엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068865526
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
ㅊㅊ해주새요하나도 긴장이 안돼서 집중력 떨어짐
-
두달 전에 대출할 때만 해도 아무도 대출 안 했었고 예약도 0명이였는데 예약만 32건 ㄷㄷ
-
흐
-
무물보 8
내일 시험임 ㅅㅂ
-
체감상 국수영지 1보다 훨 어려운거 같음
-
이거 사보신분? 5
효과있음? 이거
-
이문제에서 극한상쇄 말고 어떻게 푸는건가요??
-
남은 기간동안 빡모 이해원 시즌 1~4 히카 이로운 정도 풀어보려고 하는데 저중에...
-
배고파요 4
아무것도 못먹음..
-
전역하고 나면 대학에 내 동년배들 사라지는 거임? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ.........
-
염치 없지만 여기에 추천 부탁드립니다.. https://m.fmkorea.com/7569499884
-
어깨뽕 가슴뽕 넣고 다니는거아심?? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 개웃기네 ㄹㅇ.. 나라가말세다
-
진지하게 수능때 1 가능한가 찍맞 안통하면 어캄.. 막전위만 존나게 조지면 타임어택...
-
ㅅㅂ 모기임 모기가 내 손등에 뽀뽀하고 있었음 하 긴팔 긴바지 긴양말 후드로 꽁꽁...
-
대강 저렇게 생겼고 가림막은 책상쪽에만 높게 쳐져있음 소파에 누워서 눈 좀 붙이고 싶은데 민폐일려나
-
어제 오류난 문제 한참 붙잡고있다가 하다하다 안나와서 답지에 그냥 리미트쓰고 식만...
-
현우진은 커리를 개편하면 더 높게 올라갈 수 있는ㄷ 5
왜 커리 추가를 하지 않는거지? 인기,자본,실력 다 되면서 n제 커리 하나정도 더...
-
점심 뭐 먹지 6
물회먹을까
-
얼버기 2
얼리버드 기모찌
-
며칠 휴릅해서 그런가...
-
크흐흑
-
교육청 평가원 2정도 뜨는데 (6모 79점 9모 94점) 일주일에 한두번 이감...
-
다믿었었어 0
왜이렇게
-
공부할 필요 없겠지? 맨날 오묘하게 잘찍어서 나오는거긴 한데 2뜬적은 3년동안 한번도 없음
-
가보자구..
-
다른 의도는 없고 박광일t가 고민상담 영상에서 제 사연 얘기해주셨는데 영상 따서...
-
우리가 있잖아
-
지구 기출 복습 2
기출 한 번 더 보고싶은데 기테크 틀린 것만 다시 볼까요 아님 모의고사 몇개년치...
-
오늘까지 쉬면 진짜 안될거 같아
-
살만한가요 ??
-
9평 31411에 영어를 지금까지 수능 1달전부터 하면된다고 유기하고있었는데 진짜...
-
수능장 asmr 6
작년 영어듣기 4개틀려서 극한의 상황적응 연습하고 싶은데 시험지 넘어가고...
-
아.....
-
김승리 아수라 5
아직 못 따라 갔고 지금 살거같은데 지금이라도 따라가도 되나요? 아니면 그냥 기출...
-
잘하는걸 먼저 푸는게 나을까요?
-
여자자습실은 아까보니까 2명있던데 나외로워
-
핸드폰 pdf로. . .
-
교육부 감사감아님???? ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
찐으로 전쟁날 확률이 얼마나됨요 낮다고 생각했는데 아닌가
-
요즘은 길어봤자 6시간이고 그 뒤로는 저절로 눈이 떠지네
-
독서실로 출 발 2
ㄱㄱㄱ
-
기호주의 1
이들은 인간의 지능을 명시적인 규칙과 논리의 집합으로 보았다. 이런 접근 방식을...
-
경제 환율질문 5
미>한>일 아닌가요? 미>일 일때 미국 대일상품수지가 악화된다는게 이해가안되는데 알려주세요 ㅠ
-
수능 끝나면 1
배그하구싶다 따바다 다바다바다 다바답답 다바다바다 다바다 다바답답 다바 다바다바답...
-
둘 중 하나만 풀어야할 것 같은데 뭐풀까요? 간쓸개 파이널은 있긴한데 얘만 풀까
-
난 내가 이해를 못하는게 신의뜻이라고 생각함.. 내가 이해할수있을정도로 쉬운생각만...
-
군사경찰이 동료에 장난삼아 가스총 쏴 부상...징계 1
[앵커] 공군부대 군사경찰 사격 훈련 중 장난삼아 사람을 향해 가스총을 쏴 다친...
-
문과 1컷 중간3 3 1틀 만점 이라 치면..?
슈크란