도함수가 연속이라고 해서
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원래 함수가 미분 가능인 건 아닙니다.
그렇게 생각하시면 큰일 납니다.
해당 내용은 수2 의 내용에 입각해 설명한다는 걸 이해해 주세
동생이 갑자기 이런 질문을 하더군요....
"도함수가 실수 전체 집합에서 연속이면 원함수가 실수 전체 집합에서 미분가능한 거 아니냐?"
듣고는 맞는 말인 것 같길래 대충 그렇다고 답을 해주고 언매 수특 풀다가
갑자기 '아 아니구나'라는 걸 떠올리고는 붙잡고 예시를 들어가며 설명해주었습니다.
저도 아무 생각 없이 들었다가 맞겠구나라고 생각했다는 점에서
글로 써서 공유하면 좋겠다는 생각이 들어 적어봅니다
"도함수가 실수 전체 집합에서 연속인 경우에 원함수가 실수 전체 집합에서 미분 가능이다"
라는 명제가 참이기 위해서는
다른 조건이 추가로 필요합니다.
"원함수가 실수 전체에서 연속이다."라는 조건이 추가로 필요합니다.....
해당 개념을 사용한 문제는 아니지만 제가 만든 것 중에 예시로 사용하기 적절한 문제 하나를 가져 와 봤습니다.
해당 문제가 원하는 g(x)는 불연속 함수입니다.
(해당 내용과 무관한 관계로 개형이 왜 그런지는 생략을 하겠습니다. 일대일대응과 불연속 극값에 대한 개념을 이해하신다면 쉽게 개형을 찾으실 수 있을 거라 생각합니다.)
그렇지만 문제에서도 제시된 것처럼, 함수 g'(x)는 미분하게 되면 결국 f'(x)와 동일하다는 것을 발견할 수 있습니다. 이건 어디까지나 수2 범위에 입각한 확통통이가 제시가능한 예시입니다.
(이건 무시하셔도 좋습니다. 미적분 선택자분들은 이런 게 있다는 건 아셔도 좋을 거 같네요....
수2 범위에서 이런 걸 개념적으로 물어볼 확률은 0이라는 생각이 듭니당....)
제가 이야기한 것과 직접적인 연관은 없지만 그래도 추가로 재밌는 점을 얘기해 보자면, 미분 가능한 함수라고 해서 그 함수의 도함수가 실수 전체 집합에서 연속인 것은 아닙니다.
대학 수학에서 배우는 '다르부 정리'라고 하는 게 있던데, 미분 가능한 함수의 도함수가 실수 전체 집합에서 연속이 아닐지라도, 평균값 정리를 만족시킬 수 있다는 건데요....저도 증명을 정확하게는 못 하겠지만, 찾아보니 y=x^2sin(1/x)라는 함수가 대표적인 예시라고 하더라구요
그래프의 사진을 첨부하자면 다음과 같습니다
해당 함수의 도함수는 x=0일 때 정의가 되지 않으나, [0,1]인 구간에서 평균값 정리를 만족한다고 합니다....지오지브라로 도함수를 그려서 직접 눈으로 확인하려 했으나, 함수가 야랄 맞은 관계로 확인은 못하고 수식 증명만 확인했습니다....
넵 이상으로 짧은 글이었지만 수2 내용에서 '도함수가 연속이라고 해서 해당 함수가 실수 전체 집합에서 미분 가능하지 않을 수 있다'가 오늘 칼럼의 내용이었습니다. 마지막은 추가로 함수가 미분 가능하면 도함수 역시 실수 전체 집합에서 연속일 것이다'도 항상 그런 것은 아닐 수 있다라는 것을 확인시켜 드리면 혼란은 없겠다 싶어 첨언했습니다....
(미적 선택자인 동생의 수학 공부를 도와주다가 순수한 궁금증으로 인터넷을 뒤적거린 확통통이라....저도 정확히는 아는 바가 거의 없습니다.)
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도함수 연속이 원함수 미분가능을 포함하는 거 아닌가요원함수가 연속이고, 도함수가 연속이어야 원함수가 미분 가능이다라는 걸 설명한 거에용....미분가능이라면 도함수가 연속이겠죠, 근데 그 역은 항상 성립하는 게 아니라는 걸 설명드리려고 한 거에요
조심스럽게 말씀드리는 건데 반대로 말씀하신 것 같아요 y=x^2sin(1/x)부터가 미분가능하지만 도함수가 연속이 아닌 경우라...
그래서 적어 놨자나용 '제가 이야기한 것과 직접적인 연관은 없으나'라고, 저 초월함수는 도함수가 불연속인데 원함수가 실수 전체 집합에서 미분가능한 거에 대한 사례이다. 라고 적어놨네용
g(x) 미분하면 부등식에서 등호가 빠지므로 알파 베타는 따로 미분계수로 봐야되는데 그러면 g'(x)는 연속이 아닌데...
네 저도 보고 이 생각이 들었네요
k가 0이 아니라면 g(x)가 실수 전체에서 미분 가능한 함수가 아니기 때문에 구간별로는 도함수가 정의되지만, 연결 지점에서는 미분계수가 존재하지 않기 때문에 구멍이 뚫리게 될 것 같아요
아 그렇군요....
네 제가 아는 바로는 ”도함수가 실수 전체에서 연속이다“가 “원함수가 실수 전체에서 미분가능하다”보다 타이트한 조건으로 알고 있어요
2222 애초에 고등 교과과정에서는 도함수가 연속이면 미분가능하다고 배우는데
근데 저런 반례도 있길래....저도 고등학교 내에서 사고하는 거라 저렇게 되는군요
끊어지는 부분에서 도함수 정의가 안되잖아용 반례로서 성립이 안 됩니다
아뇨 아래 부분의 초월함수ㅇ 말한 거에요
도함수 연속 -> 원함수 미가
는 참이니까
원함수 미가 -> 도함수 연속?
에 대한 칼럼은 어떤가용
이게 좋겠네요 제가 다룰 수 있는 범위 내인듯요
네 후자의 경우에는 반례도 있고,
도함수의 연속으로 풀어도 되는 경우, 안 되는 경우 정리해서 칼럼 쓰시면 좋을 듯..
근데 이건 어지간하면 다 아는 거 아닌감 싶어서 굳이 정리할 필요가 있나 싶기도 하고....칼럼 쓸 실력도 안 되서....전 그냥 논의해보면 좋을 것들에 대해서 제시하는 거라....
도함수 연속이면 원함수 미분가능임
도함수가 연속이면 구간에서 원함수의 미분계수가 모든 지점에서 정의되고 연속이 담보되는 걸로 알고 있었는데 틀린거였나요?
아뇨 제가 쌉소리한 거었어요....제가 가져온 예시는 g('x)의 극한값들이 0으로 수렴하는 x값들에 대해서 g(x)의 함숫값이 정의가 안되서 연속이 아니에요. 반례에 해당하지 않아서, 결론적으로 제가 쓴 글은 틀린 소리입니다.
미분가능->도함수 연속이 아닌거지
도함수 연속->미분가능은 항상 맞아요
넵 자꾸 당연한 걸 의심하다 보니 이상한(?) 생각을 했네요