Geometric convergence
게시글 주소: https://orbi.kr/00068642663
Here, we state the equivalent formulations of the Geometric convergence
Group theoretic formulation (Hausdorff/Chabauty topology)
1. The geometric topology on Kleinian groups we mean giving the discrete subgroup of $\mathrm{PSL}_2\Bbb C$ the Hausdorff topology as closed subsets.
- The sequence of closed subsets $\{Y_i\}$ tends to a closed subset $Z$ in Hausdorff topology of the collection of closed subsets means (1) For every $z\in Z$, there are $y_i\in Y_i$ such that $\lim_{i\to\infty} y_i = z$. (2) For every subsequence $Y_{i_j}$, and elements $y_{i_j}\in Y_{i_j}$, if $y_{i_j}\to z$ then $z\in Z$.
In other words, $\{\Gamma_i\}\to\Gamma$ geometrically if every element $\gamma\in\Gamma$ is the limit of a sequence $\{\gamma_i\in\Gamma_i\}$ and if every accumulation point of every sequence $\{\gamma_i\in\Gamma_i\}$ lies in $\Gamma$.
Rmk. It's known that the set of closed subsets is compact with Hausdorff topology. In particular, passing to a subsequence, one may always assume that a sequence of nonelementary Kleinian groups converges geometrically.
2. Equipping a hyperbolic 3-manifold $M$ with a unit orthonormal frame $\omega$ at a base point $p$ (called a base-frame), $M$ uniquely determines a corresponding Kleinian group without up to conjugacy condition by requiring that the covering projection
$$\pi:(\Bbb H^3,\tilde{\omega})\to(\Bbb H^3,\tilde{\omega})/\Gamma = (M,\omega)$$
sends the standard frame $\tilde{\omega}$ at the origin in $\Bbb H^3$ to $\omega$.
The framed hyperbolic 3-manifolds $(M_n,\omega_n) = (\Bbb H^3,\tilde{\omega})/\Gamma_n$ converge geometrically to a geometric limit $(N,\omega) = (\Bbb H^3,\tilde{\omega})/\Gamma_G$ if $\Gamma_n$ converges to $\Gamma_G$ in the geometric topology stated in 1, i.e,
-For each $\gamma\in\Gamma_G$ there are $\gamma_n\in\Gamma_n$ with $\gamma_n\to\gamma$.
-If elements $\gamma_{n_k}$ in a subsequence $\Gamma_{n_k}$ converges to $\gamma$, then $\gamma$ lies in $\Gamma_G$.
(intrinsic) Manifold formulation
3. $(M_n,\gamma_n)$ converges to $(N,\gamma)$ geometrically if for each smoothly embedded compact submanifold $K\subset N$ containing $\omega$, there are diffeomrophism (or quasi-isometries or biLipschitz) $\phi_n:K\to (M_n,\omega_n)$ so that $\phi_n(\omega) = \omega_n$ and so that $\phi_n$ converges to an isometry on $K$ in the $C^\infty$-topology.
4. A sequence of Kleinain groups $\Gamma_i$ converges geometrically to the Kleinain groups $\Gamma_G$ if there exists a sequence $\{r_i,k_i\}$ and a sequence of maps $\tilde{h}_i:B_{r_i}(0)\subset\Bbb H^3\to\Bbb H^3$ such that the following holds:
(1) $r_i\to\infty$ and $k_i\to 1$ as $i\to\infty$;
(2) the map $\tilde{h}_i$ is a $k_i$-bi-Lipschitz diffeomorphism onto its image, $\tilde{h}_i(0) = 0$, and for every compact set $A\subset\Bbb H^3$, $\tilde{h}_i|_A$ is defined for large $i$ and converges to the identity in the $C^\infty$-topology; and
(3) $\tilde{h}_i$ descends to a map $h_i:Z_i = B_{r_i}(p_G)\to M_i = \Bbb H^3/\Gamma_i$ is a topological submanifold of $M_G$; moreover, $h_i$ is also a $k_i$-bi-Lipschitz diffeomorphism onto its image. Here, $p_G = \pi_G(0)$ where $\pi_G:\Bbb H^3\to M_G$.
Gromov-Hausdroff formulation
5. The sequence of discrete groups $\{G_n\}$ converges polyhedrally to the group $H$ if $H$ is a discrete and for some point $p\in\Bbb H^3$, the sequence of Dirichlet fundamental polyhedra $\{P(G_n)\}$ centered at $p$ converge to $P(H)$ for $H$, also centered at $p$, uniformly on compact subsets of $\Bbb H^3$. More precisely, given $r>0$, set
$$B_r = \{x\in\Bbb H^3:d(p,x)<r\}.$$
Define the truncated polyhedra $P_{n,r} = P(G_n)\cap B_r$ and $P_r = P(H)\cap B_r$. A truncated polyhedron $P_r$ has the property that its faces (i.e. the intersection with $B_r$ of the faces of $P$) are arranged in pairs according to the identification being made to form a relatively compact submanifold, bounded by the projection of $P\cap\partial B_r$. We say that this polyhedral converges if: Given $r$ sufficiently large, there exists $N = N(r)>0$ such that (i) to each face pairing transformation $h$ of $P_r$, there is a corresponds a face pairing transformation $g_n$ of $P_{n,r}$ for all $n\geq N$ such that $\lim_{n\to\infty}g_n = h$, and (ii) if $g_n$ is a face pairing transformation of $P_{n,r}$ then the limit $h$ of any convergent subsequence of $\{g_n\}$ is a face, edge or vertex pairing transformation of $P_r$.
In other words, each pair of faces of $P_r$ is the limit of a pair of faces of $\{P_{n,r}\}$ and each convergence subsequence of a sequence of face pairs of $\{P_{n,r}\}$ converges to a pair of faces, edges, or vertices of $P_r$.
A seuqnece $\{G_n\}$ of Kleinian groups converges geometrically to a nonelementary Kleinian group if and only if it converges polyhedrally to a nonelementary Kleinian group.
Rmk. It's necessary that one needs to assume the limit group nonelementary. It's possible that the geometric limit of nonelementary Kleinian group is an elementary Kleinian group.
6. A sequence $X_k$ of metric spaces converges to a metric space $X$ in a sense of Gromov-Hausdorff if it converges w.r.t. the Gromov-Hausdorff distance. Here, Gromov-Hausdorff means the following:
Let $X$ and $Y$ be metric spaces. A triple $(X',Y',Z)$ consisting of a metric space $Z$ and its two subsets $X'$ and $Y'$, which are isometric respectively to $X$ and $Y$, will be called a realization of the pair $(X,Y)$. We define the Gromov-Hausdorff distance:
$$d_{GH}(X,Y) = \inf\{r\in\Bbb R:\text{ there exists a realization }(X',Y',Z)\text{ of }(X,Y)\text{ such that }d_H(X'.Y')\leq r\}$$
where $d_H$ is a Hausdorff distance.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
커피사라
-
삼수 안해보긴 했는데 생각보다 별로일듯
-
6모 영어 15
우헤헤
-
프랙탈 부활해라ㅜㅜ 중학교 때 열심히 한 것도 있고 평면도형 한정은 잘 하는 것...
-
일단 전 가슴 크고 상냥한 누나가 이상형입니다
-
이대 티앙팡 오후의 홍차 강추합니다 티 비싸다 느껴질 수 잇능데 티팟에...
-
안녕하세요. 어제 내신끝난 고3 현역입니다. 그래서 이제 수능공부를 달려보려고...
-
일단은 남겨봐요
-
아래의 두 문장 중 어느 것이 옳은 문장일까? 1. 은하는 발표 순서를 기다리며...
-
이제 수1수2 개념이랑 문제집 한권 돌린 상태고 미적분은 아직 한 번도 안한...
-
3화독 하고 어휘 구문으로 넘어가심?
-
질문 1
안 받습니다. 하지도 않습니다 크크크크
-
6평틱한가 점수가 신기할정도로 잘나와서..
-
오르비 줄임 2
-
펠리컨적 사고 18
일단 하기
-
저도 질받 메타에 13
참여해보겠습니다용
-
이게 진짜 말이 되는 소리인가 그냥 본인이 A급 성적이었다고 뇌피셜 가지고 있었는데...
-
올해 수능 안보고 내년 수능 볼 군수생입니다! 물리 역학이 너무 안뚫려서 생명런...
-
7덮 국어 1컷 0
언매 80 보정1은 어렵겠죠?
-
맥락없는 자기비하적 댓글 안썼으면 좋겠다. 하나도 안 겸손해보이고 다 ㅈ목의 일종같음
-
그 전엔 못 참겠다
-
심심해 선넘질 ㄹㅇㄱㅊ
-
앱스키마 2 0
개강언제에요?
-
최근 제가 오르비에 올렸던 자작 문제들 중 어려운 문항 세트를 선별하고, 또한...
-
저도 질받 ㄱㄴ? 17
-
수능영어가 어려운 이유는 문장을 너무 꽈서그런가요??? 5
실생활에는 쓰이지 않을법한 문장을 너무 꽈서 그런가요??? 수능영어가 어려운 이유가...
-
흑흑
-
저도 무물받아요 13
-
군수 질문 0
내년에 수능을 보려하는 예비군수생입니다. 사탐으로 공대가 가능해서 탐구과목을 어떻게...
-
오늘까지만놀까..
-
질받합니다 11
암거나 ㄱ
-
비문학vs문학
-
저도 질문해주세요
-
제목에 "칼럼)"을 넣는다 그렇다고 꼭 공부 칼럼일 필요는 없다 가르치기만 하면...
-
선넘질 다 받음 24
개인정보나 특정될만한 질문 빼고 다 받음
-
7덮 0
국어(언매) 64 수학(확통) 76 영어 80 경제 39 정법 45 작수 44342...
-
9평 목표 적고가세요 46
건구스가 행운을 빌어준다네요~ 다른 메타로 돌려보자
-
결국 남김 4
아까워..
-
이사람 진짜 미친거닽애 18
-
주예지쌤 넘옙흐네..
-
오르비가 이상해 7
아직 해도 안졌는데 이런 메타라고
-
백수 단점 0
돈만 많으면 없음
-
자꾸 대표가 환자 잡으라고 영업시킴. 원래는 지 업장이니 지가 잡아야하는데 페이보고...
-
앞으로 가성비 음식은 햄버거임
-
오랜만에 점심 먹었더니 위가 줄었나
-
질문받아요 21
없으면탈릅
-
이감 4 3
오늘 현장응시 했는데 다들 어떠셨는지..
-
우는 페페 달래주면서 무슨 생각을 했을까
-
오르비 너무 야해요 16
저 같은 순수 고닉은 감당할 수 없어요 ㅠㅠ
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.