다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
등급별 대학 라인이면 더 좋습니다 쪽지로 제가 사용하는 대학 추정 라인...
-
수능 때 하나 차이로 2 나오면 진짜 멘탈 갈리겟군 공부해야겠다
-
작년 7월 굿노트 5시절에 14000주고 샀는데 지금 보니까 또 사라고 나오네
-
6평과 9평 기록용 12
국어 100 -> 98 쉽긴 존나 쉽더라... 언매 다 풀고 30분 남길래 화작도...
-
뭔가 저는 그래도 다시 할것같아서 좀 그렇군요
-
국어 황분들 도와주세요... 고3 한명 살린다는 생각으로 14
6모 언매 4 61점 9모 화작 5 73점 나왔급니다 일클래스 듣다가 김젬마 현강...
-
군대 늦게가면 10
나보다 어린새끼가 반말하는거임? 나는 존댓말하고?
-
교재패스사고 신청했는데 지금 신청하는거맞죠? 본교재는 안껴있는거같길래 어떻게해야될지 모르겠네요
-
작수 79점 6모 70점 9모 82점이고 수능날 2는 떠야하는데 인강을 들을지 아님...
-
15 22 28 29 30 1컷 78점 1등급이긴 한데... 사설 미적은 아예 손을 못대겠네..
-
영어 3
9모 88점 나왔고 계속 1,2 왔다갔다 합니다 아직 기출은 하지 않은 상태인데...
-
재수생분들 보통 12
재수 언제부터 생각하셨음?
-
투데이가 왤케 늘었지 12
활동하는 사람들이 늘었다고 봐야겠죠?
-
하늘성 0
.
-
아무리 생각해봐도 문제를 이렇게 내는건 말이 안되는 것 같아서 ebs분석서...
-
어디다대고 쉐복하는거임?. 그냥 무지성 혐오인가;;
-
논술황님들 제가 경희대 논술을 깔끔하게 다 맞았는데 8
논리도 뭐 빠지는거 없이 .. 동국대는 작년꺼 하나 못풀고 하나 실수 했거든요...
-
모의고사를 항상 A4로 그냥 집에서 뽑았는데.. 다른건 괜찮은데 화학이 좀 자리가...
-
혹시 문학중요도 받은 사람 있나요? 사람이 많아서 아직 보내고 계신건지 세번이나...
-
개웃기네
-
일단 제 사고과정을 알려드림.. 한반도에서 북방으로 떠나는 상황과 다시 돌아가는...
-
머리 작다는 소리 고딩때부터 꽤 많이 들었는데(가족,친구들,안경점 사장님 등)...
-
비싸
-
https://m.economictimes.com/news/new-updates/ni...
-
의대 써볼까요? 12
이번에 증원돼서 붙어도 갈지말지 고민되고 만약에 입학취소될까봐 조금 쓰기 무서운데...
-
학기 초에 심하게 다쳤어서 탐구 과목 (한국사, 통과, 통사) 학교 수업 앞부분을...
-
한의대 교과로 한장 쓸까말까 ㄹㅇ 담주 원서 접수인데 아직도 못정했음요 탐구는...
-
https://arca.live/b/namuhotnow/115694362?p=1...
-
i긴한데 그렇다고 인프피급 완전 찐따는 아니고 istp고 찐친도 꽤 있는데...
-
궁금한건데 만약 수능이 20
23411 나오면 어느대학정도 감?
-
이거 고민하다가 시간 너무부족했어요..
-
6,9평보니 수능에서 뭔가 점화식 어렵게 나올거 같은데 어려운 점화식 연습해보고...
-
생1 질문 3
진지하게 문제에 문자적는거만 3분걸릴거 같은데 이런건 걍 넘겼다 마지막에...
-
( "... '2025년부터 2029년까지 매년 2000명 의대 증원 처분의 효력을 정지한다'는 인용결정을 할 의무가 있다” ) 0
https://www.newsis.com/view/NISX20240907_0002879586
-
세상에피곤해라 6
자야지 숙제따위안해
-
생략된 성분 관련 질문인데요.. 1. a에서 그녀는 재능이 있다 + 그녀는 노래를...
-
17분 30초부터 봐 보셈 "그냥 이 조건을 만족하는 f를 구하세요~ 어 근데 그냥...
-
이감 온라인 말고 오프 맞겠죠 ...?
-
5천가냐?
-
수능 고민.. 5
제가 내년 3월에 군대를 갈 예정이고 군수를 계획중입니다 큰 계획은 군수지만...
-
다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728) 2
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다. 어제...
-
빨래방 이용하고 있는데 어떤 문신한 남자 두명이 보따리 3개 들고와서 수건...
-
강해린한쥴리강혜원한소희장원영김제니김민정하니팜김채원설윤아
-
조정식 더데유데 vs 리명학 그불구 뭐가 좋을까요? 수능 88 6평 78 9평 92입니다
-
어릴 때부터 카메라 달고 살았고 남들 롤하던 시간에 프리미어 애펙 독학하고… 그...
-
파이널 이명학 그불구 조정식 Tdyd 될 수 있다면 둘 다 듣는걸 추천해요 영어는...
-
백석의 시 「북방(北方)에서」를 읽으면 그리스 비극의 주인공으로 등장하는 어떤...
-
학교 가는 게 좋아요 10
친구랑 교양수업 하나 같이들어서.. 거기서 친구의 친구들도 만났어요
-
그 닮음 문제처럼 터무니 없진 않은데 ㄹㅇ 능지테스트스럽네 ㅋㅋㅋ 이거 낸사람은 교수일듯
-
샤인미 설맞이(수1수2) 문해전 s2 드릴 5정도 풀었는데 뭐할까요? 풀었던거...
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까