샌드위치 정리 감성 (ft. 극단적 사고하기, 열린 사고)
게시글 주소: https://orbi.kr/00070160414
h(x)를 정리해 봅시다.
그래프 그려보시면 대충 사다리꼴 하나가 나옵니다.
a도 모르고 b도 모르고 k도 몰라서
어디서부터 뭘 할 수 있을까 처음에 막막합니다.
그런데 이 조건에 초점을 두어 봅니다.
우선 x가 0 이하일 때에는 당연합니다.
0은 0 이하이고 동시에 0은 0 이상이기 때문입니다.
그리고 구간 [0, 2]에서는 생각하기가 복잡합니다.
앞서 x가 0 이하일 때를 살펴본 것을
x가 충분히 작을 때를 살펴본 것이라 생각합시다.
그러면 우리는 대칭적으로 x가 충분히 클 때를 살펴보고 싶습니다.
그런데 x>2일 때 g(x)=0입니다.
그래서 x>2일 때 h(x)도 0을 함숫값으로 가집니다.
이때 h(x)=k(a+b-2)였기 때문에 a+b=2임을 확인할 수 있습니다.
그러면 다음과 같이 h(x)식을 다시 작성해줄 수 있는데
생각하기가 훨씬 편해집니다.
이제 함수 g(x)도 h(x)도 x=1에 대해 대칭이기 때문에
함수 g(x)-h(x)를 구간 [0, 1]에서만 살펴봐주어도 되겠습니다.
이제 구간 [0, 1]에서의 적분값이 최소가 되도록 해 봅시다!
만약 a가 모든 실수를 범위로 한다면
적분값이 a에 대한 이차함수이기 때문에 a=1 넣고 끝내면 되겠지만
a<b 조건에서 0<a<1임을 확인하실 수 있습니다.
따라서 그런 식으로 문제가 풀리지 않을 것이라는 것을 확인하시면 좋습니다.
아직 이 조건을 제대로 활용해주지 않았는데,
마찬가지로 구간 [0, 1]에서만 신경써주면 되겠습니다.
이때 구간 [0, a)나 [a, 1]이나 모두 최고차항의 계수가 음수인
이차함수의 그래프를 보고 있으므로 대칭축이 어디에 있든
x=0, x=a, 그리고 x=1에서의 함숫값이 음수가 아니기만 하면
위의 부등식이 성립할 것임을 확인할 수 있습니다.
이는 x=0과 x=a, 그리고 x=1을 기준으로 대칭축의 위치를 나누어 보시고
하나씩 판단해 보시면 금방 확인하실 수 있습니다.
0<a<1이므로 남는 조건은 다음의 부등식입니다.
이를 통해 주어진 적분값을 나타낼 수 있습니다.
그렇다면 주어진 적분값의 최솟값은 위 부등식 우변의
a에 대한 삼차함수일 것임을 확인할 수 있습니다.
우변의 삼차함수는 0<a<1일 때 a=2/3에서 극솟값을 가지므로
a, b, k의 값을 모두 결정할 수 있습니다.
다른 문제를 살펴봅시다!
앞서 a+b=2 조건을 발견한 것과 비슷하게 생각해 봅시다.
0<h<g 꼴에서 g=0이면 h=0임을 확인할 수 있었듯이
만약 2k-8=4k^2+14k라면 주어진
점 (k, f(k))와 점 (k+2, f(k+2)) 사이의 평균변화율도
2k-8일 것입니다.
위의 등식을 만족하는 k의 값은 -2와 -1입니다.
이후 계산하여 f(x)의 이차항, 일차항 계수를 확인해주었으면 됩니다.
p.s. 고정 관념을 버리는 것은 수능 수학 공부에 도움이 됩니다.
시도해 볼 수 있는 풀이가 n가지 있을 때 하나만 올바르다면
그 하나를 찾아내는 것이 실력이라고 생각합니다.
구간 [0, x]에서 어떤 함수를 적분한 x에 대한 함수가 주어졌다고
무조건 미분해 보는 것이 답이 아니고,
평균변화율 꼴로 식이 주어졌다고
무조건 기하적으로 해석해 보는 것이 답이 아닙니다.
위 문항 2025학년도 9월 21번도 점 (k, f(k))과 점 (k+2, f(k+2)) 사이의
평균변화율로 직관적으로 이해해보려 하는 동시에
k가 정수임을 신경쓰며 주어진 부등식을 다루어보려 했다면
현장에서 빠르게 정답을 내기 쉽지 않았을 것입니다.
2022학년도 9월 14번 변형 문항인데,
x<0에서의 g(x)를 점 (0, f(0))과 점 (x, f(x)) 사이의 평균변화율로
바라볼 필요 없이 그냥 식 정리해서 이차함수로 다루시면 됩니다.
비슷한 느낌의 기출 하나가 있었는데 못 찾겠어서 나중에 찾으면 댓글로 언급해두겠습니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
애옹 0
야옹
-
8시간동안 대회만 보다니 이제 자야지
-
릴스 보는데 수학 문제 오류 제기하는 학생한테 이게 출제자의 의도라고 안 받아주는...
-
But there is nothing left for us to do
-
캬루 레어 살꺼야
-
-
덕코내놔 0
-
캬루콘 사주세요 0
뿌엥...
-
나머지는 기억 안남
-
기차지나간당 0
부지런행
-
내 금같은 추석이 날아가게 생겼네
-
빈정상함
-
날개돋는 비둘기 3
-
안녕하세요. 경기도 면 단위 학교에 재학 중인 한 학생입니다. 오르비라는 사이트에서...
-
수수수수 9
수퍼노바
-
네.그리고 이유좀 !
-
국어 연계 0
산문은 무조건 고전산문연계인데 운문은 현대랑 고전이랑 번갈아 나오는듯 근데 과년도...
-
모고공부에도 비중을 두면서 할까요 안니면 내신집중으로 수2에 다 때려박을까요 어차피...
-
11시 이후 기상 2시까지는 밥먹고 쳐 놀음 그리고 공부하겠답시고 스카나 도서관...
-
얼른 자 2
네 자러 갈게여
-
온라인으로 확인하면 돼서 종이로 날아오는건 구지 필요없는데 원서접수할때 신청가능한가
-
내ㅔ
-
-
국어(언매), 사탐(생윤, 윤사) 만점에 영어 1등급일시 수학(확통) 어느정도...
-
새르비때매 생활 패턴이 망가진 느낌
-
-
-
찾음
-
진짜 자야지 2
굿밤
-
07 여러분, 이 글에 개추를 누르면 당신은 평백 99를 찍습니다 23
그러나 죄없는 06이상의 나이가 많은 옯붕이는 수능에서 커리어 로우를 찍게 됩니다 누르시겠습니까?
-
북 3
ㅇㅇ
-
진지하다
-
존나귀찮아서걍좋아하는노래담은담에셔플재생하는데 그래야뭔가자주들어도안질림
-
I can't stop love love love
-
플리 0
이런 감성이에요
-
아 7
섹스하고싶다
-
아 1
뭐
-
예 0
아! 제가 오늘 제가 딱! 말 놓고 하고 싶은 얘기 한마디 하겠습니다. 야~ 기분...
-
노래 추천 4
최근에 발굴한것 중에 스노우볼이란 노래가 좋더라구요 근데 아마 못찾으실거에여
-
야 0
동보고 자야지
-
야 4
왜
-
야 1
하자
-
야 1
한개 보여?
-
약간 같이 울컥했어요
-
지듣노 ㅁㅌㅊ 2
-
야!!!!!! 12
-
하루종일 커뮤니티에 지박령처럼 상주하면서 가볍고 비루한 생각을 분 단위로, 시간...
-
서방님... 4
으흐흐
-
근데 나만그럼? 13
여르빈지 남르빈지 모르겠는 오르비언은 걍 여르비라 생각함 그럼 뭔가 좋음 ㅇㅇ 맞지?
-
슬픈 나를 항상 미소짓게 해
