우주
게시글 주소: https://orbi.kr/00071233803
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
(30분 하고 지쳐서 기절)
-
주짓수 2
으흐흐
-
키클려나봐!!
-
젭알
-
으흐흐
-
이거 있는 과목은 맞음?
-
-
저가항공 왕복 46만원 대한항공 왕복 53만원 어디 택?
-
오늘의 야자 끝 2
예기치 못한 자습에 애들 다 놀 때 물리 복습하고,,, 어제 배기범 인강 들었더니...
-
저 24수능 찍맞 8점(근데 3등급) 25수능 찍맞 11점(근데 2등급)임
-
조금더프러보고싶으신가요?
-
머리가 아프군
-
제일 큰 포션을 차지하는건 고집임 남의말 안듣고 고집을 부리면 그건 점수 안오름...
-
기하라 다행이었다
-
글목록 정상화중 4
클리인
-
여캐일러 투척 19
음 역시 귀엽군요
-
제가 이전에 러셀 학원에 다녔던 기록이 있어서인지 더프 외부생 응시 할 때마다...
-
방구장이 뿡뿡이 0
행님이 어째서 여기에..
-
코난을 못보는게 슬프네 30
어째서 은퇴해버린거야
-
오늘은 개입절
-
창에서 안보이는건 왜그런건가요 두 번이나 보내봤는데ㅠ
-
작년엔 사설이니까 ㅋ 하고 넘겼는데 틀린 이유(지문 오독, 선지 오독 등)나 시간...
-
미성년자가 좋다 15
?
-
ㄹㅇ 영어는 너무 어려워
-
아 인스타를 꺼야지 에휴 다 누나들이랑 놀고있네
-
25로 받으면 26때 더 높은데 가도 못받는거임?
-
화작 기하 영어 물리 지구 93 76 89 50 47 문제도 잘못읽고 계산...
-
치마 들추기! 7
꺄르륵
-
장학금 두 곳 중복 수혜가 되네.. 아무튼 좋은거겠지
-
통치 방식의 변화같은 키워드에 꽂히면 당연히 갑신정변이라고 철썩같이 믿고 틀렸다고...
-
안녕하세요 수험생여러분 고민과 질문이 있어서 댓글남깁니다! 저는 우선 99년생이고...
-
수학 노베는아닌데 그렇ㄷ고 수학 머리나 발상이 좋은편이 아니라서 시험 칠때마다...
-
아이스으 3
께끼
-
이젠 물려서 넘어가지도 못하고 인생 조짐
-
수학진짜 0
미적은 아직 많이 풀어본건 아닌데 수12보다 계산부터 잘 막히고 머리에 탁탁...
-
혜자임?
-
3덮 언매특 3
정은이가 다이어트함
-
교복치마 이쁘네 7
그죠
-
전주대 경배와찬양학과에서 한양대 로스쿨 붙은 사람 나옴 4
아마 리트 최소 145이실듯..
-
수능 끝나고 그 주 주말에 개명할건데요 근데 빠르면 두달 뒤에 개명허가 나잖아요...
-
언매 88 미적 77 ㅜㅜ
-
기시감 2026밖에 없던데..? 아닌가
-
점수 : 40/50 틀린 문항 : 9 13 18 19 9-몰농도 구해야하는데 부피...
-
돈까스는 배달 시킬건데 밖에 눈 많이 오면 좀 그런가
-
엔제로만 양치기 한다 불만없제
-
현우진 문항공모 1
문항공모 할건데 해설 작성할 때 그래프(기하)풀이가 꼭 필요한데 그래프는 어떻게...
-
왜냐면 친구가 없음
-
냉장고에 스벅 빵 있으니까 라면이 나을까요
-
찍먹하면서 개빨리 달려보게 “잡답없음”<<중요함 메가패스밖에 없어서 메가강사중에...
-
기가막힌듯 통치 방식의 변화 워딩만 보면 갑신정변이지 개화당 인사가 아니다 이렇게...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.