A Norm on homology of 3-manifold

Definition of Thurston norm

Properties of Thurston norm ball

Example of Thurston norm ball

Teichmuller polynomial

Thurston norm and foliation

Gabai's theorem

Classic and new transverse surface theorem

Euler class

Euler one class conjecture and Fully marked surface theorem

Mosher's study on Thurston norm ball

Operations on surfaces

(oriented) 3-manifold의 2nd homology class는 항상 (oriented) embedded surface로 represent할 수 있다. ($S^1$가 $K(\Bbb Z,1)$ space인 것을 이용해서, $H_2(M;\Bbb Z) = H^1(M;\Bbb Z)$와 $[M,S^1]$ 사이의 bijective correspondence가 있다는 것을 이용하면 된다) 이러한 homology class의 덧셈과 상수배를 기존의 representative를 이용해서 나타나기 위해서는, surgery라고 불리는 기본적인 operation이 필요하다. Surgery 기법은 위상수학에서, 특히나 고차원 위상수학에서 자주 나오는 기법이다. 여기서 소개될 여러 surgery 기법들은 추후에 thurston norm이 integral lattice에서 pseudo-norm인 것을 보일 때 쓰일 것이다.

$S$와 $T$가 3-manifold에 들어있는 embedded surface라고 했을 때, $S$과 $T$가 각각 represent하는 homology class $[S],[T]$가 있을 것이다. 우리는 $S\asymp T$라는 새로운 surface를 만들어서, $[S\asymp T] = [S]+[T]$가 되도록 할 것이다. 따라서 $\chi(S\asymp T) = \chi(S)+\chi(T)$가 되는 embedded surface를 만든다.

위에 그림처럼, $S\asymp T$는 $S\cap T$를 따라서 $S$와 $T$를 자른 다음에 orientation을 그대로 유지되게끔 하는 방식으로 (유일하게 결정된다) 다시 붙이는 operation이다. 이러한 operation은 1-manifold $\gamma,\eta$에서도 비슷하게 행해질 수 있고, 똑같은 기호 $\gamma\asymp\eta$를 사용해서 만들어진 1-manifold를 나타낸다. 한가지 쉽게 볼 수 있는 것은, 만약 $M$이 boundary를 갖고 있다면, $\partial (S\asymp T) = \partial S\asymp\partial T$를 알 수 있다.

$S\cap T$에 simple closed curve $C$가 있는데, 둘 중 하나의 surface $T$에 inessential 하게 들어있을 수 있다. 이러한 경우에는 intersecting하는 경우는 정보를 거의 갖지 않고 surface의 복잡도만 늘기 때문에 주로 없애준다. 이러한 없애주는 operation을 2-surgery라고 한다.

위에 그림과 같은 상황을 보자. $T$에 $D$라는 $C$가 bounding하는 disk가 있다고 하자. 물론, $D$ 안에 $S\cap T$의 다른 component들이 존재할 수 있지만, 가장 안쪽에 있는 것을 골라서 위의 그림과 같은 상황을 연출할 수 있다. 이제 $T$의 $D$에서의 tubular neighborhood를 잡아서 $S$에서 뺀 다음 "capping"을 해서 위의 그림과 같이 $S'$이라는 새로운 surface를 만들 수 있다. 다시 말해서, $D$를 $S$의 compressing disk로 보고 compression을 진행하는 것이다. 이렇게 만든 새로운 surface $S'$를 $S$으로부터 2-surgery를 통해서 얻었다라고 한다. 중간에 $T$의 tubular neighborhood의 일부 $D\times I$가 $S$와 $S'$ 사이의 3-cell로서의 homology를 주기 때문에 $[S'] = [S]$가 된다. 또한, $\chi(S') = \chi(S) + 2$ 임을 알 수 있다. 다시 말해서, 2-surgery는 homology class의 representative의 complexity를 줄이는 operation에 해당된다.

비슷한 식으로, $S\cap T$의 inessential curve $C$가 boundary에서 나타나는 경우에도 똑같은 2-surgery를 행할 수 있다. 이 경우에도 만들어진 surface $S'$는 기존 $S$와 같은 homology class를 represent 하지만, complexity는 하나 줄은 surface가 된다. $\chi(S') = \chi(S) + 1$.

앞에서도 말했지만, (topological) 3-manifold theory에서 자주 등장하는 embedded surface에서의 operation 중 하나가 "compressing" 이다. 기본적으로 embedded surface $S$가 $M$에서 compressible 하다는 것은 $S$위에 essential simple closed curve $C$를 boundary로 갖는 $M$에서의 embedded disk $D$가 존재하는 경우를 말한다. 그러면 우리는 위에서 2-surgery와 같이, $D$를 기준으로 $S$를 자르고 새로 생성된 $S$의 boundary 2개를 각각 $D$의 copy로 붙이는 작업을 한다. 이것을 $S$를 compressing 한다고 하고, $D$를 compressing disk라고 부른다. 다음 사진과 같은 상황이다:

앞선 2-surgery와 같이 $D\times I$가 새로 만들어진 surface $S'$와 $S$의 homology를 주기 때문에 homology class 자체는 바뀌지 않고, complexity는 $\chi(S') = \chi(S) + 2$로 줄어든다. 2-surgery 때와 마찬가지로, 비슷한 식의 compression을 essential arc $(A,\partial A)\subset (S,\partial S)$ 를 따라서 진행할 수 있다. 마찬가지로 새로 만들어진 surface의 homology class는 바뀌지 않고, complexity는 1 줄어든다. $\chi(S') = \chi(S)+1$. 만약 compressing disk가 없는 경우에 incompressible 이라고 부르고, compressible arc가 없는 경우에는 boundary incompressible 이라고 부른다.

Definition of Thurston norm

Lemma. If $\alpha$ is divisible by $k$, then $S$ is a union of $k$ components, each representing $\alpha/k$.

$(\because)$ $\alpha = k\beta$ 라고 하자. 그러면 우리는 다음의 homotopy-commutative diagram이 존재한다:

여기서 $f_\alpha,f_\beta$는 $H^1(M,\Bbb Z)$와 $[M,S^1]$ 사이의 bijective correspondence에서 나온 map들을 말한다. $f_\alpha$, $f_\beta$의 unique up to homotopy 성질에 의해서 $p$는 $k$-fold covering map이 된다. $p^{-1}(y) = \{y_1,\ldots,y_k\}$가 $f_\beta$의 regular value들이라 가정할 수 있고, 따라서 $S$는 $f_\beta^{-1}(y_1)\cup\cdots\cup f_\beta^{-1}(y_k)$의 disjoint union of surfaces가 되고 각각의 component들은 $\beta$를 represent 한다. $\square$

Rmk. 자명히, $\alpha = k\beta$라고 하면, $\beta$가 represent하는 surface의 parallel copy를 $k$개 모아놓으면 그것의 homology class는 $\alpha$ 를 represent 한다.

Thurston norm은 주어진 integral 2-homology class를 representing하는 embedded surface들 중에서의 minimal complexity를 잰다. 여기서 surface의 complexity는 Euler characteristic으로 잰다.

Definition. Given a connected surface $S$, let

$$\chi_-(S) = \max(0,-\chi(S))$$

and if $S = \coprod_j S_j$ then

$$\chi_-(S) = \sum_j\chi_-(S_j).$$

한가지 알아둘 것은, $\chi_-(S_1\# S_2)\geq\chi_-(S_1)+\chi_-(S_2)$가 된다는 것이다.

Definition. Let $M$ be any compact, oriented 3-manifold. Define the norm $\parallel - \parallel$ on the integral lattice of the second homology $H_2(M)$ or $H_2(M,\partial M)$ by the formula

$$\parallel a\parallel = \inf \{\chi_-(S)\mid S\text{ is an embedded surface representing }a\}$$

Theorem. For any integral 2-homology class $a,b$ and any $n\in\Bbb N$, the following properties hold:

$$\parallel a \parallel = \parallel -a \parallel,\quad \parallel na\parallel = n\parallel a\parallel,\quad \parallel a+b\parallel\leq\parallel a\parallel +\parallel b\parallel.$$

$(\because)$ 첫번재는 주어진 surface의 orientation을 모두 바꾸면 된다. 두번째는 만약 $S$가 $a$를 represent하면, $S$의 $n$개의 parallel copy는 $na$를 represent하고, 따라서 $\parallel na\parallel\leq n\parallel a\parallel$이 된다. 위의 Lemma에 의해서, 만약 $T$가 $na$를 represent 한다면, $T$를 $n$개의 disjoint union of surfaces each representing $a$로 쪼갤 수 있고, 따라서 $n\parallel a\parallel \leq \parallel na \parallel$이 된다.

마지막 inequality는 조금 더 복잡하다. $S$와 $T$를 $a,b$의 norm-minimizing surface representative들을 가져오자. 만약 $S\cap T$가 inessential한 circle이나 arc를 갖고 있으면, 2-surgery를 적용해서 $S$와 $T$ 각각의 homology class를 바꾸지 않고 없앨 수 있다. 또한, 2-surgery가 만약 새로운 component를 생성한다고 하면, circle에서는 sphere나 disk 들을 생성하고, arc의 경우에는 disk를 생성하기 때문에, $\chi_-$ 값 자체는 2-surgery를 해도 변하지 않는다. 따라서, 우리는 inessential들을 모두 지운 뒤에, essential하게 intersect하는 경우만 남겨놓고, $S\asymp T$를 생각할 수 있다. 이 경우에 새로운 sphere나 disk가 생성되지 않는다. 따라서, $\chi_-(S\asymp T) = \chi_-(S)+\chi_-(T)$가 되고, $S\asymp T$는 $a+b$를 represent하기 때문에 $\parallel a+b\parallel\leq \parallel a\parallel + \parallel b\parallel$이 성립한다. $\square$

Rmk. 첫번째는 Thruston norm은 symmetric about the origin 이라는 뜻, 두번째는 rational homology class로 natural하게 norm이 extend 된다는 뜻, 세번째는 Thurston norm은 convex하다는 뜻이다.

사실, Thurston norm은 real homology class로 continuous하게 extend를 할 수 있고, norm 자체는 2nd homology with real coefficient vector space에서의 semi-norm으로 주어진다. 또한 Thurston norm의 continuity에 의해서, norm이 vanishing하는 부분은 정확히 subspace spanned by embedded surfaces of non-negative Euler characteristic 에 해당된다. 다시 말해서, $H_2$를 저러한 subsurface를 quotient한 space 혹은 저러한 subsurface가 없는 경우, 다시 말해서 nontrivial homology class가 non-negative Euler characteristic embedded surface로 (다시 말해서, essential sphere나 torus, properly embedded annulus) represent 되는 경우를 없다면, Thurston norm은 실제로 norm이 된다. 그리고 위에 (2) 성질이 연속적으로 확장이 되기 때문에, $H_2$ real vector space에서 원점을 지나는 각각의 ray에서는 Thurston norm은 linear 하다. 따라서, Thurston norm의 $H_2$에서의 정보는, norm을 1 이하로 normalized 시킨, homology norm ball의 face들에 전부 기록이 된다.

Thurston norm은 integral lattice point에서는 integer value를 갖는 semi-norm의 formal consequence는 Thurston norm ball on $H_2$는 항상 polytope이라는 것이다. 따라서, 만약 Thurston norm이 실제로 norm이면, polytope은 compact이고, 만약 아니라면, 다시 말해서 semi-norm 이라면, Thurston norm ball은 noncompact polytope이 된다.

밑의 질문은 자연스럽게 할 수 있다. 다만 난 아직까지 저 의미가 제대로 기술된 논문이나 글이 있는지 잘 모르겠다:

Q1. What is the "meaning" of different fibered faces? What is the "difference" between two fibered faces?

Q2. What would be a geometrical interpretation of the number or "complexity" of the faces of Thurston norm ball?

Q3. Which criterion one can think of realizing the given polyhedron as a Thurston norm ball of certain 3-manifold?

Q4. Does the given Thurston norm ball of any given closed oriented 3-manifold "virtually fully fibered"? i.e., is there a finite cover whose faces of Thurston norm ball all fibered?

Q4의 경우에는 Virtual Haken conjecture의 다음 단계로 볼 수 있다. 모든 hyperbolic 3-manifold가 fibered over $S^1$일 필요는 없다. 무한히 많은 hyperbolic 3-manifold가 Reebless foliation을 admit하지 않는다. Virtual Haken conjecture는 이러한 hyperbolic 3-manifold이어도, 우리가 적절한 finite covering을 취한다면, fibered over $S^1$ 인 manifold를 얻는다는 것이다. 다시 말해서, Thurston norm ball의 fibered face는 up to finite covering 항상 fibered face를 갖고 있다. Q4는 나아가 모든 face가 fibered가 될 수 있는지에 대한 질문이다.

Q1의 경우에는 상황이 심각한데, 밑에 나오는 것들을 보면 전부 하나의 fibered face에 대한 기술이다. 서로 다른 fibered face에 대해 "엮는" 기술은 찾아볼 수 없다.

Q1이 가장 근본적인 질문이고, Q1이 어느정도 이해되면 나머지 질문들에 대한 이해에 큰 도움을 줄 것이라고 생각한다. 모든 질문들이 서로 긴밀히 연관되어 있다.

위의 질문을 대답하기 위해서는 일단 Thurston norm ball의 구체적인 예시를 보는 것이 좋겠다:

Example of Thurston norm ball: The Borromean rings

Thurston norm as a (semi-)norm on $H^1$

앞선 Thurston norm을 embedded surface를 이용해서 describe했다면, 그것의 "dual"인 1-form들을 이용해서, (뒤에서는 transversal flow를 이용해서) Thurston norm을 describe할 수 있다.

David Fried는 Thurston norm을 $H^1$에서 정의된 norm으로 보고, 각각의 (de Rham) cohomology class를 smooth fiberation over $S^1$으로 대응을 시켜서 이해하려고 했다. 이렇게 되면, 자연스럽게 base compact oriented 3-manifold를 fibered 3-manifold over $S^1$으로 볼 수 있게 된다.

The correspondence between smooth fibrations and nonsingular integral periodic closed 1-forms.

먼저 correspondence를 말하기 전에, closed 3-manifold $M$에서의 Universal coefficient theorem을 먼저 상기하도록 한다.

$$H^1(M;\Bbb Z)\simeq\mathrm{Hom}(H_1(M;\Bbb Z),\Bbb Z),$$

$$H_1(M;\Bbb Z)/\mathrm{torsion}\simeq \mathrm{Hom}(H^1(M;\Bbb Z),\Bbb Z).$$

만약 $\Bbb Z$가 아니라 $\Bbb R$ coefficient 이라면, $H^i$와 $H_i$는 dual vector space가 된다. 또한 Poincare duality에 의해서, $H^2(M;\Bbb Z)$는 $H_1(M;\Bbb Z)$와 identify 할 수 있다.

$f:X\to S^1$가 smooth fibration 이라고 하자. 그러면, $d\theta$를 $H^1(S^1;\Bbb R)$의 generating 1-form이라고 한다면, $f^*(d\theta)$는 integral periodic를 갖는 nonsingular (i.e. nonvanishing) closed 1-form이 된다. 반대로, 만약 $\omega$가 nonsingular closed 1-form 이고 $X$가 closed 3-manifold라면, $f(x) = \int_{x_0}^x\omega$는 $X$에서 $\Bbb R/\mathrm{periods}(\omega)$로 가는 mapping이 되고, 만약 $\omega$의 period들이 rational ratio를 갖고 있다면, fibration over $S^1$이 된다. Fibration이 되는 이유는 다음과 같다: $X$의 compactness에 의해서, $\pi_1(X)$가 finitely generated 이기 때문에, $\omega$의 ($H_1$의 각각의 basis element에 대한) period들은 $\Bbb R$의 subgroup이 되고, (trivial하지 않은 이유는 $X$는 compact이고, $f$는 open map이기 때문) rational ratio 가정에 의해서 $\Bbb R/\mathrm{periods}(\omega)\simeq S^1$이 된다. 따라서, $X$에 smooth flow $\psi$ s.t. $\omega({d\psi/dt}) = 1$을 construct 하면 (local하게 항상 존재하고, global하게 항상 확장 가능하다) $\omega$가 nonvanishing 하다는 것과 flow는 time variable에 대해서 local diffeomorphism 인 것을 이용하면 주어진 integrating map이 smooth fibration 이라는 것을 알 수 있다. $\square$

이러한 closed 1-form들로 $H^1(M;\Bbb R)$을 보기 시작했을때, 위의 correspondence에 의해서 nonsingular 한 1-form이 존재한다는 것은 정확히 3-manifold $M$이 fibered 3-manifold가 된다는 것으로, manifold에 어떤 (smoothly) embedded surface가 존재해서, 그 surface의 mapping torus와 $M$은 diffeomorphic 하다는 것이다. 이후 이것은 Thurston norm ball의 "fibered face"에 해당된다.

Theorem. For a compact 3-manifold $X$, the collection $\mathcal{C}$ of classes of nonsingular closed 1-forms is an open cone in $H^1(X;\Bbb R)\setminus\{0\}$. The cone is nonempty if and only if $X$ fibers over $S^1$. $\square$

이제부터, $M$을 closed, connected, oriented irreducible 3-manifold라고 하자. 이렇게 되면, fiber의 genus가 1 이상이 되는 경우만 생각하게 되는 것이다.

다음의 정리에 의해서, 우리는 Thurston norm을 이용해 $H^1$에서 fibered cone이 정확히 어떤 것들인지 포착할 수 있다:

Theorem (Thurston). $\mathcal{C}$ is the union of (finitely many) convex open cones $\mathrm{int}(T_i)$ where $T_i$ is a maximal region on which $\parallel - \parallel$ is linear. The region $T_i$ containing a given nonsingular 1-form $\omega$ is

$$T_i = \{ u \in H^1(M;\Bbb R)\mid \parallel u\parallel = -\chi_F(u)\}$$

where $\chi_F$ is the Euler class of the plane bundle $F = \ker\omega$.

Rmk. 만약 Thurston norm이 실제로 norm이라면, (예를 들어서, compact irreducible atoroidal 3-manifold. 만약 $\pi_1(M)$이 infinite group이라면, geometrization theorem에 의해서 $M$의 interior는 complete hyperbolic structure를 갖는다. 우리는 항상 infinite fundamental group을 생각하기 때문에, Thurston norm이 실제로 norm이 되는 순간은 항상 hyperbolic setting에서 한다고 말할 수 있다.) 우리는 $\mathcal{C}$를 norm 1으로 normalized 시켰을 때, nonsingular face에 해당되는 element들이라 말할 수 있다. ($H_2$의 경우에는 fibered face라고 부른다.) 

각각의 $u\in H^1(M;\Bbb Z)\subset H^1(M;\Bbb R)$은 $S^1$의 $K(\Bbb Z,1)$-space property에 의해서, $u$에 대응되는 smooth map $f:M\to S^1$ with $f^*(d\theta) = u$를 고를 수 있고, $f$의 regular value의 inverse image에 해당되는 surface $S$가 $H_2(M;\Bbb Z)\simeq H^1(M;\Bbb Z)$에 대응되는 homology class의 representative라고 말할 수 있다. 다시 말해서, $H_2$에서의 (밑의 정리에 의해서, norm-minimzing) surface는 $H^1$에서의 nonsingular closed 1-form에 의해서 만들어지는 (nonsingular) codimension one foliation의 leaf에 해당되는 것이다. In particular, 만들어진 foliation은 Reebless이다.

Rmk. 사실 이것의 더 일반적인 converse도 참이다. 이것 또한 Thurston에 의해서 증명 된 것인데, 만약 $M$이 irreducible 3-manifold with empty or toroidal boundary일 때, 만약 $M$이 transversely oriented codimension one Reebless foliation $\mathcal{F}$ such that each component $\partial M$ is either transverse or a leaf of $\mathcal{F}$, then then every compact leaf $F$ of $\mathcal{F}$ is norm-minimzing 이다.

후에 우리는 $H^1(M;\Bbb Z)\ni u = f_* :\pi_1(M)\to\pi_1(S^1)$을 자주 identify 시켜서 혼용해서 쓴다.

놀라운 것은, 이렇게 만들어진 $u$에 대응되는 fibration에서의 fiber surface는 Thurston norm minimizing surface이라는 것이다.

Proposition (Thurston). If $K\to M\xrightarrow{f}S^1$ is a fibration, then

$$\parallel [f^*(d\theta)] \parallel = -\chi(K).$$

$(\because)$ Homogeneity에 의해서, 우리는 $u = [f^*(d\theta)]$를 indivisible 하게 잡을 수 있다. 따라서, $u(\pi_1(M)) = \pi_1(S^1)$이 된다. 따라서 fibration의 homotopy exact sequence에 의해서 fiber $K$는 connected가 되고, 따라서 $M$을 $K\times\Bbb R$로 lift를 시킬 수 있다. 만약 $K$가 torus면 위의 equality는 자명하게 나오기 때문에, $-\chi(K)>0$라고 가정하자. 그러면 모든 $u$를 representing하는 incompressible embedded surface $S$는 $K\times\Bbb R$로 lift가 되는데, 이유는 모든 $S_0\subset S$의 component는 incompressibility에 의해서 $\pi_1(S_0)\subset \ker u = \pi_1(K)$가 되기 때문이다. Surface group $\pi_1(K)$의 infinite index subgroup은 free이기 때문에, 그리고 $\pi_1(S_0)$는 free가 아니기 때문에, $S_0$는 $K$의 finite cover가 된다. ($\pi_1(S_0)<\pi_1(K)$임을 상기하자.) 따라서,

$$\parallel u\parallel = -\chi(S)\geq -\chi(S_0)\geq -\chi(K)$$

가 된다. $\square$

Rmk. $u$를 representing하는 norm-minimizing surface는 항상 fiber $K$와 homotopy equivalent 하다.

이제 위에서 Thurston의 nonsingular face characterization 정리를 증명하자. 먼저 statement를 다시 적기로 한다. 참고로, plane bundle (혹은 circle bundle. 둘이 "equivalent" 하다) $F$의 Euler class $\chi_F$ on $M$은 $H^2(M;\Bbb Z)$에 존재하지만, Poincare duality에 의해서 $H_1(M;\Bbb Z)$의 원소로 볼 수 있고, UCT에 의해서, $\Bbb R$과 tensor를 취해서 $H^1(M;\Bbb R)$의 linear functional로 볼 수 있다.

Theorem (Thurston). $\mathcal{C}$ is the union of (finitely many) convex open cones $\mathrm{int}(T_i)$ where $T_i$ is a maximal region on which $\parallel - \parallel$ is linear. The region $T_i$ containing a given nonsingular 1-form $\omega$ is

$$T_i = \{ u \in H^1(M;\Bbb R)\mid \parallel u\parallel = -\chi_F(u)\}$$

where $\chi_F$ is the Euler class of the plane bundle $F = \ker\omega$.

Proof. 만약 $\omega$와 $\omega'$가 nonsingular closed 1-form which are $C^0$-close 라고 한다면, 그에 대응되는 plane bundle들 $F = \ker\omega$와 $F' = \ker\omega'$는 homotopic 하게 되고, 따라서 같은 Euler class $\chi_F = \chi_{F'}\in H_1(M;\Bbb R)$를 represent 한다. (여기서 plane bundle이 homotopic 하다는 것은 암묵적으로 contact topology의 용어를 쓴 것인데, closed oriented 3-manifold의 경우에는, cooriented plane bundle의 homotopy class와 Gauss map에 의해 만들어진 map $M\to S^1$의 homotopy class와 bijective correspondence가 있기 때문에, 그냥 Gauss map으로 부터 induced된 map $M\to S^1$ 들의 homotopy class가 같다고 생각하면 된다.)

만약 $[\omega']$가 rational이라고 한다면, $q[\omega'] = \beta'\in H^1(M;\Bbb Z)$ for some $0<q\in\Bbb Q$가 되고, $\beta'$는 indivisible하게 맞출 수 있다. 그러면 $q\omega'$에 associated 되어있는 fiber $K'$는 connected이다. 따라서, $F' = TK'$임을 이용하면,

$$\chi(K') = \chi_{F'}([K']) = \chi_F([K'])$$

을 얻게 된다. 여기서 $[K']$는 $K'$의 fundamental class이다. Fiber $K'$의 norm-minimizing property를 이용한다면,

$$\parallel [\omega'] \parallel = {1\over q}(-\chi(K')) = -{1\over q}\chi_F([K']) = -\chi_F([\omega'])$$

를 얻게 된다. 마지막의 equality는 duality에 의한 것이다. 따라서, 모든 rational classes $[\omega']$ "near" $[\omega]$에 대해서는 seminorm $\parallel - \parallel$은 linear functional $-\chi_F$에 의해 주어지게 된다. 따라서 Thurston norm은 각각의 nonsingular class의 neighborhood에서는 $-\chi_F$와 일치하게 된다.

이제 남은 부분은 각각의 $\alpha\in\mathrm{int}(T)$는 nonsingular class인 것을 보이는 것이다. 여기서 $T$는

$$T = \{\alpha\in H^1(M;\Bbb R)\mid \parallel\alpha\parallel = -\chi_F(\alpha)\}$$

는 $[\omega]$를 포함하는, $\parallel - \parallel$이 linear한 가장 큰 region이다.

이걸 보이기 위해서는 Thurston의 Thesis에 해당되는 정리가 하나 필요한데, 그건 다음과 같다:

Lemma (Thurston). Let $M$ be a closed oriented 3-manifold and $\mathcal{F}$ be a Reebless foliation on $M$. If $S$ is an immersed incompressible surface which is not a sphere, then $S$ can either be homotopic into a leaf or can be homotoped to intersect $\mathcal{F}$ in only saddle tangencies.

위의 lemma는 우리의 상황에서 $\mathcal{F}$는 nonsingular 1-form $\omega$가 induce하는 nonsingular codimension one foliation에 해당된다. 만약 $\alpha\in T\cap H^1(M;\Bbb Z)$가 $[\omega]$의 multiple이 아니라면, $\alpha$를 norm-minimizing surface $S$로 represent할 수 있다. 그럼 $S$의 각 component $S_i$들은 incompressible 하고 sphere가 아니기 때문에, 각각은 $\mathcal{F}$의 leaf 혹은 saddle tangency를 갖도록 isotope을 할 수 있다. 만약 $S_i$가 $\mathcal{F}$의 leaf $L$에 embedded 되거나, (우리의 경우, $S_i$는 closed embedded surface이기 때문에, $L$은 $S_i$와 같아진다) 앞의 proposition의 증명과 같이 $\pi_1(S_i)$는 $\pi_1(L) = \ker\omega$의 finite indexed subgroup이 된다. Incompressibility에 의해서, $\pi_1(S_i)$는 $\ker\alpha = \pi_1(S)$에 injective하게 들어가기 때문에, $\alpha$는 $[\omega]$의 multiple로 나타나게 된다. 따라서 각각의 $S_i$는 $\mathcal{F}$의 saddle tangency를 갖도록 $M$에 embedded 되어 있다.

한가지 알 수 있는 사실은, 각각의 $i$에 대해서, $S_i$와 $\mathcal{F}$의 normal orientation들은 모든 tangency에서 일치한다는 것이다. 이것 또한 증명할 수 있으나, 생략하고 그냥 사실로 받아들이기로 한다.

이 사실로 인해서, 우리는 $S_i$에 $\omega(N_i)>0$인 normal frame $N_i$를 줄 수 있다. 다시 말해서 임의의 $T$에 들어가있는 integral lattice에 해당되는 norm-minimizing surface는 $\omega$로부터 induce되는 codimension 1 nonsingular foliation에 오직 saddle tangency만 갖도록 isotope을 할 수 있고, 나아가 각각의 surface의 component에 $\omega$에 대해서 positively transverse한 $S_i$ 위에서 정의된 local flow를 찾을 수 있다.

이 frame은 $S_i$의 product neighborhood $U_i$로 extend가 될 수 있다. 다시 말해서, $h_i:S_i\times [-1,1]\to U_i$ : diffeomorphism이 존재해서, $h_*({\partial\over\partial t}) = N_i$ on $S_i = S_i\times 0$가 되고, $\omega(h_*({\partial\over\partial t}))>0$가 되도록 잡을 수 있다. $B:[-1,1]\to\Bbb R$를 support이 $|x|\leq 1/2$인 smooth bump function으로 잡은 뒤에, $\eta_i = (\pi_2h^{-1})^*B dt$로 한다면, 모든 $s>0$에 대해서,

$$(\omega+s\eta_i)\left(h_*{\partial\over\partial t}\right)>0\quad\text{on }U$$

가 된다. $U$ 이외에서는 $\omega+s\eta_i = \omega$이기 때문에, closed 1-form $\omega+s\eta_i$는 nonsingular임을 알 수 있다. 따라서, 우리는 $\omega+s\eta_i$는 $\mathrm{int} T$에 들어가 있음을 알 수 있다. 따라서,

$$[\eta_i] = \lim_{s\to\infty}{[\omega+s\eta_i]\over s}\in T\cap H^1(M;\Bbb Z),\quad\text{for all }i$$

가 된다. 따라서, $[\omega]$를 $[\omega]+s_1[\eta_1]+\cdots+s_{i-1}[\omega_{i-1}]$로 바꾼다면, inductive하게 우리는 

$$[\omega]+s_1[\eta_1]+\cdots+s_i[\eta_i]$$

가 모든 $s_1,\ldots,s_i\geq 0$에 대해서 nonsingular 하다는 것을 알 수 있다. 따라서, 모든 $s\geq 0$에 대해서

$$[\omega]+s\alpha = [\omega]+s\sum[\eta_i]$$

가 nonsingular하다는 것을 알 수 있다.

정리하자면, 우리가 보인 것은 만약 $\beta = [\omega]\in\mathrm{int}T$가 nonsingular class라고 한다면, 모든 $\alpha\in T\cap H^1(M;\Bbb Z)$에 대해서 $\beta+s\alpha$ 또한 모든 $s\geq 0$에 대해서 nonsingular하다는 것이었다. 이제 $\beta\neq\gamma\in\mathrm{int}T$를 고려해보자. 그러면 convexity에 의해서, $v_1,\ldots,v_d\in\mathrm{int}T$, $d = \dim H^1(M;\Bbb R)$가 존재해서, $\gamma$는 $\beta,v_1,\ldots,v_d$의 convex hull의 interior에 존재한다는 것을 알 수 있다. 물론 우리는 $v_i$들을 rational ${1\over N}\alpha_j$ for some $N\in\Bbb N,\alpha_j\in\mathrm{int}T\cap H^1(M;\Bbb Z)$ 로 잡을 수 있다. 그러면

$$\gamma = t_0\beta+\sum_{j=1}^d t_j\alpha_j,\quad t_j>0$$

로 쓸 수 있다. 앞선 결과를 이용해서 $k$에 대한 induction을 하면 각각의

$$\beta+\sum_{j=1}^k (t_j/t_0)\alpha_j$$

는 nonsingular 하다는 것을 알 수 있다. $k =d$로 세팅하고 $t_0>0$를 곱하면, $\gamma$ 또한 nonsingular하다는 것을 알 수 있다. $\square$

Rmk. 1. 증명에서 볼 수 있듯이, 만약 $T_i$의 원소 $u$가 rational lattice에 들어가 있으면, $u$에 적당한 정수를 곱해서, indivisible한 integer로 만든 다음에 integral lattice에 들어가있는 nonsingular 1-form이라고 보고, 그에 대응되는 fibration의 fiber의 Euler characteristic이 정확히 Euler class에서의 값이 되고, 또한 그 1-form의 Thurston norm의 값과 같다는 것을 확인할 수 있다. 정리에서 말하는 것은, 그 외에 irrational 한 부분, 다시 말해서 현재로서 geometrical 하게 describe를 못하는 부분에서도 Thurston norm과 Euler class에서의 값이 같은 부분이 정확히 $T_i$를 구성한다는 뜻. $T_i$ 자체는 $\omega$와 independent하게 정의된다는 것 또한 눈여겨볼 수 있다. 다시 말해서, $T_i$에 들어가있는 모든 nonsingular closed 1-form들은 $\omega$의 대상이 될 수 있고, 모두 똑같은 $T_i$ 영역을 describe한다.

2.Thurston의 fibered face의 characterization을 보면, Fiber의 tangent bundle의 Euler class로 describe를 한다. 정확히 말하면, nonsingular 1-form $\omega$가 존재하고, 그 $\omega$를 포함하는 nonsingular face는 $H^1$의 원소들 중에 정확히 $\ker\omega$ plane field의 (다시 말해서, $\omega$와 대응되는 fibration의 fiber의 tangent bundle) Euler class에서의 값이 Thurston norm과 같아지는 구간을 말한다. 따라서 Thurston norm ball과 contact structure와의 연결점을 암시한다.

Using the flow theory

1-form을 이용했을 때 가장 좋은 점은, flow theory를 이용할 수 있다는 것이고, 이것이 embedded surface와의 "duality"를 더 명확히 보여준다. 각각의 fibered face를 앞에서는 Euler class를 이용해서 describe를 했다면, 이번에는 주어진 fibration에 (혹은 equivalent하게 주어진 integral lattice nonsingular closed 1-form에) associate 되어있는, 각 fiber에 transversal하게 지나가는 "canonical"한 flow를 이용해서 fibered face를 describe할 수 있다.

여기서 말하는 canonical flow는 주어진 fibration $f:M\to S^1$에 대해서, 모든 $m\in M$에 대해서, ${d\over dt}f(\psi_t(m)) >0$을 만족하는, geometrical하게는 $f$의 fiber에 transversal한 flow를 말한다. 물론 이러한 flow 자체는 unique하지 않지만, fiber $K$에 flow의 first return map으로 induce 되는 surface homeomorphism의 isotopy class (monodromy of $f$ 라고 부른다) 는 unique하게 정의된다. 따라서 우리는 integral nonsingular closed 1-form에 대해서 그에 대응되는 monodromy class를 associate할 수 있다:

Claim: The monodromy of $f$ is determined algebraically by the cohomology class $\beta = f^*([d\theta])\in H^1(M;\Bbb Z)$ or equivalently by the map $f_*:\pi_1(M)\to\pi_1(S^1)$.

$(\because)$ 만약 $\beta$가 indivisible 하다면, fiber $K$는 connected 가 되고, 따라서 homotopy exact sequence에서

$$1\to\pi_1(K)\to\pi_1(M)\xrightarrow{f_*}\pi_1(S^1)\to 1$$

우리는 $\pi_1(M)$이 $\pi_1(K)\rtimes_\alpha\Bbb Z$, where $\alpha:\Bbb Z\to\mathrm{Out}(\pi_1(K))$ by $1\mapsto [R]$ where $R$ is the first return map on $K$ 으로 정의됨을 알 수 있다. 따라서, $\pi_1(K)$와 $\alpha$는 $f_*$ 에 의해서 완전히 결정됨을 알 수 있다. $\pi_1(K)$에 의해서 $K$의 topological type은 완전히 결정되고, Nielsen의 정리에 의해서, $\mathrm{Diff}(K)$의 isotopy class와 $\mathrm{Out}(\pi_1(K))$ 사이에는 bijective correspondence가 있다. 따라서 역으로 $\pi_1(K)$와 $\alpha$에 의해서 monodromy of $f$가 완전히 결정된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 만약 $\beta = n\beta'$ where $\beta'$ is indivisible, $n\in\Bbb N$이라고 한다면, $n$은 $\mathrm{coker}(\pi_1(M)\xrightarrow{f_*}\pi_1(S^1))\simeq \Bbb Z/n$에 의해서 결정된다. 또한, $f$의 fiber는 $K$의 $n$개의 copy로 나타난다는 것을 알고 있고, monodromy에 의해서 cyclic하게 permute 된다는 것을 알 수 있다. 따라서, monodromy의 $n$th power는 $K$를 preserve하고 $\alpha$에 의해서 $\pi_1(K)$로 act를 한다. 따라서 앞선 indivisible 케이스에 의해서 이 경우 또한 monodormy of $f$는 cohomology class에 의해서 algebraically characterize 된다는 것을 알 수 있다. $\square$

지금 우리가 한 것은, 각각의 integral nonsingular closed 1-form에 monodromy class를 하나 associate 한 것이다. 역으로, 만약 $K$라는 surface가 있고, $R:K\to K$가 homeomorphism이라면, mapping torus를 형성해서 fibered 3-manifold $M$을 형성할 수 있고, $R$에 의해서 canonical하게 만들어지는 suspension flow에 의해서 fibration에 transverse한 flow를 associate할 수 있다. 또한, 만약 애초에 3-manifold $M$에 flow가 주어져있을 때, 그 flow에 transverse한 fibration over $S^1$을 찾는 것, 다시 말해서 flow의 cross-section $K$를 찾는 것 또한 생각해볼 수 있다.

앞서 말했듯이, flow의 관점으로 다음과 같은 Fibered face의 description을 생각할 수 있다. 증명은 하지 않을 것이고, statement만 소개한다. 밑의 정리가 rough하게 말하는 것은, flow 의 관점에서는 hyperbolic fibered 3-manifold $M$에 대해서, Thurston norm ball의 nonsingular face $T$는 canonical flow $\psi_t:M\to M$를 결정하고, $\mathrm{int}T$는 정확히 $[\omega]\in H^1(M;\Bbb R)$들 중에서 $\omega\left({d\varphi_t\over dt}\right)>0$로 구성된다고 말하고 있다.

Theorem. Suppose $M$ is fibered over $S^1$. Then each flow $\psi$ on $M$ that admits a cross section determines a nonsingular face $T(\psi)$ for the norm $\parallel - \parallel$ on $H^1(M;\Bbb R)$. Here,

$$T(\psi) = \{\parallel u\parallel = -\chi_{\psi^{\perp}}(u)\}$$

and $\psi^{\perp}$ denotes the normal plane bundle to the vector field ${d\psi\over dt}$.

(1) $\mathcal{C}_{\Bbb R}(\psi)\subset\mathrm{int}T(\psi)$.

(2) For any pseudo-Anosov flow $\varphi$ on $M$, $\mathcal{C}_{\Bbb R}(\varphi) = \mathrm{int}T(\varphi)$.

(3) The face $T(\varphi)$ determines the pseudo-Anosov flow $\varphi$ up to strict conjugacy.

Thus any nonsingular face $T$ on an atoroidal $M$ with $H^1(M;\Bbb Z)\neq\Bbb Z$ (i.e. $M$ is hyperbolic) determines a strict conjugacy class of pseudo-Anosov flows. Here, "strict" conjugacy means conjugacy class of the monodromy class where conjugation is via homeomorphism isotopic to the identity.

다음의 proposition은 hyperbolization theorem의 direct consequence이지만, 그 정리를 쓰지 않고도 독립적으로 보일 수 있다.

Proposition. Suppose $H^1(M;\Bbb Z)\neq\Bbb Z$. Given a fibration $f:M\to S^1$, $M$ is atoroidal if and only if when the monodromy $m(f)$ is pseudo-Anosov and the fibers of $f$ are not composed of tori. $\square$

이제 위에서 나온 $\mathcal{C}_{\Bbb R}$이 무엇인지 설명하겠다. $\psi$를 먼저 compact oriented 3-manifold $M$에 주어진 flow라고 하자. 만약 $\psi$에 cross section $K$가 존재한다면, 다시 말해서 $M$을 fibered 3-manifold로 realize할 수 있고, fiber들이 $\psi$에 transverse하게 지나간다면, fiber $K$는 $\psi$에 의해서 normal frame이 정의되고, 따라서 oriented embedded surface가 되기 때문에, dual class $u\in H^1(M;\Bbb Z)$을 결정하게 된다. 조심해야할 것은, 이러한 fiber $K$는 unique하지 않는데, 이유는 우리가 $M$을 fibered 3-manifold로 realize할 수 있는 방법이 무한히 많기 때문이다. (정확히 말하면 fibered face에 있는 integral lattice마다 서로 다른 realization이 가능하다.) 따라서, 각각의 $K$에 대해 서로 다른 integral dual class $u$를 associate 한다. 물론 임의의 integral nonsingular closed 1-form $u$는 fibration을 associate하지만, 여기서 포인트는 주어진 flow $\psi$에 transverse한 fibration을 찾는 것이 포인트다.

$$\mathcal{C}_{\Bbb Z}(\psi) = \{u\in H^1(M;\Bbb Z)\mid u\text{ is dual to some cross section }K\text{ to }\psi\}.$$

다시 말해서, $\mathcal{C}_{\Bbb Z}(\psi)$는 flow $\psi$의 모든 가능한 cross section의 dual 1-form들을 모아놓은 것이라고 생각할 수 있다. 위에 Theorem이 말하는 것은, manifold $M$이 hyperbolic인 경우에는 이러한 dual 1-form들과 fibered cone이 정확히 일치한다는 것이다.

Fried는 이러한 $\mathcal{C}_{\Bbb Z}$를 "homology direction" 이라는 것을 이용해서 characterize했는데 다음과 같다:

$$\mathcal{C}_{\Bbb R}(\psi) = \{[\omega]\in H^1(M;\Bbb R)\mid \omega\text{ is a closed 1-form with }\omega({d\psi\over dt})>0\}.$$

이러한 characterization에 의해서, 앞서 말한 fibered face의 flow 관점에서의 description을 verify한다.

Functionals on each fibered faces

앞에서 우리는 각각의 fibered cone들은 "하나의 무언가"로 describe가 가능했다. 마지막에 flow를 이용한 characterization이 가장 적나라 했는데, fibered 3-manifold에서 fibration과 transversal한 flow에 대해서 모든 가능한 cross section들을 모아놓은 것이 fibered cone의 lattice point였다. 첫번째 characterization 또한 하나의 integral nonsingular closed 1-form의 kernel plane bundle 하나로 describe를 했다. 따라서, 각각의 fibered cone 전체에 얹을 수 있는 functional의 존재를 기대할 수 있다.

첫번째로 말할 것은 monodormy에서의 topological entropy이고, 두번째로 말할 것은 Teichmuller polynomial이다. 두개 모두 monodromy pseudo-Anosov map의 stretch factor와 크게 관련되어 있다. (물론 stretch factor 자체는 manifold에 대한 이해를 그닥 돕지는 않는다.)

Relation to codimension one foliations

Theorem (Thurston). Let $M$ be an irreducible 3-manifold with empty or toroidal boundary and $\mathcal{F}$ be a transversely oriented codimension 1 Reebless foliation on $M$ such that each compoment of $\partial M$ is either transverse to $\mathcal{F}$ or is a leaf of $\mathcal{F}$. Then every compact leaf $\mathcal{F}$ is norm-minimizing.

Theorem (Gabai). Let $M$ be an irreducible 3-manifold with empty or toroidal boundary and $S$ be a norm-minimizing surface in $M$ representing a nontrivial class in $H_2(M,\partial M;\Bbb Z)$. Then there exists a codimension 1 transversely oriented taut foliation $\mathcal{F}$ of finite depth such that $\mathcal{F}$ is transverse to $\partial M$, $S$ is a leaf of $\mathcal{F}$ and $\partial|_{\partial M}$ is a suspension of homeomorphisms of $S^1$.

Connection to Euler classes