우주
게시글 주소: https://orbi.kr/00071233803
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
아직까진 재밌음
-
작년엔 강민철 들었고 올해는 이원준/김상훈 들었습니다 문학이 약점인 편이라 하긴...
-
수학 실전개념 2
작년에 시발점,쎈,기출3개년정도만 했었고 미적 낮3나왔습니다 작년엔 실전개념 따로...
-
근데 난 옯스타가 없음.
-
일단 메디컬 / 서울대 목표라서 수능 때 거의 무조건 생지 선택할 것 같음 현재...
-
-
하 항문 ㅈㄴ아프다 20
며칠 괜찮다가 또 변비치질왔노 항문외과 가면 수치ㅈㄴ스러울듯..
-
맛있는라면이 집앞 마트에 안팔아서 안성탕면 묵고있는데 딴 거 없나
-
옯스타뭐올려요 9
올리면 다 ㅌㅈ될거같은디… 친구가 캡처해서 ‘이거 너야?’ 이럴 거 같아서 개쫄리는데
-
매우 높은확률로 그 과목 하는 사람일 확률이 높음
-
탈조선 6
5년잡고 도전
-
-
제가 아이디 추천해드림 이미 한 분은 제 추천대로 만들었어요
-
모르면 천덕
-
지구과학은 커다란 짐승,,,
-
닭집 해체 좀 5
포스텍 경질 좀
-
한의 한의~하우 유 뜨릴 미~ 어허 한의 한의~
-
생윤 화2<<< 진짜로 오르비에서 봣음
-
인터파크 vs YES24
-
꿀팁 감사요
-
하 닉 별론데
-
공부하기
-
수업 재시간에 안듣고 다시보기로 배속해서 듣나요?
-
혹시 찾아와도 두번다시 나를 떠나보내지마요~ 그댄여리고 너무 착해서 싫단말도 잘못하는데~
-
다 조금씩 달라서 06 늙은이라 그런지 가물가물하네
-
같은아이피로 이게 뭐하는짓임 ㅋㅋㅋ
-
25 미적 1컷 96 된 느낌이에요?
-
아이고
-
11
-
06님들이거 하셈 21
난 이미 다 빰
-
걍 하고 싶은 애들만 하면 안 되나?
-
그리고 이제 닭가슴살을 곁들인
-
스블 구매자는 문제 겹친다고 무료 제공되는 pdf에 문제가 한단원당 20문제정도던데...
-
썸 확인법 8
상대방이랑 같이 걸을 때 상대방 손등 위로 내 손등 계속 스치게 걸으셈 상대방이 내...
-
추억이 담긴 중학교 졸업앨범을 펴고 옛기억을 더듬어 11
중학교 1학년 내 짝꿍은 유방이 컸지
-
24년 9평에서 ㄱ 선지가 틀렸다고 하는데 리밋 개념서에는 형벌의 강도가 아니라...
-
문학 소설 연계 1
심심할때마다 연계 책 읽는거 괜찮겠죠?
-
오늘 기분 좋았던 일 20
.
-
-
김승리 선생님 오리진이랑 올오카랑 무슨 차이일까요.. 2
수능국어 초보입니다..
-
i인데 0
뒷풀이때 스몰토크 할 주제 있나요.. 일단 저번주에 기 다빨리고옴
-
결국 몸에 가장 잘받는 방법이 최고같음 호기심생겨서 하루에 국어 3실모를 해보네...
-
재수생 국어 낮2~높3정도고ㅠㅠ 작년에 마더텅, 자이로 기출 이미 돌리긴 했었는데...
-
교재표지 ㅁㅌㅊ 10
-
반팔위에 후드티입은적은 잇음 단독은 진짜 업네
-
꺼억 3
대치동 어둠의 스킬입니다 아직 강가원도 알려주지 않음
-
궁금해요
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.