이제는 볼일 없을 행렬... 역행렬 관련 증명한거 오류좀 잡아주세요!(수학 고수님들 부탁합니다ㅠㅠ)
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예전에 학교 선생님께
'역행렬 관계인 두 행렬 사이에서는 반드시 교환법칙이 성립한다'의 증명이 어떻게 되는지를 여쭤봤었는데
선생님께서 '서로 곱하면 단위행렬이 되며, 교환법칙이 성립하는 두 행렬'이 역행렬의 정의이며,
따라서 AB=E이면 반드시 BA=E가 되는게 정의이기 때문에 증명할 필요가 없다라고 하셨거든요.
그래서 제가 질문을 바꿔 그럼 역행렬 관계라 하지말고 'AB=E인 두 행렬에 대해서 반드시 A,B 사이에서는 반드시 교환법칙이 성립한다'를 증명하는 방법에 대해 물어보다
선생님께서 '그건 애초에 역행렬의 정의에서 벗어난 것이기 때문에 증명을 할수 없다'라고 하셔서 논쟁이 오갔거든요...
그래서 집에서 혼자 위의 명제에 대해 증명을 해봤는데
그때는 나름 잘했다고 생각해봤는데 방금 오르비에 박승동 선생님 일화를 보고 호기심에 다시 증명해보다 잘 안돼서 예전에 증명한걸 찾아보니 뭔가 오류가 있는것 같더라고요ㅠㅠ
그 오류가 어딘지 모르겠는데 수학 고수분들 계시면 한번 찾아봐주실수 있을까요?
대학 합격했으면 혼자 해보고 싶었는데 재수생이라 이거에 계속 시간을 쓸수도 없고...
그리고 혹시 위 명제에 대해 귀류법으로 증명할수 있으신 분은 좀 알려주세요ㅠㅠ
일단 그때 제가 증명했던거를 알아보기 편하게 옮겨 적은걸 올려볼게요!
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결론은 ab는 e ba능 e가 아닐때 위 과정을 거치면 ba는 e가되어 가정 에 모순된다 인가요?
넵
정확히는 'BAA는 A가 아니다'가 모순이므로 'BAA=A 라고 할때 위 과정을 거치면 가정에 모순된다'정도? 로 해석하시면 될것같습니다.
제가 말한게 맞다면 너무나 자명 한데
가정을하고 증명을했는데 결과가 가정에 모순된다 따라서 가정은 ㅇ틀린가정이다
귀류법 아닌가요
근데 ABAA=/=AA 부터 시작하는 단락이 뭔가 이상한거 같아서요.
왜 그런지는 모르겠는데ㅠㅠ
교과과정에서 항등원과 역원을 학습합니다
교과서에서는 항등원을 E로서 소개하고 이를 유일하다고 소개하고 있습니다
그리고 역행렬은 일종의 역원으로서 정의되는 논재입니다
즉 AB=E라고 쓴순간 B는 A의 역행렬로서 정의되게 됩니다
그쵸... 근데 왜 역행렬이 반드시 교환법칙이 성립하는지 증명을 하고싶습니다.
즉, AB=E일때 (B를 역행렬이라고 부르던 말던) AB=BA라는게 항상 성립한다는 것을 증명하고 싶습니다!
고등과정을 상기시키면 편한데..
교환법칙을 이미 전제로 깔고있습니다
교과과정에서 그 전제를 증명시켜 주지는 않아서요...
교과과정 내에서는 애초에 생각할 필요가 없는 문제이긴 한데 그냥 알고싶어서요...ㅠㅠ
아뇨.. 역원이라고 말할려면 교환법칙이 성립할때만 역원이라고 합니다
어떻게 설명하지...ㅠㅠ
그니까 'AB=E일때 BA는 E가 아닌 A,B가 존재하지 않는가'를 증명하고 싶습니다.
근데 일단 고교과정내에서는 2차정사각행렬에서만 정의하기때문에 일반화시키기에는 약간 무리가 있을거같습니다
증명도 2차정사각행렬로서만 증명하구요
자세한 답변못드려서 죄송합니다
아닙니다 답변주셔서 정말 감사합니다!
글고 2차정사각행렬에서의 증명은 직접보이면 됩니다.
사실 논점은 E라는게 행렬의 곱셈의 항등원이 되는지가 시작입니다. 2차 정사각형행렬에선 이를 증명하는게 어렵지 않긴 하죠. 말씀하신대로 역원이란 말을 쓰는순간 AB=E일때 BA=E를 증명할 필욘 없어집니다. 근데 더 근본적으로 역원일때 교환법칙이 성립하냐는 문제가 남는군요. 2차정사각 행렬에 국한시킨다면 위에 쓰신대로 증명하셔도 큰 문제는 없을것 같지만 이걸 행렬이 아니라 일반적인 원소와 연산사이에서도 확장을 시킬 방법은 저도 잘 모르겠네요....
ㅠㅠ 그럼 2차정사각 행렬안에서는 저 증명에 문제는 없는건가요?
넵 제가보기엔 딱히 틀린부분은 못찾겠네요.
답변주셔서 정말 감사합니다!
이제 속편하게 덴마 보러갈수 있겠어요!ㅠㅠ
넵 ㅋㅋ 오늘 외모지상주의도 올라올텐데 저도 웹툰이나 봐야겠네요...
아 그리고 제르맹 님께서 말씀하신게 제가 말하고 싶은 거였는데 저와는 다르게 논리적으로 설명 해주셨네요. 본받고 싶습니다!
교과서에서 AB=E일 때의 B를 찾은 후 그 B가 BA=E를 만족함을 보임으로서 자연스레 교환법칙이 성립하고 ad-bc가 0이 아니면 A의역행렬이 반드시 존재함을 보입니다. 역행렬은 이차정사각행렬만 다룹니다.
헐 포카칩님도 댓글 달아주셨네요!
그럼 교과서 내용 안에서는 저건 고민할 필요는 없는거였네요...
혹시 저 증명에 문제될만한 부분이 있는지 알수 있을까요?
그리고 얼마전에 쪽지 드렸는데 바쁘시겠지만ㅠㅠ 확인해주시면 감사 하겠습니다!
음 근데요 AX=XA=A인 X는 일반적인 정사각행렬에셔 유일한가요?
그걸 보여야할것 같은데요.. 교과서에서는 이차정사각행렬에서만 다뤄요. 이차정사각행렬에서는 우리가 알고있는 그 E가 유일하게 맞지요.
저런식으로 논리전개를 해나가더라도 꼬리를 물다보면 결국 개노답 n×n 성분이 개입해야만 합니다. 그래서 교과서에서는 2×2에서만 다뤄요
음 듣고보니 2차 정사각행렬에 대해서만 생각하고 증명했는데 그럴거면 그냥 교과서 대로 생각하는게 편하네요ㅠㅠ
저 증명이 다른 꼴의 행렬에서도 가능할지 생각 해봐야겠습니다
저희 학교 선생님은 정리라고 말씀하셨는데.. 2차 정사각행렬에 한해서라면 그냥
성분 a b c d 두고 증명해도 되더라고요.
2차 정사각행렬에서는 그냥 그렇게 하는게 가장 좋겠네요ㅠㅠ