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Mathyoonz [1319309] · MS 2024 (수정됨) · 쪽지

2025-03-08 00:33:50
조회수 323

[수학 칼럼] 고난도 극한 추론 문제의 접근법 정리

게시글 주소: https://orbi.kr/00072363589

안녕하세요. 꿀모 수석출제위원 겸 수학강사 김윤재입니다.




올해 강의를 시작하며 오르비에서 칼럼을 종종 써보려고 합니다.


우선 처음으로 인사드립니다. 반갑습니다.




25학년도 수능 공통 21번, 극한 문제인데 정답률이 19%(메가스터디 기준)입니다.


사실 지금 다시 보면 많은 학생들이 어렵지 않게 답을 낼 것 같긴 합니다.


물론 21번 문제가 극한만으로 어려운 문제는 아니었지만


23학년도 6월 평가원 22번과 같은 고난도 극한 문제도 나올 수 있기 때문에,


또 최근 평가원이 '낯설게 출제하기'에 집착하는 것으로 보이므로


극한에 대해서도 체계적인 접근법에 대한 정리가 필요해보입니다.




매년 모의고사를 10회정도 출제하는데, 극한 문제는 조금만 어렵게 내면


오답률이 확 높아집니다. 또 수업을 할 때도 마찬가지로


정확히 알고 풀기보다는 감으로 푸는 경우도 많고요.




때문에 문제를 분석하고, 만들면서 제가 수업하는 이야기들 중


분수꼴의 극한에 대한 몇 가지만 풀어보려고 합니다.




우선, 결론부터 말하겠습니다. 딱 두 개만 기억합시다.



① 분수꼴의 부정형(∞/∞, 0/0)의 극한은


    분모가 0이 아닌 상수에 수렴하도록 계산한다.


    (분수꼴의 극한에서는 분모가 주인공이다.)


② 낯선 극한에 접근할 때는 분모에 유의하며


    간추린 꼴로 부정형인지, 아닌지 파악한다.


    (근호가 있다고 하여 유리화부터 하지 않는다.)


이후는 꼴에 따라 계산한다.




'1. 교과서와 ①에 대한 설명


    → 2. ②의 체계화와 예시 풀이


    → 3. 2025학년도 수능 (공통) 21번 문제의 접근 (계산 제외)'


순서대로 진행하겠습니다.




2.에서 ②를 구체화한 접근법을 다루겠고, 예시는 극한의 모든 내용을 담아


직접 출제했던 9번 [4점]짜리 문항을 사용하겠습니다.




※ 예시 문제는 2023학년도 6월 평가원 (공통) 22번에서


일 때와 일 때로 나누어 풀어야 하는 이유를


간략하게 담고 있습니다. 본 칼럼을 정독 후 한 번 풀어보시길 권합니다.






1. 교과서와 ①에 대한 설명


우리 모두 알다시피 다음이 성립합니다.



이 극한값을 구하는 과정을 다음과 같이 생각해볼 수 있습니다.


 (ⅰ)


 (ⅱ)


(ⅰ)과 (ⅱ) 중 어떤 방법이 더 교과서에 맞을까요?


정답은 (ⅱ)입니다.


다음은 교과서에서의 ∞/∞꼴의 극한 계산에 대한 설명입니다.


--------------------------------------------------------------------------------------

[신사고 수학Ⅱ 교과서 발췌]


극한 에서  ,  일 때에는


의 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나눈 후 극한값을 구한다.

--------------------------------------------------------------------------------------


위의 예시를 보면 분자의 최고차항으로 나누어도 극한값을 구할 수 있는데,


왜 하필 분모일까.


여기서 한 번 생각해봅시다. 분수란 분모에 대한 분자의 비입니다.


이때 우리는 분모, 분자 중 기준이 되는 것은 분모라는 것을 알 수 있습니다.


그럼 다시, 어떤 분수의 값을 계산을 할 때 분모가 비의 기준이 될 수 있는 값,


즉 0이 아닌 상수가 되어야 함을 생각해볼 수 있습니다.


(∞ 또는 0은 기준이 될 수 없습니다.)




그래서 결론은


'∞/∞꼴의 계산은 분모가 0이 아닌 상수에 수렴하도록 하는 것이 목적이다.'


라고 이야기할 수 있겠습니다.


한편 0/0꼴의 극한의 계산은 어떨까요.


이것도 분모에 있는 영인자(0에 수렴하는 일차식)을 모두 소거하여 계산하는,


분모가 0이 아닌 상수에 수렴하도록 하는 것이 목적이라고 볼 수 있습니다.




그럼 여기서 우리는 극한에 대한 추론을 할 때,


분모에 집중해야 하는 것을 알 수 있습니다.






2. ②의 체계화와 예시 풀이


여기서 x→∞일 때의 극한의 경우,


일반적으로 다항함수의 최고차항의 차수와 계수를


결정하는 조건으로 사용되므로


x→a일 때 (다항식)/(다항식)의 극한을 다루겠습니다.




우리는 이러한 극한 추론 문제를 다음의 순서로 접근할 것입니다.


[고난도 극한 추론 문제의 접근법]


(1) 간추린 꼴을 확인한다.


(2) 간추린 꼴에서 분모가 0에 수렴할 때와 아닐 때로 나눈다.


(3) 간추린 꼴에서 분모가 0이 아닌 상수에 수렴할 경우


    그 극한값은 항상 존재한다.


(4) 간추린 꼴에서 분모가 0에 수렴할 경우


    분자 또한 0에 수렴하는 0/0꼴에서만 극한값이 존재할 수 있다.


    (교과서에 증명되어있습니다.)


(1)의 과정을 너무 무시하는 경우가 많습니다.


하지만 낯선 문제에서는 (1)이 큰 도움을 주도록 하니, 꼭 해봅시다.



그럼 예시 한 번 보겠습니다.


--------------------------------------------------------------------------------------

[김윤재T 자체제작 문항 (꿀모 출제했던 문항 숫자 수정)]



의 값이 존재하지 않도록 하는 실수 t의 개수가 1일 때,


상수 k의 값을 구하시오.

--------------------------------------------------------------------------------------


접근법 적용해봅시다.


(1) 이 극한의 간추린 꼴은 c/c꼴이다.


(2) t=2이거나 t=-2일 때 분모가 0에 수렴하고,


    이 외의 경우 분모는 0이 아닌 상수에 수렴한다.


(3) t≠2이고 t≠-2이면 분모가 0에 수렴하지 않으므로 이 극한은 확정형이고,


    극한값은 항상 존재한다.


(4) t=2 또는 t=-2이면 분모가 0에 수렴하므로 이 극한이 수렴하려면


    분자 또한 0에 수렴하는 0/0꼴이어야 한다.



(1)~(4)에 의하여 조건을 만족시키려면


(ⅰ) t=-2일 때 극한값이 존재하고, t=2일 때 극한값이 존재하지 않거나


(ⅱ) t=2일 때 극한값이 존재하고, t=-2일 때 극한값이 존재하지 않아야 한다.


이에 따라 케이스를 분류하여 (4)를 이용하여 답만 내면 됩니다.




(ⅰ) t=-2일 때 극한값이 존재하고, t=2일 때 극한값이 존재하지 않는 경우


t=-2일 때 극한값이 존재해야 하므로




의 값이 존재하고, x→-2일 때, (분모)→0이므로 (분자)→0, 즉 k=0이다.


이때 k=0이면



는 c/0 (c≠0)꼴이므로 발산하는 확정형이다. 즉 t=2일 때 극한값이 존재하지 않는다.


한편 k=0일 때 조건을 만족시키려면



의 값이 존재해야 한다. 하지만 이때 분모의 영인자의 개수는 1이고,


분자의 영인자의 개수는 1/2이므로 이 극한은 발산합니다.


즉 k=0은 조건을 만족시키지 않는다.


(ⅱ) t=2일 때 극한값이 존재하고, t=-2일 때 극한값이 존재하지 않는 경우


t=2일 때 극한값이 존재해야 하므로




의 값이 존재하고, x→2일 때, (분모)→0이므로 (분자)→0, 즉 k=2이다.


이때 k=2이면



는 c/0 (c≠0)꼴이므로 발산하는 확정형이다. 즉 t=-2일 때 극한값이 존재하지 않는다.


한편 k=2일 때 조건을 만족시키려면



의 값이 존재해야 한다. x=2의 좌우에서 x+2는 양수이므로


주어진 식을 유리화하여 계산하면



                       


                       


즉 t=2일 때 극한값이 존재하고, 조건을 만족시키는 k의 값은 2이다.


※ 참고로


,


에서 왼쪽은 유리화가 필요없다는 것과 오른쪽은 유리화가 필요하다는 것은


2023학년도 6월 (공통) 22번 문제와 아이디어가 같습니다.


0/0꼴에서 유리화의 목적은 인수분해를 할 수 있는 다항식 만들어주기입니다.


인수분해가 이미 되는 꼴은 유리화가 필요없습니다.


근호가 있다고 하여 바로 유리화부터 하는 것이 아닙니다.


또 다항함수 f(x)에 대하여



일 때도, 유리화보다는 양변에



을 곱하여 정리하면 f(x)가 최고차항의 계수가 4인 이차함수임을 감에 의존하지 않고도,


유리화를 하지 않고 간단하게 구할 수 있습니다.






3. 2025학년도 수능 (공통) 21번 문제의 접근 (계산 제외)

--------------------------------------------------------------------------------------

함수 f(x)=x³+ax²+bx+4가 다음 조건을 만족시키도록 하는


두 정수 a, b에 대하여 f(1)의 최댓값을 구하시오.


모든 실수 α에 대하여 의 값이 존재한다.


--------------------------------------------------------------------------------------


접근법 적용해봅시다.


(1) 이 극한의 간추린 꼴은 c/c꼴이다.


(2) f(α)=0이면 분모가 0에 수렴하고,


    f(α)≠0이면 분모는 0이 아닌 상수에 수렴한다.


(3) f(α)≠0이면 분모가 0에 수렴하지 않으므로 이 극한은 확정형이고,


    극한값은 항상 존재한다.


(4) f(α)=0이면 분모가 0에 수렴하므로


    분자 또한 0에 수렴하는 0/0꼴이어야 한다.


즉 조건을 만족시키려면 f(α)=0인 모든 α에 대하여 f(2α+1)=0이어야만


모든 α에 대하여 주어진 극한값이 존재할 수 있다.




한편 f(1)=0이면 f(3)=0이어야 하고,


다시 f(3)=0이므로 f(7)=0,


다시 f(7)=0이므로 f(15)=0, ······


이어야 한다. 하지만 f(x)는 삼차함수이므로


f(x)=0이 되도록 하는 x의 개수는 3 이하이므로 조건을 만족시킬 수 없다.


이와 같은 과정이 반복되지 않도록 해야하므로


x=2x+1인 x, 즉 x=-1일 때만 f(x)=0이어야 한다.




이 문제는 극한에 대한 추론과 귀납적으로 함숫값에 대한 추론을 하는 것,


두 가지 요소를 담고 있습니다.


극한에 대한 추론은 무난했으리라 생각하지만,


f(x)=0의 실근이 -1뿐이어야함을 밝히는 과정이 쉽지는 않았을 겁니다.


귀납적으로 함숫값에 대한 추론을 하는 문제는


2024학년도 수능 (공통) 22번 문제를 같이 고민해보시기 바랍니다.






조금 길었습니다. 감사합니다.






[※ 배경지식] 간추린 꼴과 부정형


간추린 꼴이란 극한을 ∞, -∞, 0 또는 c (c는 상수) 등을 이용하여


극한의 꼴을 간단히 나타낸 것입니다.


예를 들어

 : 꼴,  : 꼴


 : 꼴,  : 꼴


여기서 ∞/∞, 0/0꼴은 간추린 꼴만으로는 값이 확정되지 않으므로


부정형(indeterminate form)이라 합니다.


반면에 c/0 (c≠0)꼴은 발산이 확정되고, 0/c (c≠0)꼴은 0에 수렴함이


확정되므로 이와 같은 꼴을 확정형(determinate form)이라 합니다.


수학Ⅱ에서 다루는 부정형은 네 가지 ∞/∞, 0/0, 0×∞, ∞-∞꼴인데,


일반적으로 0×∞, ∞-∞의 두 가지 꼴은


모두 ∞/∞, 0/0꼴로 바꾸어 계산하므로


우리는 ∞/∞, 0/0꼴에 대한 기본적인 계산법을 정리했습니다.


∞/∞꼴은 차수논리, 0/0꼴은 인수논리를 이용합니다.


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Mathyoonz [1319309]

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