잉여역수 활용
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실수세계에서 보던 일들을 좀 더 Local한 세계인 Z_m 세계로 가져와보자. (m으로 나눈 나머지)
예를 들어 Z_{20}이라는 세계에선, 1과 21은 아예 똑같은 숫자이다.
우리는 Z_m에서의 일차방정식을 푸는 것이 목적이다.
즉, ax==b (modm)의 해를 찾는 것.
만약, a의 역수가 존재한다면..?
x==(b/a) (modm)이 되겟다.
역수가 존재할 조건은 뭘까.
그것은 바로 "a와 m이 서로소인 것"이다.
역수가(곱셈에 대한 역원) 존재한다는 말은 어떤 c에 대해,
ac == 1 (modm)이 되는 c가 존재한다는 것이다.
이 방정식의 해를 찾는 알고리즘은, 이미 기원전에 알려졋다 (유클리드 알고리즘), 또한 이 c는 유일하다. (modm으로)
해가 존재할 조건도, (전에 말햇듯이 a와 m은 서로소)
참고(깊은 이야기) "Z_m에서 m과 서로소"라는 말은 실수세계에선 "0이 아니다"라는 말과 같은 말이다.
예를 들어, 3x==8 (mod11)의 해를 찾아보자.
그러면, 바로 x==8/3 (mod11)로 찾아주면 된다.
정수로 정리해주려면, 3*4=1(mod11)이므로, 3의 역수는 4가 된다.
즉 x==8/3=8*4==32==10 (mod11)로 바로 찾아줄 수 잇다.
다른 방법은,
3x==8 (mod11)
=> x==8/3==(8+22)/3==10 (mod11)로 정리해주면 되겟다.
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예?
일차방정식 ㄷㄷ