미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
글고 수학 기출문제집 자이가 낫나요 마더텅이 낫나여
-
학생버 복붙 ㅋㅋ 넌 나가라
-
인강도 들었고 매일 꾸준히 국어 공부 2-3시간씩 12월부터 계속 했는데 작년 3모...
-
"내 여자친구 왜 건드려"…교사가 중학생 2명 야산 끌고 가 2
중학교 남자 교사가 다른 중학교 교사인 자신의 여자친구를 성희롱했다는 이유로 중학생...
-
정시파님들아 2
순공시간 평일에 몇나옴
-
오랜만에 돌아옴 1
시대... 힘들다....
-
이번에 메디컬 목표로 수능 마지막으로 한번만 더 볼 생각인 00입니다. 자꾸...
-
윤동섭 총장님은 최종학력이라 할수있는 박사 졸을 고대에서 하심 코로나 이후로...
-
너무 비싼 것 같음 뭐 들어야 하는지도 모르겠고 그래서 수능특강 영어 푸는중..
-
100억 명이 넘어갈 확률이 높다던데...
-
ㅓㅡ비 0
이 친구 똑똑하네
-
몇점 정도 나와야 한다고 보시나요
-
엉엉 0
꿈에서 울었어
-
-
흐흐 오라 동지여
-
안녕하세요 2년만에 다시 책핀 사람입니다 .. 현재 군인이어서 하루 2시간정두 공부...
-
엄
-
얼버기 6
-
뭔 주식이 한 주에 10억이냐 버핏 진짜 개부자네 B주식 사러감
-
걍 우리나라 돌아가는 꼬라지 보면 계엄 너무 필요함 3
걍 진짜 우리나라는 벌레들 청소가 너무 필요한거 같음 그리고 결과적으로도 수능...
-
5모때부터 기하로 선택해서 쳐야지
-
국수 1, 100 가자
-
전영역 선택과목 지정 없고 비고에서 수학 또는 과탐 1개 이상 포함이니까 수학을...
-
어제 뭔 일 있었나
-
입결이 많이다르려나?
-
+ 상대방이 3달 뒤쯤 입대함..
-
-
인터넷 왜안되지 0
데스크탑 랜선 꼽았고 랜선등에 불빛나오는데 왜 인터넷이 안되지
-
둔산동 학원중에 0
비재원생한테 이감 간쓸개 파는 학원 있을까요? 초성만 알려주셔도 돼요
-
시간이 참 빠르군요;;
-
암만 나보다 잘났어도 정이 안가고 첨부터 이유없이 정가는사람은 뭔 개짓거리를 해도 정이 감 뭘까대체
-
본인 438개 올해 600개 찍을거같다 개씨발..
-
안과 걍 아무데느 가면되나요 아님 서울에 유명한곳 찾아가서 피팅하는게 좋음? 맞춤형 렌즈라길래요
-
100일중 하루는 1시간늦게 갈수도 있잖아요 어제 너무 힘들었음
-
물리 고수만 0
혹시 질문있는데 답해주실분 계신가요?
-
!!!!!!!
-
우선 고객센터에 교재도 샀는데 듣게해주시면 안될까요ㅠㅠㅠㅠ하면서 찡찡대는 글 쓰긴 했는데 제발
-
-
-
그냥 비기너스 강의를 죄다 내리면ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 대성 고객센터에 문의해볼까..
-
얼버기 4
침대에서 안 벗어나는 중
-
23, 24학년도 수능은 응시 안 함 수능 1등급만을 서술 25학년도 수능 백분위...
-
안녕하세요 '지구과학 최단기간 고정 1등급만들기' 저자 발로탱이입니다. 지난 1년간...
-
그냥 안하려고 했는데 작수 미적이 ㅈ같기도 했고 원래부터 도형을 상당히 좋아했던...
-
뭐지 이 찝찝한
-
아 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 상대평가라고요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
도도가 23 화1 5분 물1 10분 남겼고 고정 적백이었는데 이번 영상에서 물2...
-
강기본 다 들었는데 바로 강기분 들어가도될까요 아님 혼자 매3비매3문같은거 계속...
-
-
안녕하세요, 디시 수갤·빡갤 등지에서 활동하는 무명의 국어 강사입니다. 오늘은...
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=