Shearing hyperbolic surfaces and bending pleated surfaces

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Definition (transverse cocycle). Closed oriented surface $S$에 대해서, geodesic lamination $\lambda$가 있고, $G$가 abelian group이라고 하자. $G$-valued transverse cocycle for $\lambda$는 $\lambda$에 transverse한 (unoriented) arc $k$에 대해서 $G$의 원소 $\alpha(k)\in G$를 associate 하는 것인데, $\alpha$는 additive하고 holonomy invariant 하는 성질을 만족해야한다. $\mathcal{H}(\lambda; G)$를 the group of $G$-valued transverse cocycle for $\lambda$를 뜻한다. (참고로 measure가 되려면, countably additive가 되어야 한다)

Rmk. 보통 $G = \Bbb R$ (transverse signed measure) 혹은 $=\Bbb R/2\pi\Bbb Z$ (bending measure) 인 경우를 생각한다. 만약 transverse cocycle의 값이 non-negative이라면 countably additive하다는 것을 보일 수 있고, 따라서 $\lambda$의 transverse measure를 정의한다. 따라서 transverse cocycle은 기존의 measured lamination의 transverse measure를 일반화한 개념이라고 볼 수 있다. Signed measure를 생각하는 이유는, "shear map" 을 다루기 위해서인데, 주어진 closed oriented surface에 두 가지의 hyperbolic metric $m_1,m_2$가 주어졌을 때, 어떤 lamination $\lambda$를 기준으로 왼쪽으로 각각의 $S-\lambda$의 component들을 twist해서 $m_1$ 에서 $m_2$로 바꿀 수 있다는 것을 보였음. (참고로 밑의 Theorem A는 unique하게 찾을 수 있음을 말해줌.) 이 경우에는 얼만큼 twist를 했는지를 따라서 $\lambda$에 transverse measure를 줄 수 있는데, 핵심 이유 중 하나는 항상 "왼쪽"으로 twist를 하는 것을 요구하기 때문. 일반적으로 오른쪽으로 twist하는 것도 허용을 하면, transverse measure를 주지는 못하고 위에 transverse cocycle을 줌. 이렇게 왼쪽 혹은 오른쪽으로 어떤 geodesic lamination을 기준으로 twisting 혹은 shifting을 하는 것을 shear map 이라고 부름. 왼쪽으로 twist는 양수, 오른쪽은 음수로 기록을 함.

밑에 Theorem들에 shearing cocycle과 bending cocycle를 언급하는데, 이걸 formal 하게 정의하면 너무 길어질 것 같아서, shearing cocycle에 대해서만 대충 말로 설명하자면, 기본적으로 $\lambda$에 transverse한 arc에 대해서 정의한 것을, 하나의 $S-\lambda$의 component에서 다른 component로 가는 것으로 생각할 수 있으므로, 주어진 두개의 component에 대해서, 하나의 real value를 assign하면 된다. Description을 쉽게 하기 위해, 보통 universal cover로 올린 다음에 생각하고, 이 경우 (closure를 취한) complementary component들을 plaque라고 부른다. 두개의 plaque $P,Q$가 주어졌을 때, $Q$에 가장 가까운 $P$의 edge와 $P$에 가장 가까운 $Q$의 edge를 leaf들에 orthogonal한 foliation으로 연결할 수 있는데, 이 연결하는 방식이 두 edge leaf들 사이의 isometry를 주게 된다. 따라서, $P$의 edge leaf에 canonical한 basepoint를 이용해서, $\Bbb R$로 basepoint는 0이 되도록 leaf를 parametrize하고 $Q$의 edge leaf 또한 비슷한 식으로 정의하면, $\sigma(P,Q)$라는 것은, 위에서 말한 isometry로 인해서 basepoint가 어디로 mapping이 되는지 기록하는 것이다.

Shearing cocycle $\sigma_m$의 중요한 성질은, 만약 $m_2$가 $m_1$에서 $\lambda$를 기준으로 shear mapping을 해서 얻은 것이라고 한다면, 이 shear map이 왼쪽으로 shift하는 정도를 measure하는 transverse cocycle은 정확히 $\sigma_{m_2} - \sigma_{m_1}$. 따라서, shearing cocycle은, $\lambda$를 기준으로하는 earthquake map을 일반화 한 것이라고 생각할 수 있다.

Theorem A. For a fixed maximal geodesic lamination $\lambda$, the map $\mathcal{T}(S)\to\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R)$ by $m\mapsto\sigma_m$ defines a real analytic homeomorphism from $\mathcal{T}(S)$ to an open convex cone $\mathcal{C}(\lambda)$ bounded by finitely many faces in $\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R)$.

만약 $M$이 oriented hyperbolic 3-manifold이고 $f:S\to M$이 pleated surface with pleated locus $\lambda$ 라고 한다면, $f$의 local convexity에 의해서, 다시 말해서 $f$가 항상 같은 방향으로 굽어져 있기 때문에, 굽어져있는 정도가 $\lambda$에 transverse measure를 정의한다는 것을 증명할 수 있다. 따라서 각각의 pleated surface $f$에 대해서, $\Bbb R/2\pi\Bbb Z$-valued transverse cocycle $\beta_f$를 associate 할 수 있다. (자세히는 말하지 않을 것이다. 일반적으로 어떻게 정의하는지는 상당히 까다롭다.) 또한, $f$의 image에 해당되는 immersed surface에 inherit 되는 complete hyperbolic metric을 $f$로 pullback을 해서 $S$에 $m_f$라는 hyperbolic metric을 얻을 수 있다. 다시 말해서, 각각의 pleated surface $f$에 대해서, 두가지 정보 $(m_f,\beta_f)$를 뽑아낼 수 있다. 다음의 정리는 이 두가지 정보가 pleated surface를 완전히 결정한다고 말하고 있다.

Pleated surface는 소위 "abstract" pleated surface로 생각하는 것이 편할 때도 있는데, 이것이 무엇이냐면, $f$를 $(\tilde{f},\rho)$로 기록을 하는 것이다. 여기서 $\tilde{f}:\tilde{S}\to\Bbb H^3$는 $S$의 universal covering $\tilde{S}$에서 $\Bbb H^3$로 가는, pleated locus가 $\tilde{\lambda}$인 pleated map으로 보는 것이다. 그리고 $\rho$는 $\tilde{S}$가 $S$에 어떻게 "접히는지" 기록하는 map으로, $\rho:\pi_1(S)\to\mathrm{PSL}_2\Bbb C$이다. 물론 $\tilde{f}$와 equivariant 하다는 것을 요구한다.

Theorem C. For every geodesic lamination $\lambda$ of $S$, the map $f\mapsto (m_f,\beta_f)$ induces a homeomorphism from the space of all pleated surfaces with pleating locus $\lambda$ to the space $\mathcal{T}(S)\times\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$. In addition, the space $\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$ is homeomorphic to the union of 0 or 1 tori, whose number and dimension can be explicitly computed from $\lambda$.

따라서, 만약 $\lambda$가 maximal이라면, 그 외의 부분에서 bending이 일어날 수 없기 때문에 $\lambda$를 pleated locus로 갖는 pleated surface는 $\rho$ 하나로 결정이 된다. 따라서, 이러한 space of pleated surface들은 $\mathcal{R}(\lambda)\subset\mathrm{Hom}(\pi_1(S),\mathrm{PSL}_2\Bbb C)/\mathrm{PSL}_2\Bbb C$으로 open subset으로서 identify할 수 있다. Theorem A와 C에 의해서, $\rho\in\mathrm{R}(\lambda)$는 bending cocycle $\beta_f\in\mathrm{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$ 와 shearing cocycle $\sigma_{m_f}\in\mathrm{H}(\lambda;\Bbb R)$ 으로 characterize할 수 있다. 이 두 가지를 하나로 합칠수 있는데, 이것을 "shear-bend cocycle" 이라고 부른다: $\Gamma_\rho = \sigma_m+i\beta_f\in \mathrm{H}(\lambda;\Bbb C/2\pi\Bbb Z)$

Theorem D. The map $\rho\to\Gamma_{\rho}$ induces a biholomorphic homeomorphism from $\mathcal{R}(\lambda)$ to the open subset $\mathcal{C}(\lambda)\oplus i\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R/2\pi\Bbb Z)$ of $\mathcal{H}(\lambda;\Bbb C/2\pi i\Bbb Z)$, where $\mathcal{C}(\lambda)\subset\mathcal{H}(\lambda;\Bbb R)$ is the open cone of Theorem A.

Theorem D가 말하는 것은, 어떤 maximal geodesic lamination을 기준으로, earthquake과 bending은 서로 어떤 holomorphic map의 real, imaginary 파트를 담당한다고 생각할 수 있다.