미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
헐 0
안녕
-
대학커뮤니티 노크에서 선발한 가천대 선배가 오르비에 있는 예비가천대학생들을 돕기...
-
사람마다 부르는것도 다른것같고.. 몇월부터 몇월까지 무슨 시즌인지 알려주세요
-
치과의사 질문 받습니다 36
예비 치대생, 현직 치대생, 치대 지망생 등 아무거나 질문 하시면 답변 드립니다....
-
ㅎㅇ 4
-
재종왜다님 1
독재에서 냥냥하게 인강으로 1타강사나 듣지
-
질받해요 2
심심해요
-
현우진 드릴 드릴드1(드릴1,2) 드릴드2(드릴3,4) 드릴5 문제퀄이나 난이도 다...
-
가군 5차기준 예비 5번인데 전추로 가능성 있을까요??ㅜㅜㅜ
-
심심해서 질문받습니다 16
오늘 통역만 2시반 반해서 다는 못 받아도 이해해주삼요^^;;
-
서성한라인 추합 2
나군 현재 예비 12번인데 전추 불가능이겠죠
-
에너지 자원 공학과 낮공인가요?
-
묘하게 비율이 바꼈는지 태그 5개가 한 줄에 안 들어오네요
-
관전중인데 궁금함
-
댓글에 강평 드립 금지
-
12315 7
아는형 12315로 고대경제 합격했어요
-
이거 합격하고 등록금 100퍼 환불 받을려면 정시 추합 기간 끝나면 안됨? 3
제 친구가 합격해서 등록금 넣고 있다는데 분명 얘가 삼수 생각 있다했거든요 그래서...
-
경희는 별 생각 없이 쓴거고 전문직 도전 의사는 있음
-
제발제발!!! 내 인생 운을 지금 다 써도 좋아 내일 제발 추합 전화… 제발요 제가...
-
ㅈㄱㄴ
-
-
어떤병신이 7
한의사 신졸월급 net 1200이라는 헛소리 퍼트리고 다님? 존나짜증나네 좀 진짜로...
-
국어: 메가스터디 강민철 수학 시대인재 강기원 영어 이투스 강원우 물리 메가 강민웅...
-
하.. 3
-
1. 백여명 앞에서 통역 쌩쇼에... 2. 차관급 인사 세명 앞에서 통역......
-
빡센하루였다 5
-
나한테 먼저 와주는 유일한 애들
-
맛난거 마시기 9
-
누군 인생에 3번임..
-
중앙대 기계과 붙어서 좋긴한데 생각해보니까 고2때 화생지에 고3때 생2화2 수능은...
-
약대 선택 fact ( 헬약 헤븐약 이런거 절대 믿지마세요) 6
이상한 정보들이 돌아다녀서 오랜만에 글씁니다 지금 그리고 앞으로도 돌아다닐 소위...
-
현정훈이 물리 1타인것마냥 이신혁이 지1 강의는 쌈싸먹음?
-
달리러 가자 4
밤공기를 마시며
-
내가 과탐 다시 쳐다보면 사람이 아니다 ㅃ.
-
사탐런? 1
안녕하세요 지금 고3올라가는 허순데 조언이 필요합니다ㅠ 고2때 모고보면 국어 4...
-
내일 마지막날인데 안오겠죠..?
-
이따가 작년 7모 경제 풀어볼건데 댓글중에 가장 예측 가까운 사람 5천덕 같은점수면...
-
쪽지좀 주세요...
-
진지하게 저러더라 ㅋㅋㅋㅋㅋ 건대생이 중시경건 이러는건 육성으로 들어본적 한번도...
-
나 존나 착함 5
피부과 갔다가 집가는 길에 육교 건너는데 여기 육교에 노숙하시는 분들 가끔 계심...
-
제가 알기로 서울대 학푸로 1명 붙고(현역) 성균관대 생기부 100 전형으로 1분...
-
엔제는 4규랑 문해전 빅포텐만 풀어보려는데 빅포텐 어떤가요???
-
어라
-
생명하다가 유전애서 벽느껴서 지구 하려는데 지금해도 안늦은건가요? 07년생...
-
생각이 많다 2
엄청나게
-
교재가 너무 구림... 내신 윤사할때 출눈 들었는데 필기노트가 본체고 정작 본교재는...
-
당고 맛있네 3
-
과탐하다가 돌린건데 도표 개념 한바퀴 돌리면 풀 수 있는 수준임??
-
원래 동욱쌤 일클 지문 몇개는 강의가 없는게 맞나요?? 1
2주차 학습하고 있는데 문학 부분에서 만흥이랑 우언가 부분만 인강이 있고 그...
-
이제 한달했는데 진짜 너무 힘들어서 그만 두고 싶네요 진짜 기숙 1년 동안...
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=