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NeurIPS [1277071] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2025-03-09 23:19:51
조회수 1,382

[선형대수학] 벡터

게시글 주소: https://orbi.kr/00072388761

수능 수학은 접은 지가 좀 됐고 마침 좋은 칼럼을 써주시는 분이 계신 것 같아 진짜 수학의 기초, 수능에는 그닥 도움이 안 되지만 알쓸신잡인 대학수학 내용을 시리즈로 작성해보려 합니다.


그 첫번째 소재로 "벡터(Vector)"를 들고 왔습니다.





여러분이 고등학교 기하 혹은 물리학 과목에서 배운 벡터는 


이 그림과 같을 겁니다. 벡터를 이렇게 정의하면 다소 오해가 생길 수 있습니다. 물론 이것 역시 벡터라고 부를 수는 있으나 이것이 벡터라는 객체의 정의는 아닙니다.




벡터에 대해 자세히 알아보기 전에 먼저 체(Field)라는 대수 구조에 대해 알아보도록 합시다. 갑자기 뜬금없이 체? 뭔 소린가 싶을 수 있는데 벡터의 정의를 이야기 하기 위해 필요하니 간단히만 이야기 해보도록 하겠습니다.


의외로 단순한 이야기 입니다.



체 는 덧셈과 곱셈이라 불리는 두 이항연산이 정의되어 있는 집합으로, 다음과 같은 규칙이 성립합니다.


 A1) 덧셈에 대하여 닫혀 있다 (closed under the addition).

     모든 에 대하여 .
 A2) 덧셈의 교환법칙이 성립한다 (Commutativity of addition).

     모든 에 대하여 .

 A3) 덧셈의 결합법칙이 성립한다 (Associativity of addition).

     모든 에 대하여 .

 A4) 덧셈의 항등원 0(Zero)이 존재한다 (Additive identity).

     모든 에 대하여 인 의 원소 0이 존재한다.

 A5) 각 원소에 대해 덧셈의 역원이 존재한다 (Additive inverse).

     각 에 대하여 인 의 원소 이 존재한다.
 

 M1) 곱셈에 대하여 닫혀 있다 (closed under the multiplication).

     모든 에 대하여 .
 M2) 곱셈의 교환법칙이 성립한다 (Commutativity of multiplication).

     모든 에 대하여 .

 M3) 곱셈의 결합법칙이 성립한다 (Associativity of multiplication).

     모든 에 대하여 .

 M4) 곱셈의 항등원 1(One, identity)이 존재한다 (Multiplicative identity).

     모든 에 대하여 인 의 원소 1이 존재한다.

 M5) 각 0이 아닌 원소에 대해 곱셈의 역원이 존재한다 (Multiplicative inverse).

     0이 아닌 각 에 대하여 인 의 원소 가 존재한다.


 D) 분배법칙이 성립한다 (Distribution Law).

     모든 에 대하여 .



그래서 이게 뭐냐 싶을 수 있습니다. 조금만 더 알아볼까요? 여러분들은 이미 어떤 집합이 체인지 알고 있습니다. 바로 실수 집합, 복소수 집합입니다. 물론 유리수 집합도 체입니다. 반면에 정수 집합은 체가 아닙니다. 곱셈의 역원이 집합 내에 존재하지 않기 때문입니다. 정의가 조금은 추상적이기에 잘 받아들여지지 않을 수도 있습니다. 이런 고등학생도 아는 연산 구조를 가진 집합들만이 체는 아닙니다. {0, 1}도 연산을 이상하게 잘 정의해준다면 체가 됩니다.

1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0
1 * 1 = 1, 1 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 0 * 0 = 0

이런 식으로 연산을 정의해준다면 집합 {0, 1}도 체가 될 수 있습니다. 보시다시피 체는 집합 그 자체뿐만 아니라 덧셈과 곱셈이라는 이름이 붙은 연산도 함께 정의된 대수 구조입니다. 이때, 우리가 아는 덧셈과 곱셈은 실수끼리, 혹은 복소수끼리의 연산이며 체나 환(Ring), 군(Group) 등의 대수 구조에서 이야기하는 이항연산은 그것이 아닐 수 있음에 주의하시길 바랍니다. 

1+1=2가 아닐 수도 있다는 괴담이 현실이 됩니다.


이 개념을 잘 곱씹어보면서.. 이제 다시 본론으로 넘어가보겠습니다.





벡터 공간(Vector Space)에 대해 알아봅시다. 공간이라는 용어가 다소 어렵게 느껴질 수 있습니다만, 공간은 어떤 집합을 기반으로 만들어낸 구조(집합)이라고 생각하면 됩니다. 여기서는.. 그냥 집합에 연산을 부여하여 구조화한 것을 공간이라 부른다 정도로 이해합시다(실제로는 연산을 부여하는 것만이 공간을 칭하는 이유가 아닙니다).

예를 들면 확률 공간(Probability Space), 위상 공간(Topological Space)이 있는데 이게 더 어려운 내용이니 넘어가도록 합니다..



벡터 공간도 일종의 대수 구조로 정의하는 방식이 체에서와 굉장히 유사합니다. 그리고 그 정의 자체에서 체를 필요로 합니다.


체  위의 벡터 공간  (vector space  over the field )는 두 연산 벡터 덧셈(Vector addition), 스칼라 곱(Scalar multiplication)이 정의되어 있는 집합으로 다음과 같은 규칙이 성립합니다.


 V1) 덧셈에 대하여 닫혀 있다 (closed under the vector addition).

     모든 에 대하여 .


 V2) 덧셈의 교환법칙이 성립한다 (Commutativity of vector addition).

     모든 에 대하여 .


 V3) 덧셈의 결합법칙이 성립한다 (Associativity of vector addition).

     모든 에 대하여 .


 V4) 덧셈의 항등원 영벡터(Zero vector) 0이 존재한다 (Additive identity).

     모든 에 대하여 인 의 원소 0이 존재한다.


 V5) 각 원소에 대해 덧셈의 역원이 존재한다 (Additive inverse).

     각 에 대하여 인 의 원소 가 존재한다.


 V6) 스칼라 곱셈에 대하여 닫혀 있다 (closed under the scalar multiplication).

     모든 , 에 대하여 .


 V7) 모든 와 의 곱셈의 항등원 1에 대하여


 V8) 모든 와 에 대하여

여기서 중앙점은 스칼라곱을 의미하며 스칼라끼리의 곱셈은 표시하지 않았음


 V9) 모든 와 에 대하여


 V10) 모든 와 에 대하여




눈치채셨겠지만 벡터공간의 원소를 벡터(Vector)라고 부르며, 벡터 공간을 구성할 때 사용한 체의 원소를 스칼라(Scalar)라고 부릅니다.


또한, 어떤 구조가 덧셈과 스칼라 곱(번역 표현이라.. 스칼라배라고 부르는 것 같습니다만 뭔가 어색해서 그냥 스칼라 곱이라고 했습니다. 원래는 벡터의 내적을 의미하기도 합니다.)에 대해 닫혀 있다면 선형성(Linearity)을 갖는다고 합니다. 벡터 공간을 주재료로 하는 선형대수학(Linear Algebra)에 "선형"이 붙어 있는 이유입니다. 벡터 공간의 선형성을 유지해주는, 즉 벡터공간에서 벡터공간으로의 함수이자 선형성을 가지고 있는 함수를 선형 변환(Linear transformation) 또는 선형 사상(Linear map)이라고 부릅니다. 이게 선형대수학에서 가장 중요한 주제라고 생각하는데, 기회가 되면 다뤄보도록 하겠습니다.


또.. 눈치 빠른 분들은 좌표평면이나 좌표공간이라고 불리는 집합들 등의 공간들이 벡터 공간이라는 것을 알아차리셨을 수도 있습니다. 고등학교 기하에서 벡터의 성분끼리의 연산 혹은 행렬의 연산이 위에서 배운 벡터 공간의 Rule에 들어맞는다는 것 역시도 캐치하셨을 수 있습니다.


그렇습니다. 어떤 체에서 정의된 n x m 행렬의 집합 역시 벡터 공간이며, 실수 좌표들의 집합인 유클리드 공간(Euclidean Space)도 역시 벡터 공간입니다. 좌표는 곧 행렬이므로.. 좌표와 행렬이 벡터라는 말을 들어보셨을지 모르겠지만 이 말이 그래서 나온 겁니다. 고등학교 단계에서만 행렬과 벡터를 배웠다면 아마 모를 이야기겠죠.


단순하게.. 좌표끼리의 연산

이 좌표공간을 벡터 공간으로 만들어줍니다. 시간 만수르신 분들은 이 연산이 벡터 공간의 규칙들을 만족하는 것을 확인해보시면 좋을 것 같네요.




이처럼 우리가 알게 모르게 벡터 공간들에 대해 배워왔으며, 그 활용은 무궁무진합니다. 선형대수학이 매우 중요하게 여겨지는 이유겠죠. 세상이 다 선형대수다.




한 가지 개념만 더 알아보겠습니다.



체  위의 벡터 공간 의 부분집합 중 그 자체로 벡터 공간이 되는 집합을 의 부분공간(Subspace)라 부릅니다. 


벡터 공간 의 부분집합 가 부분공간임은 의 임의의 원소 와 임의의 스칼라에 대하여 인 것과 동치입니다. 즉, 어차피 부분집합이라 연산 구조 자체는 동일하니 선형성(연산에 대해 닫힘)이 있냐 없냐로 부분공간 여부가 결정이 된다는 것입니다.


이걸 굳이 넣을 필요는 없었으나 초반부에서 나름 중요한 정리들 중 하나라 포함시켜봤습니다.





몇 가지 참고사항들 적으면서 벡터의 정의는 마무리 하도록 하겠습니다. 감사합니다.




참고 0) 벡터의 표기


수학에서 벡터의 표기를 화살표로 하는 것은 일반적이지 않습니다. 보통 제가 한 것처럼 볼드체로 나타내는 것이 일반적입니다. 물론 선형대수 책을 보다 보면 그냥 이탤릭(볼드체가 아닌)으로 나타내는 경우도 매우 많습니다만, 벡터인지 아닌지 구분이 확실히 필요한 경우 볼드체로 쓰는 것이 일반적입니다.




참고 1) 데카르트 곱(Cartesian product)


 두 집합 의 데카르트 곱은 다음과 같이 정의됩니다.


 의 원소들의 순서쌍이라고 생각하시면 됩니다. 좌표 평면 은 임을 알 수 있습니다.




참고 2) 연산, 이항연산(Operation, Binary operation)


 연산은 함수입니다. 예를 들어 위에서 정의한 스칼라 곱은


 로 이해하시면 됩니다. 이항연산은.. 정의에 사용된 집합이 모두 같으면 이항연산이라고 봅니다.




참고 3)


 체와 벡터 공간을 정의할 때처럼 어떤 연산에 대해서 닫혀 있고(이항 연산), 결합 법칙이 성립하며 항등원과 역원이 존재하면 그 집합을 군(Group)이라고 부릅니다. 교환 법칙이 성립하는 군을 가환군(Commutative group)이라고 하며 특히 그 연산이 덧셈인 경우 아벨군(Abelian group)이라고 합니다. 따라서, 벡터 공간은 Abelian group입니다. 추가적으로 벡터 공간은 Module이 되는데, 너무 지나치게 대수 내용을 담는 건 지양하고 싶어서 생략하겠습니다.








ps) 수식 글씨체가 좀 튀네요.. 아마 center에만 사용할 것을 전제로 짜여진 거 같습니다. 읽기 불편하실 수도 있는데 양해 부탁드립니다.

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