재무학 맛보기-옵션 가격과 블랙-숄즈 모형

금융 분야에서 가장 심오하고 정교한 개념 중 하나인 옵션 가격 결정 이론(Option Pricing Theory)은 특정 조건이나 결과에 종속된 약속인 조건부 약속(contingent promises)의 가치 평가에 초점을 맞춘다. 이는 오늘날 자본을 제공하고 미래에 확정된 수익을 받는 전통적 금융 약속과는 달리, 기대 수익에 불확실성을 내포하는 변수들을 포함한다. 본 이론은 그 수학적 정교함으로 인해 주목받게 되었는데, 이는 물리학이나 공학 분야에서 사용되는 것과 유사한 고급 미적분학과 정량적 방법론을 요구하여 금융계에서 '로켓 과학'이라는 별칭을 얻게 되었다. 옵션 가격 결정 이론의 핵심에는 "공짜 점심은 없다(no free lunch)"는 원칙이 자리잡고 있으며, 이는 효율적 시장에서는 투자 없이 무위험 이익을 얻을 기회가 존재하지 않음을 의미한다. 이는 옵션 가격이 모든 가용 정보를 정확히 반영해야 하며, 그렇지 않으면 가격 차이를 이용한 보장된 이익 획득인 재정거래(arbitrage)가 발생할 수 있음을 강조한다. 이해를 돕기 위해 다양한 조건의 극장 티켓 구매 시나리오를 고려해보자. 즉시 고정 가격으로 구매하는 것은 조건 없는 단순 거래를, 후에 구매할 의무가 있는 예약은 미래의 정해진 조건으로 거래하기로 약속하는 선도계약(forward contract)을, 그리고 유리한 조건에 따라 구매 여부를 선택할 수 있는 예약은 거래 실행의 권리만을 제공하는 옵션을 각각 대표한다. 금융 시장에서 선도계약은 특정 미래 시점에 정해진 가격으로 자산을 매매하기로 하는 합의로, 선택의 여지가 없다. 선물계약(futures contract)은 이와 유사하나 표준화되어 거래소에서 거래되며, 이는 유동성과 가격 투명성을 증진시킨다. 반면 옵션은 정해진 기간 내에 특정 가격으로 자산을 매수(콜 옵션)하거나 매도(풋 옵션)할 수 있는 권리를 보유자에게 부여하여 전략적 유연성을 제공한다. 옵션 가격 결정 이론은 기초 자산 가격, 행사가격(strike price), 만기까지의 시간, 무위험 이자율, 자산의 변동성 등의 요소를 고려하여 옵션의 공정 가치를 산출하기 위해 블랙-숄즈 공식과 같은 모델을 활용한다. 이러한 복잡한 수학적 접근은 금융 분야에서 고도의 정량적 기술이 필요함을 강조하며, 부정확한 가격 책정은 심각한 시장 비효율을 초래할 수 있다. 옵션의 정확한 가치 평가를 통해 이 이론은 시장 균형을 유지하고 재정거래 기회를 방지함으로써 금융 시스템의 완전성을 보장하는 데 기여한다. 궁극적으로 옵션 가격 결정 이론은 조건부 권리를 제공하는 금융 상품의 복잡성을 이해하고 관리하는 데 필수적이며, 불확실성이 지배하는 환경에서 정보에 기반한 의사결정을 가능케 한다. 이 이론의 적용은 개인의 투자 전략을 개선할 뿐만 아니라 글로벌 금융 시장의 전반적인 안정성과 효율성 증진에도 기여하여, 현대 금융 경제학의 근간으로서의 위치를 공고히 한다.

<틀린 선택지>
- 옵션 가격 결정 이론은 투자 없이 확실한 수익을 창출할 수 있는 기회를 제공하여 시장의 효율성을 약화시킨다.
- 선도계약은 거래소에서 표준화되어 거래되며, 이는 개별 계약의 유연성을 현저히 감소시킨다.
- 블랙-숄즈 공식은 옵션 가격을 산정할 때 자산의 변동성을 고려하지 않기 때문에 단순화된 모델로 간주된다.
- 옵션 가격 결정 이론은 전통적인 금융 약속과 달리 미래의 확정된 수익을 보장하는 특성을 가지고 있다.
- 재정거래는 옵션 가격 결정 이론에 의해 철저히 방지되므로, 금융 시장에서의 가격 비효율성이 전혀 존재하지 않는다.

<힌트>
- "no free lunch" 원칙에 따르면 투자 없이 무위험 이익을 얻을 수 없으며, 따라서 이론은 확실한 수익을 제공하지 않는다.
- 선도계약은 거래소에서 표준화되지 않고, 표준화된 계약은 선물계약에 해당한다.
- 블랙-숄즈 공식은 자산의 변동성을 옵션 가격 산정의 핵심 요소로 포함하고 있다.
- 옵션 가격 결정 이론은 불확실성을 내포한 조건부 약속의 가치를 평가하며, 확정된 수익을 보장하지 않는다.
- 재정거래는 이론에 의해 예방되지만, 완전히 방지되지 않으며 시장에 여전히 가격 비효율성이 존재할 수 있다.

<틀린 선택지>
- 옵션 가격 결정 이론은 전통적 금융 약속과 마찬가지로 미래에 확정된 수익을 받는 것을 전제로 하며, 이는 금융 시장의 안정성을 보장하는 핵심 요소로 작용한다.
- 금융 시장에서 '공짜 점심은 없다'는 원칙은 모든 투자에 위험이 존재함을 의미하며, 이는 옵션 거래에서 항상 손실 가능성이 있음을 강조하여 투자자들의 신중한 접근을 유도한다.
- 선도계약과 선물계약은 본질적으로 동일한 금융 상품으로, 둘 다 거래소에서 표준화된 형태로 거래되어 유동성과 가격 투명성을 높이는 데 기여한다.
- 옵션 가격 결정 이론에서 사용되는 블랙-숄즈 공식은 기초 자산 가격과 행사가격만을 고려하여 옵션의 공정 가치를 산출하며, 이는 간단하고 직관적인 계산을 가능하게 한다.
- 재정거래는 금융 시장의 효율성을 증진시키는 필수적인 메커니즘으로, 옵션 가격 결정 이론은 이를 촉진하여 시장 참여자들에게 안정적인 수익 기회를 제공한다.
<힌트>
- 지문에 따르면, 옵션 가격 결정 이론은 전통적 금융 약속과 달리 기대 수익에 불확실성을 내포하는 변수들을 포함한다고 명시되어 있다. 따라서 확정된 수익을 전제로 한다는 설명은 부적절하다.
- '공짜 점심은 없다'는 원칙은 효율적 시장에서 투자 없이 무위험 이익을 얻을 기회가 존재하지 않음을 의미한다. 이는 모든 투자에 위험이 있다는 것과는 다른 개념이다.
- 지문에서 선도계약과 선물계약은 유사하지만 다른 점이 있다고 설명한다. 선물계약만이 표준화되어 거래소에서 거래된다고 명시되어 있다.
- 블랙-숄즈 공식은 기초 자산 가격, 행사가격뿐만 아니라 만기까지의 시간, 무위험 이자율, 자산의 변동성 등 다양한 요소를 고려한다고 지문에서 설명하고 있다.
- 재정거래는 가격 차이를 이용한 보장된 이익 획득을 의미하며, 옵션 가격 결정 이론은 이를 방지하여 시장 균형을 유지하는 데 기여한다고 지문에서 설명하고 있다.

<틀린 선택지>
- 금융 분야에서 옵션 가격 결정 이론은 전통적 금융 약속과는 달리, 미래 수익의 확실성을 전제로 하여 현재 가치를 평가하는 데 초점을 맞춘다.
- 옵션 가격 결정 이론은 '공짜 점심은 없다'는 원칙을 기반으로 하며, 이는 시장에서 정보의 비대칭성을 이용하여 초과 수익을 얻을 수 있다는 것을 의미한다.
- 극장 티켓 구매 시나리오에서, 후에 구매할 의무가 있는 예약은 옵션과 유사한 개념이며, 유리한 조건에 따라 구매 여부를 선택할 수 있는 예약은 선도계약과 유사한 개념이다.
- 선물계약은 선도계약과 달리 표준화되지 않아 거래소에서 거래되지 않으며, 이는 유동성과 가격 투명성을 저해하는 요인으로 작용한다.
- 옵션 가격 결정 이론은 블랙-숄즈 공식과 같은 모델을 사용하여 옵션의 최대 수익률을 보장하는 가격을 산출하는 데 목적을 둔다.

<힌트>
- 첫 번째 문장은 옵션 가격 결정 이론이 미래 수익의 불확실성을 고려한다는 점을 명시하고 있으므로, 확실성을 전제로 한다는 것은 부당하다.
- 두 번째 문장에서 '공짜 점심은 없다'는 원칙은 효율적 시장에서 정보의 비대칭성을 이용한 초과 수익 창출이 불가능함을 의미하므로, 이를 통해 초과 수익을 얻을 수 있다는 것은 모순이다.
- 세 번째 문장에서 후에 구매할 의무가 있는 예약은 선도계약, 유리한 조건에 따라 구매 여부를 선택할 수 있는 예약은 옵션에 해당하므로, 설명이 뒤바뀐 것이다.
- 네 번째 문장에서 선물계약은 선도계약과 달리 표준화되어 거래소에서 거래되므로, 표준화되지 않았다는 것은 사실과 다르다.
- 다섯 번째 문장에서 옵션 가격 결정 이론은 옵션의 공정 가치를 산출하는 데 목적을 두므로, 최대 수익률 보장이 목적이라는 것은 부당하다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

- "조건부 약속(contingent promises)"은 특정 조건이나 결과에 따라 가치가 변동하는 금융 약속으로, 예를 들어 주식 시장의 성과에 따라 수익이 달라지는 주식 옵션이 이에 해당한다.

- "재정거래(차익거래, arbitrage)"는 시장 간 가격 차이를 이용해 무위험 이익을 얻는 거래 방식으로, 예를 들어 한 시장에서 낮은 가격에 매수하고 동시에 다른 시장에서 높은 가격에 매도하여 차익을 얻는 것이다.

- "행사가격(strike price)"은 옵션 계약에서 기초 자산을 사거나 팔 수 있는 미리 정해진 가격으로, 옵션의 가치를 결정하는 주요 요소 중 하나이며, 예를 들어 주가가 100달러일 때 120달러의 행사가격을 가진 콜 옵션은 주가가 120달러 이상으로 오를 때 가치가 있게 된다.

옵션 가격 결정은 이항모델(binomial model)을 통해 이루어질 수 있으며, 이는 각 이산적 시간 구간에서 기초자산(underlying asset)이 상승 또는 하락이라는 두 가지 결과만을 가정함으로써 가치평가 과정을 단순화한다. 이 모델의 핵심 구성요소는 현재 가격이 알려진 기초자산, 미리 정해진 행사가격(strike price)으로 자산을 매매할 수 있는 권리를 부여하는 금융파생상품인 옵션(option), 그리고 알려진 무위험이자율(risk-free rate)로 이자가 복리되는 무위험 은행계좌이다. 이항모델의 핵심은 기초자산과 옵션을 결합하여 포트폴리오(portfolio)의 가치를 자산의 미래 가격변동과 무관하게 동일하게 만들어주는 무위험 또는 헤지된 포트폴리오를 구성하는 데 있다. 이 비율은 델타(Δ)로 표시되며, 옵션 가치의 변화량을 기초자산 가격의 변화량으로 나눈 값으로 계산되는 헤지비율(hedge ratio)을 나타낸다. 예를 들어, 현재 가격이 20파운드인 자산이 다음 기간에 22파운드로 상승하거나 18파운드로 하락할 수 있고, 행사가격이 21파운드인 옵션이 있다고 가정해보자. 자산 가격이 상승하면 옵션의 수익은 1파운드가 되며, 가격이 하락하면 수익은 0이 된다. 이때 Δ를 (22Δ − 1) = 18Δ로 설정하여 풀면 Δ는 0.25가 되며, 이는 옵션 매도자가 자산의 4분의 1을 보유함으로써 옵션 매도로 인한 위험을 상쇄할 수 있음을 의미한다. 옵션 매도자는 자산 0.25단위를 매수하고 옵션 1개를 공매도하여 자산 가격 변동에 영향을 받지 않는 무위험 포트폴리오를 구성할 수 있다. 이러한 접근법의 중요한 통찰은 옵션의 현재 가치가 자산 가격의 상승 또는 하락 실제 확률에 의존하지 않는다는 것이다. 대신 이는 모든 투자자가 위험에 무관심하며(위험중립성, risk neutrality), 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 위험중립적 가치평가(risk-neutral valuation)에 의존한다. 위험중립성 하에서는 미래 기대수익이 위험프리미엄을 고려하지 않고 무위험이자율로 할인되므로 계산이 단순화된다. 이는 실제 확률이 아닌 자산의 기대수익률을 무위험이자율과 일치시키는 조정된 확률인 위험중립적 확률(risk-neutral probabilities)로 초점이 이동함을 의미한다. 블랙-숄즈(Black-Scholes)의 획기적인 연구는 옵션 가격이 미래 가격 변동의 실제 확률을 알지 않고도 결정될 수 있음을 보여주었으며, 이는 그들에게 노벨상을 안겨주었다. 이항모델을 다기간으로 확장하면 각 노드가 특정 시점의 가능한 가격을 나타내고 자산 가격이 일정한 비율로 상승하거나 하락할 수 있는 이항트리(binomial tree)를 구성하게 된다. 기간이 증가함에 따라 자산 가격의 이항분포는 중심극한정리(Central Limit Theorem)에 따라 정규분포로 수렴하게 되는데, 이는 독립적인 확률변수의 합이 원래 분포와 무관하게 정규분포를 따른다는 원리이다. 이러한 다기간 이항모델은 자산의 잠재적 가격 경로를 보다 정확하게 표현하고 동적 헤지 전략에 대한 프레임워크를 제공한다. 투자자는 각 시점에서 헤지비율을 조정하여 포트폴리오를 지속적으로 재조정하고 무위험 상태를 유지할 수 있다. 이 모델은 또한 효율적 시장에서는 무위험 이익의 가능성이 없어야 한다는 무차익거래(no-arbitrage) 원칙의 중요성을 강조하며, 이 원칙은 파생상품의 공정가치 결정에 근본적이다. 전반적으로 이항모델은 옵션 가격 책정을 위한 금융수학의 기초 도구로서 직관적이면서도 수학적으로 견고한 이산시간 프레임워크를 제공한다. 이는 복잡한 금융상품이 주관적 확률 추정에 의존하지 않고 복제 및 헤지 전략을 통해 이해되고 평가될 수 있음을 보여준다. 이러한 접근법은 옵션 가격 책정을 단순화할 뿐만 아니라 금융시장에서 위험과 수익의 관계에 대한 이해를 심화시킨다.

<틀린 선택지>
- 이항모델에서는 기초자산의 가격이 다수의 결과를 가질 수 있으며, 이는 복잡한 가치 평가를 필요로 한다.
- 이항모델은 자산 가격이 무제한으로 상승할 수 있다고 가정하여 헤지 전략의 유연성을 높인다.
- 델타(Δ)는 옵션 가격의 변화량을 시간을 기준으로 계산하는 비율을 의미한다.
- 리스크 중립적 확률은 실제 확률보다 자산의 기대수익률을 높게 평가한다.
- 다기간 이항모델은 중심극한정리에 따라 이항분포가 지수분포로 수렴함을 보여준다.

<힌트>
- 이항모델은 기초자산의 가격 변동을 상승 또는 하락 두 가지 결과로 단순화하기 때문에, 다수의 결과를 가지지 않는다.
- 이항모델에서는 자산 가격이 상승 또는 하락 두 가지 경우만을 고려하며, 무제한 상승은 포함되지 않는다.
- 델타는 옵션 가치의 변화량을 기초자산 가격의 변화량으로 나눈 비율로, 시간을 기준으로 계산되지 않는다.
- 리스크 중립적 확률은 자산의 기대수익률을 무위험이자율과 일치시켜 실제 확률에 의존하지 않는다.
- 중심극한정리에 따르면 이항분포는 정규분포로 수렴하지만 지수분포는 해당되지 않는다.

<틀린 선택지>
- 이항모델에서는 기초자산의 가격이 상승하거나 하락할 확률이 각각 50%로 고정되어 있으며, 이는 위험중립적 확률과 동일하게 취급된다.
- 옵션의 델타(Δ)는 기초자산 가격의 변화에 대한 옵션 가치의 변화율을 나타내며, 항상 0과 1 사이의 값을 가지므로 완전한 헤지가 불가능하다.
- 블랙-숄즈 모델은 이항모델의 한계를 극복하기 위해 개발되었으며, 연속시간에서의 옵션 가격 결정에 실제 확률 분포를 사용한다는 점에서 우수성을 인정받았다.
- 무차익거래 원칙에 따르면, 효율적 시장에서는 항상 무위험 이익의 기회가 존재해야 하며, 이는 옵션의 공정가치를 결정하는 데 중요한 역할을 한다.
- 다기간 이항모델에서 기간이 증가함에 따라 자산 가격의 분포는 항상 로그정규분포로 수렴하며, 이는 중심극한정리와 무관하게 성립한다.
<힌트>
- 이항모델에서 상승 및 하락 확률은 고정되어 있지 않으며, 위험중립적 확률은 실제 확률과 다르다.
- 델타(Δ)는 0과 1 사이의 값을 가질 수 있지만, 반드시 그 범위 내에 있어야 하는 것은 아니며, 완전한 헤지가 가능하다.
- 블랙-숄즈 모델은 실제 확률 분포가 아닌 위험중립적 가치평가에 기반한다.
- 무차익거래 원칙은 무위험 이익의 기회가 없어야 함을 의미한다.
- 자산 가격의 분포는 정규분포로 수렴하며, 이는 중심극한정리와 관련이 있다.

<틀린 선택지>
- 옵션 가격 결정을 위한 이항모델에서 기초자산의 가격 변동은 무작위적으로 발생하는 것이 아니라, 미리 정해진 상승률과 하락률에 따라 결정된다.
- 이항모델에서 옵션 매도자는 델타값에 따라 기초자산을 매수하거나 매도함으로써 무위험 포트폴리오를 구성할 수 있으며, 이는 옵션의 현재 가치가 미래 자산 가격의 상승 또는 하락 확률에 의존함을 의미한다.
- 위험중립적 가치평가는 투자자들이 위험을 감수하지 않고 무위험이자율로만 투자를 결정한다는 가정 하에 이루어지기 때문에, 실제 시장 상황과는 거리가 있다.
- 중심극한정리에 따르면, 이항모델에서 기간이 증가함에 따라 자산의 미래 가격 분포는 정규분포에 수렴하며, 이는 옵션의 만기 시점에서 자산 가격이 특정 값으로 수렴할 확률을 계산할 수 있음을 의미한다.
- 무차익거래 원칙은 투자자들이 시장의 비효율성을 이용하여 위험 없이 수익을 창출할 수 없다는 것을 의미하며, 이는 이항모델에서 옵션의 가격이 유일하게 결정될 수 있는 이론적 근거를 제공한다.

<힌트>
- 이항모델은 기초자산의 가격 변동을 미리 정해진 상승률이나 하락률에 따라 결정하는 것이 아니라, 각 시간 구간에서 상승 또는 하락이라는 두 가지 가능한 결과만을 가정하여 옵션 가격을 결정한다.
- 이항모델에서 옵션 매도자는 델타값에 따라 기초자산을 매수하거나 매도함으로써 무위험 포트폴리오를 구성할 수 있지만, 이는 옵션의 현재 가치가 미래 자산 가격의 상승 또는 하락 확률에 의존하지 않음을 의미한다. 옵션의 가치는 미래 자산 가격의 상승 또는 하락 확률이 아니라, 위험중립적 확률에 의해 결정된다.
- 위험중립적 가치평가는 투자자들이 위험을 감수하지 않고 무위험이자율로만 투자를 결정한다는 가정 하에 이루어지는 것이 아니라, 모든 투자자가 위험에 무관심하며 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 위험중립적 가치평가에 의존한다.
- 중심극한정리에 따르면, 이항모델에서 기간이 증가함에 따라 자산의 미래 가격 분포는 정규분포에 수렴하지만, 이는 옵션의 만기 시점에서 자산 가격이 특정 값으로 수렴할 확률을 계산할 수 있음을 의미하는 것이 아니라, 자산 가격의 분포가 정규분포에 가까워짐을 의미한다.
- 무차익거래 원칙은 투자자들이 시장의 비효율성을 이용하여 위험 없이 수익을 창출할 수 없다는 것을 의미하지만, 이는 이항모델에서 옵션의 가격이 유일하게 결정될 수 있는 이론적 근거를 제공하는 것이 아니라, 효율적 시장에서는 무위험 이익의 가능성이 없어야 한다는 원칙을 강조하는 것이다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

- "헤지비율(Δ)"은 옵션 가치의 변화량을 기초자산 가격의 변화량으로 나눈 값으로, 옵션 매도자가 기초자산을 얼마나 보유해야 위험을 상쇄할 수 있는지를 나타내는 지표이다. 예를 들어, Δ가 0.25라면 옵션 매도자는 기초자산의 4분의 1을 보유함으로써 옵션 매도로 인한 위험을 상쇄할 수 있다.

- "위험중립적 가치평가"는 모든 투자자가 위험에 무관심하며 모든 자산의 기대수익률이 무위험이자율과 같다고 가정하는 방법으로, 옵션의 현재 가치가 자산 가격의 상승 또는 하락 실제 확률에 의존하지 않고 위험중립적 확률을 사용하여 계산될 수 있음을 설명한다.

- "이항트리"는 다기간 이항모델에서 각 노드가 특정 시점의 가능한 가격을 나타내고 자산 가격이 일정한 비율로 상승하거나 하락할 수 있는 구조로, 자산의 잠재적 가격 경로를 표현하고 동적 헤지 전략에 대한 프레임을 제공하며, 기간이 증가함에 따라 중심극한정리에 의해 정규분포로 수렴하는 특성을 가진다.