우주
게시글 주소: https://orbi.kr/00071233803
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
배운게 벌써 몇년전인데 제가 아보가드로 수를 외우고 있다뇨 .. 화생 선택자로서...
-
일반고 문과 고2이고 1학년 내신 3.6입니다. 앞으로 성적 올려서 1.6씩...
-
아 진짜 아 진짜 아 아 아 아 자야지
-
김수현 어쩌구 하는 링크있는 어그로글이었는데 제가 댓을 달았는데도 글이 기록도...
-
ㅈㄱㄴ
-
배고픈데 나가기 귀찮아 10
누가 나를 데려가줘
-
제발
-
일반고 문과 고2이고 1학년 내신 3.6입니다. 앞으로 남은 학기에 1.6씩...
-
미치겠네 진짜
-
a_(n+1)=p*a_n+q 꼴의 점화식 일반항 구하기. 13
저런 꼴의 점화식 부르는 이름이 잇엇던거 같은데;; 쨋든, 방법은 적절한 수를...
-
인생몰까 4
오늘 유독 현타가 심하군요 .. 20살 하고싶다
-
처음으로 이감 풀어봤는데.. 처음 맞는 점수가 나왔어요..이감 모의고사가 전반적으로...
-
로또는 당첨이 안댐.. 아.. 슬퍼.. 돈.. 많고싶어..
-
내신 4
2학년때 제일 빡셌음 물화생지1하고 미적12 확통 기벡 다배우는데 벅차더라
-
선생님께 상담을 받으러 가거나 조교 혹은 과외 선생님께 질문을 할 때 어떻게...
-
이렇게 동시에 가기도 쉽지 않겠다
-
킥오프 파데 2
무휴학 반수생인데 파데도 들어야할까요? 미적은 다시 가볍게 들으려하는데 수1,2도 듣는게 나을까요?
-
반갑습니다 8
반갑습니다
-
기출까지만 하고 싶어요 너무 못해서 울었어요 어디서부터 시작할지 미지수 뭘로 둘지...
-
걍 나중에 몰아서 하루컷할껀뎅
-
낄낄낄 11
1교시라니
-
한화는 야구볼맛 나겠다 10
류현진 김서현 문동주 황준서 정우주 ㄷㄷ 게다가 구장도 새삥ㄷㄷ
-
걍 건전하게 9
다같이 수악 얘기나 해라
-
이건 뭐지 1
수일만은 또 첨보네
-
1학년 3.6등급이 올 1 뜨면 서연고 갈 수 있나요? 18
일반고 고2 문과 1학년 내신 3.6이고 앞으로 올1 뜨면 평균 2.04등급입니다....
-
내일 첫 출근... 12
4수하던 시절로 돌아가고 싶구나... 남은거 덕코 다 뿌림 2명 ㄱ
-
대학합격망상 0
현역 정파인데 3월 초부터 지금 계속 인서울 공대 합격하는 상상해대니까 뇌가 진짜...
-
다들 섭웨 어케 먹음? 26
난 보통 풀드포크 바비큐로 플랫브레드 아메리칸 치즈 에그마요 추가 올리브 빼고...
-
의외로어떤개념을 이해할때 좋은.. 국어적으로는 극단의 범주 파악
-
ㅠ
-
여잔줄;;;;;;;;;;
-
닉변할게 4
없네
-
컨셉씹덕질 하고 있는데..
-
실검 뭐야 0
나만 강평여르비가 뭐하시는분인지 궁금했던게 아녔어!!!
-
1종 보통 면허증에 찍힌 시간 기준이에요? 그전에 따도 발급 늦게 받았으면 안되는...
-
큰 수의 법칙 2
관심있으신가용. 의외로 잘못 아는 사람이 매우 많은 정리라.. 한 번 글이나 써볼까 싶군요
-
작수 1등급인디ㅇㅇ 그래도 기출 한바퀴 다시 돌리는게 나음? 안해도 되면 걍 바로 n제할라 했는데
-
한의대정시 3
지금 언미사2인데 한의대 약대가 목표면 언확사2가 낫나요?
-
배달 시켜부렀다 0
39분? 나 죽어
-
공대 지망하는데 어느 대학 가려하는지에 따라 사탐 고르는게 더 유리할 수 있나요? 0
공대 계열에서 몇몇 대학 빼고는 사탐도 허용돼서 사탐하는게 유리할지도 모르겠다는...
-
등짝 미쳤음ㄹㅇ 이게 남자지
-
본인 확통에서 기하로 바꾸고 작수 기하(만) 1틀했는데 추천가능? 공간지각능력...
-
보통 전문대가는애들은 수능을 다시칠려고 하는 경우는 잘 모르겠는데 전문대가면 보통 어떻게 되나요?
-
물2 질문 3
군대에서 시간아까운데 물2 수능대비급으로 해놓으면 공대/자연대 가서 도윰될까요?
-
ㄹㅇ 퇴물뎀..
-
시발점도 이겨버리는..
-
‘축자적 독해’란 단어 자체의 뜻을 문자 그대로 해석해 지문을 읽어나가는 방식임....
-
확통적성 5
확통 시발점 공부중인데 1부터30까지 홀수중에서 서로다른 두 수를 임의로 선택할때...
-
정말 뜬금없는 생각이긴헌데ㅡㅡ 어떻게 생각하시나요???
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.