미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
국어(화작) 73 수학(확통) 51 영어 2 생윤 30 사문 43 현역분들 이정도면 잘본걸까여
-
국어 영어 현장에서 글 아예 안읽히는건 어케해야해요… 영어 고2때까진 1등급...
-
너네 솔직히 이런식으로 원점수 가지고 기만하면 난 삐져버리지
-
이제 집가서 맛난거 많이 먹어요!! 학원 가는 분들은... 힘내요...
-
그게 어케 가능함 대체 진짜 신기하네 저정도 마음가짐은 지녀야 성공하는건가
-
고3 3모 이정도 성적이면 어느정도 대학까지 갈 수 있나요? 1
오늘 시험 쳤는데 아래 성적이 나왔거든요...3모=수능성적이라고 가정할 때 이정도...
-
걍 좆이네 4
난 걍 좆만 잇음
-
모의고사 종이 0
모의고사 종이 맨밑에 약간 울퉁불퉁하게 해놓은건 왜그런거임?
-
수학이.. 2
22,30같은건 맞췄는데 딴건 다 의문사당함...어제 분명 범준모 88이었는데...
-
보통 메가나 이투스에서 3모 등급컷 몇시쯤에 올라오죠?
-
1+1/3 을 10/3 으로 읽는 거 같은 실수는 어케 고침? 0
그냥 공부 접어야겠다
-
고2 3모 인증 3
국어 53 (찍은거 제외하면 38) 영어 68 (찍은거 제외하면 59) 수학 60...
-
나도 수능날만 리농 머리 장착하고 싶다
-
교육청 홈피가 렉걸려서 너무 오래걸림...
-
화작 미적 영어 한국사 사문 경제 83. 66. 3. 6. 44. 40 나왔는데...
-
이런건 뭐 어떻게해야할까요
-
"빠른" 채점 0
빠르게 해주세요..ㅠㅠ
-
당시엔 등급이 뭔지를 몰라서 보고도 뭔소린지 모름 대강 평균 7에서 6정도 뜬듯
-
고2 수시러인데 7
국 영 수 동사 세사 한국사 61 92 61 48 47 48 나왔습니다.. 국어...
-
정신건강에는 별로 안좋은 거 같아요
-
애들이독서쉬웠대서 죽으러갈뻔
-
사설보다 못봤는데 이거 맞음? 괴리 너무 큰데
-
3모망했네요.. 2
국어 분석, 오답 꼼꼼히해야겠죠??
-
안풀어야지
-
아그들아 정신 차려라 이 이 이 이 안된다 그럼
-
74 숫자가 아주 보기 좋았음
-
3모 어땠나요? 0
난이도가..
-
패드로 푸는 거 좀 그런가... 걍 프린트라도 하는 게 나을까요?
-
연고대 목표로 2026 수능 준비하는 재수생인데 내신 7, 8 등급대예요 고대 수능...
-
독서가 이렇게 어렵게 나올거라고 생각도 못함..;
-
뭐야 ㅆㅂ 1
잉?
-
영어 ㅗㅗㅗㅗㅗㅗㅗㅗㅗㅗ 영어 개같내 듣기도 내가 생각했던만큼 쉽진않았음 ㅗㅗㅗ
-
언매-89 미적-85 영어-84 생1-44 지1-50 총평: 국수영 좀 어려운거...
-
ㅈㄱㄴ 좀간절함
-
나랑 가채점 한 애가 많이 틀린거였음 난 생각보다가 아니라 생각보다 좋은거였음
-
당연한걸지도 현장감 압박 ㅈ되더라
-
국 87 수 호머 92 영 86 사문 50 생윤 50 한국사 40
-
젤 청정한거 맞음 과탐중에? 올해도 유지되려나
-
어케 6부터 17합을 115로 구했냐...
-
실수해서틀린건인정을절대할수x
-
수고하셨어요 5
-
쪽지로 건설적인 좋은 대화 해보자
-
ㅈㄴ 죽고싶다 3
방학동안 열심히 했는데.. 아무도 믿지 못하게 만드는 점수를 받음 슬프다
-
언매 더프 만점 이감 90초중 뜨는데 83박았다.... 태어나서...
-
ㅈㄴ 쉽다고 생각하던 문제들 틀리는게 문제네
-
검머외 아니면 듣기 중에 무조간 뒤에 남겨서 풀어야함
-
국어 생명 지문 0
이 정도는 배경지식 없어도 ㄱㅊ은 수준인가요?
-
나는오르비할자격도없다 오르비물흐리지마라 ㅉㅉ
-
왜…..방학때 10시간도 안한 영어만 커하찍은건데…
-
귀여운만화 2
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=