Ω 저항을 지날 때는 컨덕턴스 개념을 적용시켜서 저항값의 역수 즉, (1/3)Ω 저항을 그려야 하고요. 그림과 같이 5Ω 저항을 지나는 전선은 맨 밑의 접지된 점과 연결돼야 합니다.  2A 전류원부터 봅시다. 이 전류원은 2A 전류가 시계 방향으로 흐르게 만들고 있잖아요? 시계 방향으로 전류가 흐른다면, 2V 전압원의 -가 접지된 쪽에 오도록 설계해야 합니다. 20V 전압원도 봅시다. 이 전압원은 전류가 그림처럼 반시계 방향으로 흐르게 만든다고 생각할 수가 있겠죠? 전류가 반시계 방향으로 흐를 때는, 20V 전류원의 전류 방향이 접지된 쪽을 향하도록 설계해야 해요. 그러면 Duality 회로 결과는 위와 같이 그려지게 됩니다. 저걸 단순화시키면... ...이렇게 되겠죠. 이 회로를 Duality를 써서 변형시켜봅시다. 먼저 그림처럼 점들을 찍어주시고, Dual Pairs 개념을 적용시켜서 저항, 코일, 축전기를 지나는 전선을 그려주세요. 그리고 원래 회로에서 스위치는 t=0일 때 닫히는 모습이잖아요? Duality를 쓰면 이 스위치는 t=0일 때 열리는 모습으로 뒤바뀌게 됩니다. 6V 전압원은 전류가 그림과 같이 시계 방향으로 흐르도록 만들 것이므로, 6A 전류원의 전류 방향이 이번에는 접지된 점 쪽과 반대 방향이어야 합니다. 이제 이 Duality 회로를 보기 좋게 정리만 해주면... 위와 같은 최종 형태가 완성되는 것이죠! 먼저 사인파의 함수 형태는 위와 같이 나타납니다. v(t)의 최댓값 Vm을 진폭, sin함수 내부의 w를 각진동수(단위: rad/s)라고 합니다. t는 당연히 시간이고용 또한, T를 주기라고 하고, f를 진동수(주기의 역수)라고 하는데요, 각 단위는 s, Hz입니다. 중요한 개념입니다. 제가 그림에 적은 공식 wT=2π는 반드시 기억해주세요!! sin(wt)에서 위상 Φ가 더해진 sin(wt+Φ)에 대하여, 이 함수는 wt축에서 왼쪽으로 평행이동됩니다.   먼저 위와 같은 coswt 선이 있다고 칩시다. 이 coswt 선을 기준으로 그림처럼 벡터를 이용하여 사인파를 표현할 겁니다. 각도의 부호는 coswt 선을 기준으로 반시계 방향으로 돌아갈 때 +, 시계 방향으로 돌아갈 때 -입니다. 그림을 참고해주세요. 이때 각도 측정 방향에 따라서 각도 부호가 위처럼 표현될 수 있습니다. 또한, cos(wt-90°)는 저 빨간 벡터로 표현되는데, 이는 sinwt와 같습니다. 진폭은 함수의 최댓값이라고 말씀드렸죠. 각진동수와 위상은 각각 (코)사인함수 안의 시간 t의 계수, 더해진 각도이고요. 주기와 진동수는 공식을 통해 구할 수 있습니다. 이를 벡터 형태로 표현해보면 좌측 그림과 같겠군요. 이때 벡터의 길이가 바로 사인파의 진폭입니다.      i1입니다. 마이너스(-)가 붙어 있어서 헷갈리실 수 있으니 우선 양(+)인 경우부터 살펴보죠. 그러면 -i1는 저 빨간 벡터로 표현되겠죠?  이제 i1을 구해야 합니다. 그러면 -를 다시 +로 바꿔줘야겠죠? 이러면 벡터 길이 즉, 진폭은 유지된 채로 180° 이동하게 됩니다. 그림처럼요. 저 빨간 벡터가 바로 i1입니다. i2는 간단하죠? coswt를 기준으로 시계 방향으로 65°만큼 이동시키면 되잖아요.  i1과 i2 중 무엇이 더 앞서는지 봅시다. 두 벡터의 위상의 차이가 205°라는 걸 알 수 있죠?  (저 i2 의 위상 표현에 -가 붙어있다고 위상 차가 140°-65°=75°라고 생각하시면 큰일납니다. 위상 차를 구할 땐, 각도의 '크기'로 생각하시고 연산하세요.)  그림에서 알 수 있듯, i1이 i2보다 위상이 205° 앞서있음을 확인할 수 있습니다. 왜냐하면 '뒤처진' i2의 위상에 205°가 더해져야만 i1과 위상이 서로 같아지기 때문이죠. 앞서있다는 표현은 lead로 쓸 수도 있습니다.   대조적으로, i1이 앞서있다는 건 i2가 뒤처져있다는 얘기잖습니까. 그러면 i2가 205° 뒤처져있음을 알 수 있네요. 이때 뒤처진다는 표현은 lag로 쓸 수 있습니다.      ...그런데     이 표현은 위상 차이의 크기의 기준에 따라 달라지게 됩니다. 그림처럼 위상 차이가 155°라고 생각한다면, i1이 뒤처진다는 걸로 여기는 게 가능하다는 거죠.  반대로 i2가 앞선다는 표현도 가능하고요. 그림과 같은 복소평면이 있습니다. 복소수 z가 x+yj (j=sqrt(-1))로 나타난다고 했을 때, z는 그림처럼 표현할 수가 있어요. 그리고 저 복소수에도 위상 Φ의 개념을 적용하는 것이 가능합니다. 이때 주의하셔야 할 점은, 저 하늘색 선분의 길이는 y이지, yj가 아니란 겁니다. 아무튼 그림처럼 길이들을 표시해보면, 복소수의 크기와 위상을 구하는 게 가능해집니다. 여기서의 복소수 크기는 복소평면에 나타낸 빨간 선분의 길이로 여길 겁니다.  또한 복소수 z는 우측처럼 사인함수의 꼴로 나타낼 수도 있습니다. 저 표현은 간단하게 r∠Φ로 표현할 수 있고요!! 자, 다음과 같은 복소수 z1, z2가 있다고 칩시다. 이 둘로 여러 가지 연산을 진행해볼 거예요. 덧셈, 뺄셈은 매우 단순합니다. 곱셈, 나눗셈은 그럭저럭이고요. 역수, 제곱근의 형태는 조금 낯설죠? 켤레복소수는 좀 봐줄 만한데요.  사인파를 위 그림처럼 Phasor로 변환시킬 수가 있단 얘기입니다!!!수식으로 정리하면 위같은 식으로 나오게 되고요. 여기서 오일러 공식을 사용했음을 눈치채셔야 합니다. 이때 Re()는 복소수의 실수 부분을 의미합니다. 반대로 Im()은 허수 부분을 말하고요. 예컨대 z=3-4j라고 할 때, Re(z)=3, Im(z)=-4라는 것이죠. 이걸 계산해봅시다. 공학용 계산기가 필요해 보이네요. 먼저 각 수들을 복소수 형식으로 바꿔봅시다. 그러면 제곱근 안의 값은 저 파란 복소수로 나타남을 알 수가 있죠. 이제 제곱근의 연산 공식을 활용하면 최종 답이 도출됩니다.            가장 먼저, 두 사인파 A, B를 Phasor로 표현해줍니다.  그리고 두 수를 복소수 형태로 바꿔줍니다. 이제 복소수 형태로 연산을 한 후, 다시 Phasor로 바꿔 사인함수의 식으로 나타내주면 끝!    위와 같이 사인파 v와 그의 Phasor V가 있다고 칩시다. v를 t에 대해 미분한 걸 복소수로 표현해봅시다. cos(x+90°)=sinx인 건 아시죠? 그리고 오일러 공식과 Re()를 이용하여 파란 식으로 수정한 뒤에, 저 하늘색 식 VmejΦ가 바로 Phasor V임을 상기하며 치환시키면 됩니다. 결과적으로 v'의 Phasor 형태는 jwV임을 알 수 있어요.  ...이게 이해가 잘 안 되신다면,  이걸 다시 한번 살펴보시길 바랍니다.    다음은 v를 적분한 것입니다. 적분할 때 적분상수는 무시했음에 유의해주세요. 그 후, cos(x+90°)=sinx, 오일러 공식, Re()를 사용하여 파란 식으로 수정시킨 뒤, VmejΦ를 Phasor V로 치환시켜주시면 됩니다. 그러면 v의 적분식의 Phasor 형식은 V/(jw)란 걸 알 수가 있겠죠. 자, 이걸 한번 풀어봅시다. 우측 코사인함수의 내부의 식에서 각진동수 w가 5 rad/s임을 인지하시고, 주어진 미분방정식을 우측 공식을 이용하여 Phasor 형태로 바꿔주세여. 그 후, Phasor V를 구해낸 뒤, 다시 사인함수 형식으로 고치시면 됩니다!    저 미분방정식의 해는 일반해와, 특수해로 나뉘게 되거든요.  먼저 저항!! 저항의 경우에는 매우 단순합니다. 옴의 법칙을 그대로 적용하기만 하면 끝이거든요.     다음은 코일입니다. 코일에 걸리는 기전력 공식을 이용하여 양단에 걸리는 전압 V를 얻어냅시다. 그리고 그림에서처럼 식 정리를 하다 보면, 전압 V의 Phasor V=jwLI임을 얻어낼 수 있습니다. (어떤 복소수에 j를 곱하면 위상이 90° 증가합니다.)    다음은 축전기! 이 경우에는 Q=CV를 활용해야겠죠? 그림처럼 축전기에 흐르는 전류 i의 식을 얻어낸 뒤에? 식 정리를 하다 보면 i의 Phasor I=jwCV임을 알 수 있습니다.     (임피던스의 단위는 Ω입니다. 저항이랑 비슷하죠?)                먼저 직렬연결입니다. 유도 과정은 저항 연결 때랑 아예 똑같습니다! KVL 하나로 뚝딱이에요! 그리고 전압 분배 법칙도 동일하게 적용되고요. 병렬 연결도 뭐... 똑같습니다! KCL 하나로 뚝딱! 이 경우에도 전류 분배 법칙은 그대로 적용됩니다. 저항 때랑 다를 게 없죠?                           Wye-Delta 변환 공식은 저항에서나, 임퍼던스에서나, 서로 동등하게 적용됩니다!  위와 같은 교류 회로에서 전류 i를 구하는 문제입니다. 먼저, 전압원의 전압 식을 Phasor로 바꿔줍니다. 그리고 축전기와 코일의 임피던스를 표시해줍시다. 저항은 그대로 유지하시면 됩니다.  이제 임피던스의 직렬 연결 성질을 이용하여 전체 임피던스 Z를 구하신 후, 전압 V=50∠0°V에서 나누어 전류 I를 구하시면 됩니다!!  이번에도 전류 i를 구하는 문제입니다. 우선 전압부터 Phasor 형태로 고쳐주고... 나머지 소자들의 임피던스를 모두 표현하면 상황이 매우 단순해지겠죠!?파란 박스 안의 소자들의 합성 임피던스를 구해서 회로를 단순화시킵시다. 한 번 더! 캬~! 깔끔하군요! 이제 단순히 옴의 법칙만 적용해주면!? ix가 저런 식으로 주어져 있을 때, 전압원의 전압 vs를 구하는 문제입니다.  우선 ix의 Phasor 형태인 Ix부터 나타낸 뒤, 2jΩ 코일에 흐르는 전류를 a라고 두고 전류 분배 법칙을 적용해보죠. (임시로 볼드체를 쓰지 않았습니다) 상큼하네요. 그러면 회로 상의 전류는 저렇게 표현되니까? KVL만 적용하면 끝입니다! 여기서는 복소수가 포함되어 있으므로 KVL 식의 미지수는 볼드체로 적었습니다. V0를 구하는 문제입니다.  먼저 주어진 조건들로부터 전류를 표시해주고... (볼드체 표시는 임시로 안 했습니다.) 모르는 전류 a도 잡고 KCL을 적용해서 모든 전선에서의 전류를 구합니다. 자! 이제 KVL을 적용하면... 운이 좋게도 식에 a가 포함되지 않아서 V0를 바로 구할 수가 있네요!!   I0. 뭘 구하란 건진 대충 아시져? 일단 저 Phasor로 표현된 데이터를 모두 복소수 형태로 고쳐주세요! 그래야 나중에 연산이 편해집니다. 이제 각 구간에서의 전류를 표시해주고, 모르는 전류 a를 추가하여 모든 전선에서의 전류를 다 표시해줍시다! 자, 이제 가능한 경로 2개에 대하여 KVL을 적용하면 a와 I0에 대한 연립방정식이 나오게 됩니다. 관심없는 a를 소거시키기 위해 위처럼 정리해주시고, I0를 구하시면 되겠습니다! 우선 왼쪽 전압원부터 기준으로 잡아봅시다. 그러면 오른쪽 전압원은 삭제되어야 합니다. 이때 각진동수가 10 rad/s임을 이용해 코일의 임피던스를 구한 뒤에, 회로 상에 흐르는 전류를 I1으로 잡고 옴의 법칙을 적용하면 i1을 구할 수가 있게 됩니다. 자, 이제 오른쪽 전압원을 기준으로 잡아봅시다. 똑같은 방법으로 풀어보면, I2와 i2를 알아낼 수 있습니다.  사인함수 형태 그대로 합하셔야 합니다! 그러면 최종 전류 i는 저런 식이란 걸 알 수 있습니다.  i0를 구하는 문제네요. 근데 교류와 직류가 같이 있네요...?  먼저 교류 전압원을 기준으로 잡아봅시다. 각진동수를 이용해 코일의 임피던스를 구하고, 우측 부분에서는 전류 분배 법칙을 써주세요. 그런 다음에 KVL을 적용하면 i1을 구할 수가 있는 겁니다! 이제 직류 전원을 기준으로 잡아보죠. 이 유형에서 직류 전원을 기준으로 잡았을 때에는 반드시 평형 상태를 전제해야 합니다!! 그러면 코일엔 전위차가 생기지 않으므로 i2를 간단하게 구할 수가 있는 거죠. 따라서 최종 전류 i는 저렇게 나타나게 됩니다.          50cos2000t V 전압원부터 기준으로 잡아봅시다. 여기서 60Ω 저항과 100Ω 저항은 서로 직렬 연결된 걸로 간주할 수 있겠네요.이때 각진동수가 2000 rad/s란 걸 이용해 모든 소자의 임피던스를 구해주세요. 각 구간의 전류를 표시한 뒤, KVL을 통해서 i1을 구하면 이제 3단계 중 1단계를 깬 겁니다. 다음은 2sin2000t A 전류원입니다. 각진동수 4000 rad/s를 이용해 모든 소자의 임피던스를 표시해주고... 전류도 표시해주고...  또 다른 전류도 표시해준 뒤... KVL을 적용해야 하는데 두 가지의 경로가 처나와버리네요?           a와 b를 구하는 과정은 일부러 말로 설명 안 하고 그림만 보여줬습니다. 입 아프니까요.. 아무튼 두 전류도 구했으니 I2도 알 수 있겠네요. 그럼 i2도 자동으로 밝혀지고요.. 2단계 통과...! 24V 전압원 차례..  평형 상태를 전제하므로, 축전기에는 전류가 흐르지 않으니 무시합시다. 그렇다면 i3는 매우 단순하게 구할 수가 있겠네요. 3단계 클리어. 이제 지금까지 구한 전류를 모두 합산해서 i를 정리하면 됩니다...      증명 과정은 직류 때랑 흡사해서 생략합니다. i를 구하는 문제입니다. Source Transform을 사용해볼게요. 우선 전류원과 5Ω 저항의 위치를 저런 식으로 바꿔줍니다. 두 소자 양단의 전위차가 서로 동일하기 때문이죠. 그리고 주황색 부분의 회로를 Source Transform을 통해 전압원과 임피던스만 포함된 회로로 변환해주면 됩니다.  그러면 회로가 위처럼 훨씬 더 간결해져서 전류 i를 손쉽게 구할 수가 있는 거죠! 먼저 이 문제부터 풀어보도록 하죠. ZTh 구하기! 먼저 직류 회로에서처럼, 전압원을 무시해줍니다.  그 뒤 단자 ab의 관점에서 본 합성 임피던스 값을 구하면 됩니다! 요런 식으로 말이죠~! 다음은 VTh입니다. a의 전위에서 b의 전위를 뺀 값이란 거 기억하시죠?  전압 분배 법칙을 적용하고 싶으므로, 빨간 부분의 합성 임피던스를 구해봅시다. 그러고 나서, 전압 분배 법칙을 써서 V1을 구해냅니다. 또 다시 전압 분배 법칙을 적용하여 VTh를 구해내면 끝입니다! Norton 등가 회로를 구하는 방법도 직류 때랑 완전 똑같습니다. 전류를 구하기 위해서는 그저 전압에서 임피던스로 나눠주기만 하면 되지요. 최종 답안입니다. 이겁니다. ZTh부터 구해보죠. 늘 그래왔듯 전류원과 전선은 같이 무시해야 합니다.  그 후 단자 ab 관점에서 보는 합성 임피던스만 구하면 되고요. VTh입니다. 우선 두 전선에 흐르는 전류를 전류 분배 법칙을 통해서 구해내야 합니다. 그래야 지점 a, b의 전위의 차이를 구할 수 있으니까요.   위와 같이 구해주고.. 계산 편의를 위해 밑부분을 접지시키고 지점 a, b의 전위를 각각 구해줍니다. 따라서 VTh는 위와 같이 표현됩니다.                          위와 같이 의존 요소가 있는 회로의 Thevenin 등가 회로를 구하는 방법 역시 직류 회로 때랑 유사합니다! ZTh를 구할 때 가상의 전류원(전압원)의 전류(전압)의 '크기'를 1로 두는 것도 비슷하고 말이죠! 하지만 여기는 교류 단원이기에, Phasor로 표현해야 합니다. 먼저 좌측의 independent 전류원과 전선은 삭제하고, 단자 ab 사이에 가상의 1∠0°A 전류원을 꽂아줍시다. KCL을 적용해보면 Ix를 바로 알아낼 수 있습니다.  Ix=-2A (= 2∠180°A) 임도 알아냈으니, KVL을 적용해서 단자 a의 전위를 구해주세요. 이때 단자 b의 전위는 0V로 맞췄습니다. 그 뒤, 전위 a에서 전위 b를 뺀 값인 V에서 가상의 전류원의 전류 I를 나눠주면 됩니다. 이게 바로 ZTh예요!! 다음은 VTh입니다. 이때는 그냥 단순히 전위 a, b의 차만 구하면 됩니다. 그림처럼 KCL을 통해서 Ix를 구해냅시다. 그 뒤, 전위 b가 0V라고 가정하고 KVL을 적용하여 단자 a의 전위를 구하면 됩니다. 그러면 이것이 바로 VTh가 되는 것이죠. 휴..! Thevenin, Norton 등가 회로는 각각 그림과 같습니다!     구조가 상당히 복잡해보이네요.. 일단 풀어보죠. 먼저 ZTh입니다. 이번에는 가상의 1∠0°V 전압원을 꽂아볼게요. 그러면 V0=1∠0°V=1V임을 바로 알 수가 있겠네요.  제가 깜빡하고 다음으로 넘어갈 뻔했는데, 저 좌측에 있는 독립 전압원은 반드시 제거해주세요!! 먼저 왼쪽부터 봅시다. KVL을 사용하여 전류 I0를 쉽게 구할 수 있습니다. 그리고 오른쪽에서 두 개의 소자가 병렬 연결되어 있으니 합성 임피던스도 구할 수가 있겠군요. 가상의 전압원의 전압 V=1V와 중간의 임피던스 -2.5j Ω을 이용하여 저 -2.5j Ω 소자에는 전류가 0.4j A가 흐른다는 걸 표시해줍시다. 그리고 KCL을 통해서 가상 전압원에 흐르는 전류 I를 구하신 뒤(이때 I의 방향은 가상 전압원의 -를 지나 +로 나오는 방향으로 정할 것), ZTh=V/I라는 공식을 통해서 ZTh를 구하시면 되겠습니다! 이제 VTh를 구해봅시다. 먼저 좌측 전압원의 전압을 Phasor로 바꾸고, 우측의 임피던스를 합성시켜줍시다! 그리고 좌측 부분에서 KVL을 적용시켜 V0와 I0의 관계식을 구해줍니다. 그 후, 우측에서 단자 a, b 사이의 전위차 V0도 그림처럼 구하시면 또 다른 관계식이 나오게 됩니다. 자, 이제 두 관계식을 서로 연립하면 답이 나오게 됩니다. 그림을 보면 V0는 결국 VTh랑 같다는 걸 알 수 있네요. 따라서 Thevenin, Norton 등가 회로는 각각 저렇게 나타나는 거예요...     -분량이 너무 길어 게시가 안 되어 1편과 2편으로 나눈 점 양해 부탁드립니다- 2편 : https://url.kr/h4w5ai

애기쿼크 · Accepted Answer

이야 아무리봐도 나한테 필요한거 같은데
구독박겠습니다

어원글싸개 · Answer

정성추

물개물개 · Answer

와 개무서워요 진짜
스크롤 내려도 내려도 안 끝나는데
2편도 있다고요???

Welcome to 'Electric Circuits' 1편

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