실력정석 수2 연습문제
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이거 노베시절에 실력정석 박치기하다가
도저히 모르겠어서 gg쳤던 문제인데
책장 뒤지다가 오랜만에 발견함
a1 < a2 < a3 < ... < an 일때, 다음 방정식의 실근의 개수를 구하여라.
1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) = 0
sol 1
각 열린구간 (am, am+1) (m=1,2, ... ,n-1)에서 각 1/(x - ak) (k=1,2, ... ,n)가 연속인 감소함수이므로 각 열린구간에서 방정식의 좌변의 함수는 연속인 감소함수이고 열린구간의 왼쪽 경계로 가면 좌변의 함수가 양의 무한대로 발산, 오른쪽 경계로 가면 음의 무한대로 발산하므로 각 열린구간에서 하나의 실근을 갖습니다
x<a1일때 좌변의 함수는 음수이고 x>an일때는 양수이므로 주어진 방정식의 실근은 총 n-1개입니다
sol 2
f(x) = (x - a1)(x - a2)...(x - an)이라 하면
f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0이므로 롤의 정리에 의해 방정식 f'(x)=0은 x=ak(k=1,2,...,n)이 아닌 최소 n-1개의 실근을 갖고
f'(x)는 n-1차함수이므로 최대 n-1개의 실근을 가집니다
이제 주어진 방정식의 양변에 f(x)를 곱하면
(x-a2)(x-a3)...(x-an) + (x-a1)(x-a3)...(x-an) + (x-a1)(x-a2)...(x-an-1) = f'(x) = 0 (x=/=ak)(k=1,2,..,n)
따라서 주어진 방정식의 실근은 총 n-1개입니다
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마지막 계산이 킬러네
통분하면 분자가 도함수꼴
2번풀이랑 똑같은 풀이
통분하면
분자 = (x-a1)(x-a2)...(x-an)+c 의 도함수
롤의 정리 -> 극값이 n-1개이므로 (다항함수라서 자명)
실근 n-1개
사실 통분 풀이는 멋이 안 살아서 논술 풀이마냥 순서를 살짝 바꿔 보았습니다