우주
게시글 주소: https://orbi.kr/00071233803
https://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handouts/trivline.pdf
Brian Conrad라는 앤드류 와일즈 제자인데다가 현우진 쌤 학부 지도교수인 정수론 쪽 수학자인데, 예전에 학부 미분기하 수업을 한번 진행했을 때 올린 수업 자료. 제목은 "Why the universe cannot be S^4" 라는 상당히 어그로성이 짙은 제목의 문서인데, 기본 세팅은 spacetime (smooth Lorentzian 4-manifold, 다시 말해서 signature 가 (3,1)인 pseudo-Riemannian manifold) 이고, 블랙홀 같은 singularity는 없다고 가정한 상태. 대수하는 사람 답게 분명 미분기하지만 아주 미분기하 스럽지는 않고 (예를 들어 curvature나 connection form같은게 등장하지 않음) 오히려 (선형)대수적인 면모를 부각해서 써놓음.
설명은 파일의 첫 페이지 Corollary 1.2 이후에 써있음. S^4는 simply connected이고 S^4는 non-vanishing vector field를 갖지 못하기 때문에 (Hairy ball theorem) S^4는 Lorentizian manifold가 될 수 없다 (Corollary 1.2) 이렇게 설명.
Corollary 1.2는 Theorem 1.1에 의해서 나온다고 써있는데, Theorem 1.1은 그 자체로 흥미롭고 직관적인 정리이기 때문에 따로 적어봄.
Theorem 1.1. Let $E\to M$ be a smooth vector bundle over a manifold $M$. If $E$ admits a pseudo-Riemannian metric $g$ with signature $(n_{+},n_{-})$, then there exist smooth subbundles $E^+,E^-\subset E$ with ranks $n_{+}$ and $n_{-}$ respectively such that $g$ has positive-definite on $E^+$ and negative-definite on $E^-$. In particular, the natural bundle map $E^+\oplus E^-\to E$ is an isomorphism.
원래 증명 안 보려고 했는데, 증명에서 Grassmannian을 써서 보게 됨. 정확히는, Theorem 1.1은 fiber에서는 자명하기 때문에, 테크니컬한 부분은 fiber들에서 decompose가 된 것들이 잘 짜맞춰져서 smooth subbundle들로 쪼개진다는 것을 보이는 부분임. 이 과정에서는 보통의 경우에는 smooth frame을 잡고서 M위에서 point들을 움직였을 때, local expression들이 smooth 하게 vary하기 때문에 smooth 하다고 하는데, 여기서는 Grassmannian을 이용해서 증명함. 나만 처음본 것일 수도 있는데, 이렇게 증명하는 것은 또 처음봄. 이것에 대해서는 사실 Conrad가 맨 처음 문단에 써놨는데, "pseudo-Riemannian manifold이기 때문에 기존의 Riemannian 에서 하던 직관적인 작업들이 잘 되지 않을 수 있다" 이렇게 설명함. (이래서 pseudo-Riemannian manifold가 어려움)
기본 아이디어는, 앞서 말한 대로, 각 fiber마다의 decomposition을 한 다음에, quotient를 해서 positive definite한 파트만 살려놓으면, $G_{n_+}(\Bbb R)$ 에 한 점이 대응됨. 따라서 $M\to G_{n_+}(\Bbb R)$로 가는 set map을 만들 수 있는데, 문제는 이것이 smooth 한지 체크하는 것. 이걸 어떻게 보였는지 궁금하면 노트를 한번 보길. (아무도 안보겠지만!)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
만약 지금시점 현정훈 수강시작한다고 하면 어케되나요??? 1
지금까지 한번 설명한적 잇는 스킬은 별다른 설명없이 바로쓸텐데 저같은 뉴비들은...
-
진짜 겁나 많네...
-
애정이 필요해
-
일이있어 2주전부터 재수를 시작하게 되었습니다. 작수 미적65점이였고...
-
주관식 수열 진짜 씨빨 왜 110이 나오지
-
일단 시작에 앞서 노베의 케이스부터 분류해봄 노베는 국어만 문제인 친구가 있고...
-
문제 보고 예상되는 풀이의 방향을 머리로 먼저 찾고 푸시나요?
-
기하를 할지 미적을 할지 고민임 걍 미적을 하는게 맞는건가... 아으...
-
작수기준 3등급이고 문학에서 의문사를 자주 당하는 편입니다 실전에서 선지에서 제대로...
-
그냥 자기 전에 불안해서 물어봄 갑자기 씅모 없는 거 아는데ㅠ 언매4 미적3-4...
-
더프 1컷 궁예 좀 17
언매 미적 궁예질 ㄱㄱ
-
26일에 0
NJZ 노래 나오는거 맞나요? 공식 유튜브 있다는데 왜 나만 안보이지..
-
국수영 못하니까 공부할 시간이 없네 특히 수학 이 씹새끼 시간 ㅈㄴ 잡아먹네 ㅅㅃ이
-
* 자세한 문의는 아래의 링크를 통해 연락 바랍니다....
-
해설조차도 이해가 안됨 10
포기함
-
적백 받고 싶다 8
-
올4 -> 올1 (문과) vs 올3 ->올1 (언미과탐) 1
수능날 수학 점수 8점 건다면 어디에 검? 올4, 올3 모두 노베에서 1년만에 해당...
-
국어 질문 받습니다 16
더프 보신 날이니 상담하고싶은 것들이 있으실까 싶기도 하고 과제 하면서...
-
NOHFC... 11
NOHmuhyeon Fresident suiCide
-
먹을게요
-
계속 저걸로 찍고 제대로 안 풀어서 그거 벗어나는 순간 못 풂 ㅅㅂ
-
근데 어중간하게 아는 여자만 늘고 걍 걔네 연애하는거 구경하는 사람됨
-
그런데 없는 이유가 3월 개강 새학기 때문이구나 이제 나도 안올래
-
국어는 뭐 수학도 점수는 처참한데 건드려본 문제들 시작점이나 접근법 자체는 맞았던게...
-
작년이랑 올해 둘 다 듣는 중인데 올해가 진짜 인문 철학 대응법 같이 실전...
-
수학 과외중인데 오늘 과외생 2명 더프 수학 둘다 60점대 받았네요.. 문제보고...
-
지방사는 고3입니다 ㅠㅜ 지방이라 시대인재나 러셀 같은 시스템을 잘 몰라서 오르비에...
-
작업거는거 아님 사장님 남자임 펑
-
과제 끝 4
근데 내일이 1교시에요
-
매주 서킷 2회 프랙티컬 2회 브릿지 전국브릿지 각1회씩 2회 리밋x 1회 좀...
-
24수능,25수능 둘다 지1 1등급임 근데 좀 과탐을 고정값으로 씹어먹고 싶은데...
-
연어하실분
-
비싼거 같은데 어떤거 같나요?
-
영어 :토익으로 대체 한국사 :한능검으로 대체 1교시 국어 독서 4지문 17문제...
-
좋아하는 과목 순위 10
확통 > 언매 > 영어 > 사문 > 지구 > 문학 > 독서 > 수2 > 정법 > 수1
-
점수 : 50/50(28min) 펜을 두고와서 공책에다가 샤프로 풀이해서 체감난도는...
-
그냥 내 자신이 너무 불쌍해요 경우의수 나누는것을 몇개월 이상해도 케이스 분류를...
-
66점->88 아니 개많이 오른거 맞잖아 우리 어머니께서는 왜 만점이 아니냐고 화를...
-
확통런 지금 2
고대 교과가 공대도 확통 된다해서 확통런하려는데 지금해도 안 늦을까요?
-
사문 시작한지 2개월됐는데 1,2 틀로 46이면 ㅁㅌㅊ?
-
14급 문제를 10번부터 쫙 깔아놓은 지뢰모고는 ㄴㄴ 하고 1컷 80정도로 수능에...
-
그때도 사탐런 많이 햤을 수능인가요?
-
고대 교과전형 0
일반고랑 과학고랑 같은 등급이어도 다른가요?ㅔ
-
반드시 둘 다 잡을 수 있길
-
한지 한번 찍먹해볼까 11
사문 진심 너무 재미없는데 만백 필요하면 stay가 맞다곤 하지만..
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.