[칼럼] 다항식 전개 다 해줬잖아, 근의 개수 의미 없다고 해줬잖아, 그냥 X발 다 해줬잖아

꽤나 절은 학생들이 많았던 작수 21번

분모에 f가 있는 것 만 보고 f를 표준형으로 변형해서 f=0의 근을 가지고 어떻게 해보려 했을 수험생들이 많았을 것으로 생각됩니다.

물론 f가 분모에 있는 식의 극한값의 존재성을 묻는 문제니까 f=0가 되는 값을 찾는 건 당연히 해야 할 행동이 맞습니다. 하지만 그렇다고 해서 기껏 평가원이 일반형으로 제시해 준 식을 다시 표준형으로 바꾸고 -cde=4라는 못생긴 조건을 시험지 구석탱이에 적어두는게 과연 맞는 일일까요?

아닙니다.

왜냐구요? 왜냐하면 평가원이 분자에 제시한 f(2x+1)이라는 식에 의해서 해가 단 하나라는 것이 너무 자명하게 드러나거든요.

시작하기에 앞서

라는 식이 있다고 합시다. 이 식을 좌표 평면에 나타내면 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 이제 이 식에서 변수 x대신 2x를 대입한면

이 되는데 미적이나 확통 선택자들은 생소할 수 있는 타원의 방정식의 형태를 띠게 됩니다. 하지만 이차곡선을 잘 모르는 분들이더라도 저 방정식이 (+-1/2, 0)과 (0, +-1)을 지남을, 즉 원래의 원 방정식이 지나던 (+-1, 0)과 (0, +-1)을 떠올려볼 때 x축의 방향으로 1/2로 줄었다는 생각이 드실겁니다. 그럼 이번엔 y도 같은 짓을 해볼까요?

다시 원의 방정식이 되었습니다. 반지름이 1/2이 된 채로 말이죠. 그 말인 즉슨 y대신 2y가 합성된 경우 y축의 방향으로도 1/2로 줄어든다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 분자에 있는 f(2x+1)이라는 것도 어떻게?

'y=f(x)의 그래프가 x축의 방향으로 1/2만큼 줄어들고 x축의 음의 방향으로 1/2만큼 평행이동'

한 것으로 인식한다면 근이 둘 이상인 경우는 절대 안 된다는 것을 알 수 있습니다. 

왜냐? f가 둘 이상의 근을 가지고 있다면 근 사이의 간격도 1/2가 되어서 f=0이 되는 인수들을 f(2x+1)이 절대 커버할 수 없기 때문입니다.

그래서 식을 일반형으로 제시한겁니다. 삼차함수의 특성상 무조건 근을 하나는 가지게 되는데 그런 상황에서는 표준형으로 식을 쓰는게 더 불편하니까 처음부터 일반형으로 줘버린겁니다.

다항함수는 근이 무엇인지만 알아도 함수 자체를 결정해버릴수 있다는 특성이 매우 강력합니다. 하지만 이것에 매몰되어 다항함수의 근이 메인이 아닌 문제에 대해서도 무작정 표준형으로 다항함수를 바라보는 것도 좋지 않습니다. 그리고 평가원은 옛날부터 이런 사인을 계속 줬습니다.

단지 이과 수험생이 다항함수를 접하는게 오랜만이라 그런 정보가 실전되거나, 풀고도 깨닫지 못 했을 뿐

4차함수에 x^2이 인수로 포함되었음에도 굳이 일반형으로 줬습니다. 왜냐? 근의 개수, 근의 위치는 중요한 게 아니니까.

미분해서 극댓값이 되는 x들을 빠르게 찾은 뒤 해당 극값의 크기에 따라 g가 달라지는 것을 파악하고 두 극댓값이 서로 같을 때 a가 최대가 된다는 걸 캐치해야 되는 문제.

이 문제를 푸는 과정에서 f의 근이 개입할 여지가 있습니까? 표준형으로 주면 미분하는데 귀찮기만 하니까 평가원이 상냥하게 미리 전개해서 준겁니다.

마찬가지로 또 못생긴 일반형으로 제시해준 문제. 이번에도 f가 x를 인수로 가짐에도 불구하고 굳이 저렇게 제시했다는 것을 통해 f의 근은 이 문제에서도 별로 중요하지 않겠구나를 짐작케 합니다.

그리고 문제를 더 읽어보면 아예 x가 양수일 때만을 정의역으로 삼고 f의 역함수를 제시해서 둘 사이의 관계를 묻는 것이 메인인 문제임을 알 수 있습니다.

당연히 f의 근따위는 안중에도 없을게 뻔하죠.

실제로도 ㄱ, ㄴ을 통해 f-x가 x=2일 때 미분계수가 0이 되므로 f와 g의 미분계수가 x=2에서 모두 1이 됨을 파악해 f-g에 절댓값을 씌우더라도 x=2에서는 미분 가능할 것임을 파악하는 것이 메인으로 f의 근 따위는 아무 관심도 없습니다.

이처럼 평가원은 식을 제시하는 방법 하나만으로도 여러분에게 상당히 친절하게 구는 존재라는 것을 알 수 있습니다. 단지 수학 시험지라 수식으로 전달되는 메신저의 한계로 인해 여러분들이 제대로 받아들이지 못할 뿐.

뉴스의 행간을 읽어야 진짜 정보를 건져가듯, 문제의 행간을 읽어야 진짜 점수를 얻어갑니다.

결론)

기껏

일반형을 줬는데

왜 인수분해를 하는가