우주
게시글 주소: https://orbi.kr/00071233803
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
볼때마다 흠칫흠칫하네
-
24수능 인문지문이랑 현대시 복합세트 지문이 시간 잡아먹는 늪이었던 것 같습니다...
-
홈즈식 공부법 0
굶으면 소화기관에 갈 에너지가 머리로 가므로 똑똑해진다
-
집가고싶다고 1
이불속에 있고 싶다고
-
아 영어도 역시 ㅈ같은 과목이구나 :) :) :) 일단 난이도를 떠나서 시간안에...
-
국정원 교재 있는 건 알겠는데 이렇게 보니 모르는 사람 오해할 듯
-
오잉
-
다음생엔 제발
-
1시간동안 6
190630 190930 191121 200630 를 조짐 200930만 풀면...
-
화작 25수능 화작으로 백분위 94였고 김승리쌤 커리 타려고 합니다. 대학 성적도...
-
지피띠니도 그록이도 이상하게푸는데
-
오늘 늦게 일어났지만 지각은 안했잖아 동아리에서 떨어졌지만 어짜피 정시파이터잖아...
-
반수생 한의대, 약대, 계약학과, sky 문과 목표입니다. 탐구 추천해주세요. 3
사문은 하나 깔고가고 나머지 하나를 물리를 할지 사탐을 할지 고민입니다. 물리는...
-
지구과학 질문 6
크로녹스 베이직 독학하고 기출 처음풀 때 80% 이상 맞으면 계속 해도 괜찮죠?
-
강의 들었을때 너무 괴로웠음 시간이 너무들고 시간써서 읽었는데도 이해가 잘안되고...
-
치대, 약대, 한의대 목표입니다. 사탐런이 맞나요? 22
틀딱입니다 찾아보니 과탐 3% 가산인 대학들은 국수로 찍어누르면 지원가능해보이는데...
-
1984보다 쟈밌는 책이 없기 때문..
-
작년 펑크 고려 연대 응용통계학과 정시 어느정도 나와야 할까요 ㅠ
-
반수해서 대학 옮기면 16
전적대에서 인스타 팔로워한 분들은 어떻게 하나요?
-
조지 오웰의 , 민음사에서 나온 선집 의 조지 오웰 편(가 민음사 세문전과 같은...
-
대학교 경제학원론 안에 수능 경제 100% 다 들어있어요? 4
사실 안들어있는게 이상할거같긴 한데 경제학과 아닌데 어쩌다보니 경제학원론 수업...
-
3시간동안 2
190630 181130나 180930 180630 180621 170930...
-
심찬우 6등급 1
괜찮나요? 아니면추천점요
-
언매황님들 이거 품사랑 문정성분 구분 어떻게 해야 하나요? 7
게임을 할 걸 그랬다. 생략한거 다 적으면, 내가 게임을 할 것을 그랬다<<이거...
-
연잡대는 최저 폐지가 딱이야
-
尹선고 임박, 정권교체 55% 연장 40%…민주, 국힘 재역전 [리얼미터] 1
(서울=뉴스1) 박소은 기자 = 윤석열 대통령의 탄핵심판 결정이 임박했다는 전망이...
-
25 무료배포하신거 다 풀고 26풀고 있는데 뒤쪽 번호 발상은 나름 되는 것 같음....
-
ㅇㅇ 좋은말할떄
-
경희한 목표고 수능 대박 터지면 의대도 고려중입니다.. 20학번으로 입학했다가 다시...
-
정시로 서연고 가신 분들 하루 루틴 좀 알려주세요
-
탐구 바꿔서 개념도 아직 반밖에 못 했는데 꼭 봐야되나 내일 공부 안 하면 계획도...
-
ㅠ
-
몇 개 틀렸어요?
-
빈맥 뭐야 5
심박수 개뺘르네
-
끝나면 바로 스카가야지
-
간다리
-
[속보] 양주 육군 비행장에서 군용 무인기와 헬기 충돌 0
[속보] 양주 육군 비행장에서 군용 무인기와 헬기 충돌
-
힘내라 샤미코
-
26㐃능 ➙보늖 Lㅓ! 당장 ✇오✻➙☉르ㅂ1 엹품ㅌㅏ✯ㅇㅔ 오ㅏㄹㅏ✃...
-
나만 도시락 챙겨올까봐 무서운데 외부생이면 대부분 외부식당 이용 안 하고 도시락 챙겨가지?
-
[국어 배경 지식] 필수 경제 지식 - 브레턴우즈 지문 해체 7
1. 수능 국어에서 배경지식 공부는 필요한가? 필요합니다. 물론 예전만큼...
-
현생사람들 너무스트레스받는데 그냥 저 메타버스로 보내주세요
-
오늘의 기만 3
소화잘됨
-
주말열람실딱대 2
학생증받아따 ㅎㅎㅎ
-
알콜맛 싫어 누구 만날때도 분위기상 술 먹을 자리 아니면 애초에 안먹는(그런 곳엔...
-
공대보다 잘생기고 예쁜 애들 많아서 거울 보면 할복마려워짐
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.