Klein-Maskit combination theorems
게시글 주소: https://orbi.kr/00068655489
Klein combination theorem. Suppose $G_1,G_2$ are two Kleinian groups with fundamental domains $D_1,D_2\subset\hat{\Bbb C}$ such that $\mathrm{int} D_1\supset\hat{\Bbb C} - D_2$ and $\mathrm{int} D_2\supset\hat{\Bbb C} - D_1$. In particular, $D_1$ and $D_2$ overlaps and the limit sets of $G_1$ and $G_2$ are disjoint. Then the subgroup $G = \langle G_1,G_2\rangle$ generated by $G_1$ and $G_2$ is a Kleinian group that is isomorphic to the free product $G_1\ast G_2$. The domain $D = D_1\cap D_2$ is a fundamental domain for the action of $G$ on $\hat{\Bbb C}$.
Maskit combination theorem은 특정 정리를 말하는 것이 아니라, 어떤 성질을 만족하는 두개의 Kleinian group으로 generated 되는 group이 어떻게 생겼는지 알 수 있는 상황을 말한다. 이 경우에는 우리는 두개의 Kleinian group을 combine했다고 표현한다. 이렇기에 Maskit combination theorem은 어마어마하게 많은데, 그 중에서 제일 중요하기도 하고 내가 이해한/와닿는 combination theorem 2가지만 소개한다. 만약 내 이해가 깊어진다면, 혹은 필요성을 느끼게 된다면 그때 추가하기로 한다.
꽤나 쉬운 Klein combination과는 다르게, Maskit combination은 약간 복잡하다. 왜 이런 형태의 combination theorem이 나왔는지는 motivating example을 보면서 이해하는 것이 가장 좋다: smooth manifold $M$이 hypersurface $S$를 기준으로 $A$와 $B$라는 component로 separate 됐다고 치자. 그러면, van Kampen에 의해서, $\pi_(M)$은 $\pi_1(A)\ast_{\pi_1(S)}\pi_1(B)$와 isomorphic하다. 이러한 $A,B,S$가 $M$의 universal cover에서 (우리의 경우에는 결국 $\Bbb H^3$가 될 것이다) 어떻게 $\pi_1(A),\pi_2(B),\pi_1(S)$와 interaction을 하는지 살펴보자.
먼저 $\tilde{A},\tilde{B},\tilde{S}$를 $A,B,S$ 각각의 universal cover라고 하자. 그러면 우리는 $\tilde{A},\tilde{B}$들의 copy들에 의해서 $\tilde{M}$이 tessellate이 된다는 것을 알 수 있고, 또한 $S$가 자체가 separating 이었기 때문에, $\tilde{S}$의 copy들로 인해서 $\tilde{A}$와 $\tilde{B}$가 $\tilde{M}$에서 separate된다는 것을 알 수 있다. 이제 $Z$라는 $\tilde{S}$의 copy하나로 separate되는 $X,Y$라는 $\tilde{A},\tilde{B}$의 representative하나를 잡자. 그러면 $X,Y$ 각각을 stabilize하는 component subgroup $G_A,G_B$를 잡을 수 있고, 당연히 각각 $\pi_1(A),\pi_1(B)$와 isomorphic하다. 또한, surface $Z$는 precisely invariant under $J = \pi_1(S)$ in both $G_A$ and $G_B$ 다. 다시 말해서, 각각의 $\gamma\in J$에 대해서, $\gamma(Z) = Z$이고, $\eta\in G_A - J$ 혹은 $\eta\in G_B - J$에 대해서, $\eta(Z) \cap Z = \emptyset$ 이다. 이제 $X^+$ (resp. $Y^+$)를 $\tilde{M} - Z$의 component들 중에 $X$ (resp. $Y$)를 포함하는 component라고 하자. 그러면, domain $X^+$는 precisely invariant under $J$ in $G_B$이고 $Y^+$는 precisely invariant under $J$ in $G_A$가 된다. 다시 말해서, $X^+$와 $Y^+$는 정확히 $J$의 action에서만 접점이 있고, 그 외에서는 전혀 접점이 없다.
The first Maskit combination theorem은 정확히 저 위의 과정을 뒤집은 것이다. 일단 group $G_A,G_B$ acting on a space $W$를 가져온 뒤에, $G_A\cap G_B >J$라는 subgroup을 포함되는 상황을 설정한다. 그러면, $W$를 $X^+$과 $Y^+$같은 domain들로 $Z$를 따라서 decompose를 하게 되고, $J$는 $Z$를 stabilize하는 상황. 그리고 $X^+,Y^+$ 또한 precisely invariant property를 갖고 있어야 한다. 그렇게 되면, $G_A$와 $G_B$로 generate되는 group은 정확히 $G_A\ast_J G_B$이고, fundamental domain은 "기대한 바" 를 얻게 된다.
The second Maskit combination theorem은 $S$가 nonseparating인 경우를 다룬다. 다시 말해서, 하나의 component에서 합치는 장면을 말하고 있다. 이 경우에는 HNN-extension이 나오는데, mapping torus와 같은 상황을 생각하면 편하다 (물론 mapping torus는 combination theorem으로 만들어지는 것은 아니다. 그냥 상황이 비슷하다는 것이다).
The first Maskit combination theorem. Let $G_1$ and $G_2$ be a pair of Kleinian groups such that $H<G_1\cap G_2$. Suppose that $H$ is quasi-Fuchsian group such that $\hat{\Bbb C} - \Lambda(H) = \Omega_1\cup\Omega_2$. Assume that the domain $\Omega_j$ is precisely invariant under $H$ in $G_j$ for $j = 1,2$.
- Then the group $G$ generated by $G_1$ and $G_2$ is a Kleinian group and isomorphic to $G_1\ast_H\ast G_2$.
- If $G_1$ and $G_2$ are geometrically finite then so is $G$.
- The surface $S(G) = \Omega(G)/G$ is naturally conformally equivalent to $(S(G_1) - \Omega_1/H)\cup (S(G_2) - \Omega_2/H)$.
- Under the isomorphism $G\to G_1\ast_H\ast G_2$, the image of any parabolic element of $G$ is either conjugate to one of the groups $G_1,G_2$ or commutes with a parabolic element of a conjugate of $H$.
Rmk. 가정 중에서 가장 중요한 것은, $\hat{\Bbb C} - \Lambda(H) = \Omega_1\cup\Omega_2$라는 가정으로, 우리가 $H$를 따라서 붙이려는 conformal boundary의 구조와 각도등이 정확히 $G_1$과 $G_2$에 해당되는 conformal boundary와 일치해야 한다는 의미다.
The first Maskit combination theorem (version 2). Let $\Gamma_1$ and $\Gamma_2$ be two Kleinian groups, and $C$ a topological plane in $\Bbb H^3$ whose complement consists of two components $B_1$ and $B_2$. If $B_i$ is $(J,\Gamma_i)$-invariant for $i = 1,2$ where $J = \Gamma_1\cap\Gamma_2$, meaning $g(B_i)\cap B_i = \emptyset$ for any $g\in\Gamma_i - \mathrm{stab}_{\Gamma_i}(B_i)$ and $J = \mathrm{stab}_{\Gamma_i}(B_i)$, then we have the following consequences for $\Gamma = \langle\Gamma_1,\Gamma_2\rangle$:
(1) $\Gamma$ is Kleinian. In the case $J = \{1\}$, it is represented as a free product $\Gamma = \Gamma_1\ast\Gamma_2$;
(2) Letting $p_i:\Bbb H^3\to\Bbb H^3/\Gamma_i$ for $i=1,2$ be the covering projection, we obtain a hyperbolic orbifold $N$ by asting
$$p_1(\Bbb H^3) - p_1(B_1)\text{ and }p_2(\Bbb H^3) - p_2(B_2)$$
along $p_1(C) = p_2(C) = C/J$. If $N$ is complete, $N = \Bbb H^3/\Gamma$.
The second Maskit combination theorem. Let $G_0$ be a Kleinian group such that $H_1,H_2\subset G_0$, where $H_j$ are quasi-Fuchsian that stabilize different connected components $\Omega_1,\Omega_2$ of $\Omega(G_0)$. Let $\gamma\in\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ be an element such that $\gamma(\Omega_1) = \hat{\Bbb C} - \mathrm{cl}(\Omega_2)$ and $\gamma H_1\gamma^{-1}= H_2$ induces an isomorphism $\phi$ of $H_1$ and $H_2$.
- Then the group $G$ generated by $G_0$ and $\gamma$ is isomorphic to the HNN-extension $G_0\ast_{\phi}$ of $G_0$ via $\phi$.
- If $G_0$ is geometrically finite then so is $G$.
- The surface $S(G) = \Omega(G)/G$ is naturally conformally equivalent to $S(G_0) - (\Omega_1/H_1\cup\Omega_2/H_2)$.
- Under the isomorphism $G\to G_0\ast_{\phi}$, the image of any parabolic element in $G$ is either conjugate to the group $G_0$ or it commutes with a parabolic element of a conjugate of $H_1$.
Rmk. Second combination에서 가장 중요한 가정은 $\gamma(\Omega_1) = \hat{\Bbb C} - \mathrm{cl}(\Omega_2)$ 라는 것이다. 다시 말해서, 우리가 $\gamma$를 통해서 붙이려는 conformal boundary들은 conformal structure가 같고 ($\gamma H_1\gamma^{-1} = H_2$) 그리고 붙일 때 그 "각도" 혹은 "모양" 이 같아야 한다는 것이다. 이러한 비유는 예전에 어떤 대가께서 (정확히 이 분야를 하지는 않는다) combination theorem을 말할 때 썼던 비유로, 당시에는 제대로 느껴지진 않았지만, 지금 생각해보면 이것보다 정확한 비유는 없다고 생각한다.
The second Maskit combination theorem (version 2). Let $\Gamma_0$ be a Kleinian group, $f$ an element of $\mathrm{Isom}^+(\Bbb H^3)$, and $C$ a topological plane in $\Bbb H^3$ whose complement consists of $B$ and the other complement. If $B' = \Bbb H^3 - \overline{f(B)}$ is disjoint from $\gamma(B)$ for every $\gamma\in\Gamma_0$, if $B$ is $(J,\Gamma_0)$-invariant and if $B'$ is $(fJf^{-1},\Gamma_0)$-invariant where $J = \Gamma_0\cap f^{-1}\Gamma_0 f$, then we have the following consequences for $\Gamma = \langle\Gamma_0,f\rangle$:
(1) $\Gamma$ is Kleinian. In the case $J = \{1\}$, it is represented as a free product $\Gamma = \Gamma_0\ast\langle f\rangle$.
(2) Letting $p:\Bbb H^3\to\Bbb H^3/\Gamma_0$ be the covering projection, we obtain a hyperbolic orbifold $N$ by pasting the boundaries
$$p(C) = C/J\text{ and }p(f(C)) = f(C)/fJf^{-1}$$
of $p(\Bbb H^3) - (p(B)\cup p(B'))$. If $N$ is complete, $N = \Bbb H^3/\Gamma$.
Theorem. If a hyperbolic 3-manifold $M_\Gamma$ contains a properly embedded incompressible surface $S$, either of the following assertion is satisfied:
(1) If $S$ divides $M_\Gamma$ into $M_1$ and $M_2$, then $\Gamma$ contains subgroup $\Gamma_0\simeq\pi_1(M_1)$ and $\Gamma_2\simeq\pi_1(M_2)$ from which we can reconstruct $\Gamma$ by the first Maskit combination theorem; or
(2) If $M_0 = M_\Gamma - S$ is connected, then $\Gamma$ contains a subgroup $\Gamma_0\simeq\pi_1(M_0)$ and an element $f\in\mathrm{Isom}^+(\Bbb H^3)$ from which we can reconstruct $\Gamma$ by an application of the second Maskit combination theorem.
$(\because)$ Note that since $S$ is incompressible, any component $C$ of $\pi^{-1}(S)$ under the universal covering map $\pi:\Bbb H^3\to\Bbb H^3/\Gamma$ is simply connected. Since $S$ is not a sphere (recall Kleinian manifold is irreducible), $C$ is a topological plane in $\Bbb H^3\cup\Omega(\Gamma)$. Then $\pi^{-1}(S)$ divides $\Bbb H^3\cup\Omega(\Gamma)$ into a countable number of connected components, and we denote the two of them meeting along $C$ by $T_1$ and $T_2$. In the case when there is an element $f\in\Gamma$ such that $f(T_1) = T_2$, we apply the second Maskit combination theorem, and otherwise the first Maskit combination theorem. We set $\Gamma_1 = \mathrm{stab}_\Gamma(T_1)$ and $\Gamma_2 = \mathrm{stab}_\Gamma(T_2)$ for the first Maskit and $\Gamma_0 = \mathrm{stab}_\Gamma(T_1)$ for the second Maskit. Now it's easy to see they satisfy the assumptions of the combination theorem. $\square$
Theorem. If the domain of discontinuity $\Omega(\Gamma)$ of a torsion-free Kleinian group $\Gamma$ has a component $\Delta$ which is not simply connected, then $\Gamma$ has a nontrivial free product decomposition $(I)$ $\Gamma = \Gamma_1\ast\Gamma_2$ or $(II)$ $\Gamma = \Gamma_0\ast\langle f\rangle$, and $\Omega(\Gamma)/\Gamma$ is constructed as follows in each case respectively:
$(I)$ From each of $\Omega(\Gamma_1)/\Gamma_1$ and $\Omega(\Gamma_2)/\Gamma_2$, remove a disk and paste the resulting ones along the new boundaries, which is $\Omega(\Gamma)/\Gamma$;
$(II)$ From $\Omega(\Gamma_0)/\Gamma_0$, remove two disjoint disks and sew the resulting one on itself along the new boundaries, which is $\Omega(\Gamma)/\Gamma$.
$(\because)$ The surface $S = \Delta/\mathrm{stab}_\Gamma(\Delta)$ is compressible as $\Delta$ is not simply connected, and $\pi_1(S)\neq\{1\}$. Then by the loop theorem, there is a compression disk $D$ in $M_\Gamma$ whose boundary is a nontrivial simple closed curve $\alpha$ in $S$. By the above theorem, $\Gamma$ is $\Gamma_1\ast\Gamma_2$ or $\Gamma_0\ast\langle f\rangle$, which are constructed via the combination theorems. Further, these free products are non-trivial because $\alpha$ is nontrivial in $S$. Let $C$ be a topological plane in $\Bbb H^3\cup\Omega(\Gamma)$ that is connected component of $\pi^{-1}(D)$ where $\pi$ is the universal cover of $M_\Gamma$. the boundary $\partial C$ is simple closed curve in $\Omega(\Gamma)$ that is a lift of $\alpha$. Then the construction of the resulting hyperbolic manifolds in the Maskit combination theorem reflects that of $\Omega(\Gamma)/\Gamma$ as in the statement above. $\square$
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
불호? 호?
-
노란 원 안에 옹기종기 쏘네 ㄹㅇ
-
재밌어요
-
오즈모 2회차 44점 2등급…! 맨날 아는거 틀리고 이상하게 틀리고.. 이것땜에...
-
마땅히 갈곳이 없음.... 관리 ㅈ도 안하는거 개빡치네....
-
진짜 몰라서 그러는데 걍 다 강제휴학이에요?
-
아 기본만 쓰려니까 다른 사람들 볼때마다 배알꼴려서 못참겠는데 추천 좀 해주세여..
-
소신발언) 3
영어 1 못받으면 노력부족임
-
작년 4규 시즌1 각권당 8000원인데 살만한가요
-
수학 70점대 과탐 30점대를 못벗어나네 ㅋㅋㅋ
-
올해 6모는 찍맞포함 백분위 95 떴는데(에이어는 실력으로 1개 틀렸어요) 항상...
-
아님말고
-
국어 :2025 수특 끝냈고 (문학) 마더텅 3분의 2클리어 고전어휘 102제...
-
외롭다
-
진짜 미치도록 집중 안되고 눈감고 몇십초, 몇분 쉬고 다시 집중 해 보려고 해도...
-
저도 몰라요 본인이 하던대로 쭉 하세요 이거할까요 저거할까요 고민할 시간에 하세요...
-
어케했던거지 강x도 한번 100 꼽았었는데 이번에 진짜 5회 역대급으로 터쳐서 80띄움..
-
실베도 변했나 6
물론 여전히 스펙타클하기는한데 도배하는 일뽕 사라졌네 말 진짜 천박하게하는 헬쥐...
-
공부 ㅇㅈ 3
-
미리 해놓는데 매국노도 아닌데 한국사 엄청 어렵네요
-
시선방향이 이루는 각도라는게 저런거야? 예를들어 아래 그림이 윗 그림보다 시선방향이...
-
그림이 보이질 않네요
-
과외하면서 느낀게 지금 한국지리 표본이 과외하는 4년 내가 경험한 2018~...
-
5회에서 불지옥이라고하더니 그말 진짜 맞네요ㅠㅠㅠ 84점맞았는데 30번은...
-
불합리한데 합리적이라고 보는 사람들 이해 안 됨 입학처도 노 이해고 비교내신은 왜...
-
모르는 ,이해가 안되는 문제를 풀이법을 유형화 시켜서 외우시나요 다들?
-
제대로 들은적 없어서 이제 들으려는데 컴팩트한거 위주로 ㅊㅊ부탁드려요
-
자퇴생이면 논술 100% 대학으로 6논 보는 게 정배일까요..?? 한양대랑 홍대...
-
공통 n제 0
6모 백분위92 공통 15번 찍맞 12번,14번 틀렸어요 현재 4규하고 있고 한...
-
수능특강 추억의 표지 15
반박 안받음
-
고2 뉴런 0
겨울방학에 수1 수2해도 안늦나요?
-
강e분 독서 2
제작지문 엄청 빡빡하네요..
-
노베인데 마닳 0
뭐 사는게 나을까요? 노베면 좀 쉬운 옛날기출부터 분석하면서 독해력올리는게 낫다고...
-
인간이라면 콧물소리 적당히 좀 내고 기침할때 입 막는 건 하고 볼펜 딸깍딸각 소리...
-
이제 익숙하거든
-
1. 대상: 고3, N수생 2. 기간: 2024.8.1.~2024.8.31....
-
국어4 수학3이라 이거 올리는데 시간쓰는게 맞겠죠?..
-
에이즈(AIDS) 역대 7번째 완치...줄기세포 이식 치료 늘어날 전망 2
독일에서 후천성 면역결핍증(AIDS·에이즈) 환자가 줄기세포 이식을 통해 완치됐다는...
-
틀린 선택을 한걸까요 12
언미정법사문으로 반수 중입니다 현역때 화생이었는데 화학은 능지 이슈로 3받고 버리고...
-
재수생 좌절편 0
매초,매분,매시간마다 한 없이 무너졌다가 일어나길 반복하고 좌절의 고통에 무뎌지며...
-
교육청이지만좋네여
-
계속 자료가 안 올라가네요..? 이따 다시 시도해보겠습니다..!
-
피뎁 충격 1
러셀인데 바자관에 드릴 흑백 a4 버전 놓여있는거 봄
-
문학에 시간 너무서써서 몇분이 이상적인지좀
-
아무리 봐도 이거 정신나간 과목같은데..
-
헤으으읏 14
침대 너무 좋아 온 몸이 이불로 둘러쌓여버렷...♡
-
아오 피뎁쌤
-
알콜중독자된듯 0
세상이나를억까해
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.