수1 특강 -(1, 수열의 귀납적 정의)
게시글 주소: https://orbi.kr/00072257873
1. 이론
문제 풀이의 도입이 안 된다면 실험과 관찰(나열)을 통해 문제의 규칙을 찾아봅시다.
또한 수열의 진행방식이 결정된 상태라면, 역으로도 진행할 수 있음을 기억합시다.
그리고 많은 수열 문제에서 케이스를 정확히 잘 분류함이 중요합니다.
바로 예제로 넘어갈게요
2. 예제
수능수학에선 이미 결정된게 뭔지를 빠르게 찾아내는 능력이 꽤나 중요합니다.
a_n이라는 수열을 보면, 수열이 귀납적으로 3개의 연속한 항의 관계가 결정되었고,
2개의 항 또한 결정되었으니 a_n이라는 수열은 결정되있음을 알 수 있습니다.(즉, 전체를 알고 있음)
a_n이 어떤 수열인지 알기위해 조금 나열을 해보죠.
1,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,..<- 수열의 규칙을 금방 발견할 수 있네요. (3 주기)
아는걸 정리해보자면, b_20, a_n이라는 수열 그리고, a_n과 b_n을 알고 있습니다. (b_n이 결정되었다.)
마무리는 다음과 같은 교대급수 식을 계산해주면 됩니다.
이 때, a_n은 3주기의 수열, (-1)^n은 2주기의 수열이므로 그 곱이 6주기(최소공배수)의 수열이 됨을 알 수 있습니다.
따라서 특이항인 a_1을 배재해준 뒤로, 6개씩 묶어서 계산해주면 되겠네요.
b_20을 제시함으로써, a_n을 (19-1)=18개로 6개씩 묶게 좋게 줬음을 알 수 있네요.
a_n이 결정되지 않았음을 알 수 있네요. (최소 2개의 항이 결정되야함)
아는 항이 a_7이니 여기서부터 조금 진행을 해봅시다
40, 40+a_6, 80+a_6 or (40+a_6)/3. (a_6에 따라서, 진행 방법이 바뀜을 알 수 있다.)
즉, a_6를 3으로 나눈 나머지에 따라서, 수열을 관찰해주면 되겠습니다. (적절한 케이스 분류)
(a_6를 3으로 나눈 나머지가 0,1,2인 경우)
Omitted.
3. Exercise
직접 연습해봅시다. (아마도 난이도 순서입니다.(1번이 쉬움))
1번 문제
2번 문제
3번 문제 (참고, https://orbi.kr/00071614605)
4번 문제 (참고, https://orbi.kr/00071592948)
5번 문제 (어렵습니다, 재미로 풀어보세요.)
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오잉? 정말 유익해요
읽어보겠습니다
좋은 글 감사합니다
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사실 예제 풀이가 별거 없어서 연습문제가 주인 ㅋㅋ..
얘는 뻘글 지르다가 이런 유익글 써내는 거 보면 ㄹㅇ 신기함내 최애 지로함이 글쓰면 무슨글이든 공부하다 후다닥
개추야
결정된것을찾기
또는
아는 것/ 모르는 것의 구분
ㅇㅈ합니닷
마지막문제 풀고있는데 풀이가 한장 넘어가네요 간결하게 풀리나요?
+뉴턴항등식 쓰는거맞나요 ㅠ.ㅠ
풀이 꽤 길긴해요,
풀이가 많을 듯한데 제가 아는 풀이에서는 안 썼던 것 같아요.
a_n -1을 b_n으로 정의해서 상수 없애주고
적절한 kb_n+1을 양변에서 빼 준 후등비수열 꼴로 만들어서 다 더하는 방식으로 했는데 너무 무식하게 풀었는지 으악이네요
뭔가 이렇기 한 다음에 b_2023이 제곱수다!라는 정보를 찾으면 제곱합조건은 맥거핀처럼 날아가지 않을까~ 하고 달린 건데
잠정적결론 자체가 틀렸나봐요
원래 풀이는 a_n=(f_2n)^2+(2f_(2n-1))^2임을 증명하는 거에요. (f는 피보나치 수열)
아마 이게 Official Solution일꺼에요.
혹시 생성함수를 쓰는건가욧제가 피보나치 관련해서 아는게 딱 이정도라 ㅠㅠ 아니면 자려구요
귀납법 쓰는거에요,식을 푸는 과정에서 (f_n)^2-3(f_n)(f_(n-2))+(f_(n-2))^2=(-1)^n이라는 유명한 항등식 하나가 필요한데, 지금보니 유도하려면 나오겠지만, 이 항등식을 모르고 풀기엔 되게 어려울 거 같네요.
그럼 두개의 항이 결정되면 a_n이 결정된걸로 알수있는건가요?