기하진흥위원장 [1097968] · MS 2021 · 쪽지

2024-06-16 11:28:28
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다소 늦은 6모 기하 28 29 30 해설

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수학 과외를 하다 보니 기하 수요가 매우 적지만,

공급은 더더욱 적다는 것을 깨달아서...


모고 해설 올리고 나중에 기회 되면 문제 제작도 조금 하면서

기하 자료 공급을 약간이나마 늘려 보려 합니다


일단 조금이라도 신뢰감을 얻기 위해서

24학년도 수능 기하 100점 인증 먼저 하고



조금 늦긴 했지만

6모 기하 28 29 30 해설 시작 하겠습니다.


28. 



일단 점 A,B를 잡고, | OP |=1 과 | BQ |=3 을 해석해 원 두개를 그립니다.


그 다음에 AP ㆍ ( QA + QP ) = 0 을 해석해야 하는데,

전개를 하는 것보다는 내적한 값이 0인 것을 수직하다 라는 의미로 해석하는 것이 더 좋겠다는 생각이 듭니다.


그래서 일단 P를 아무데나 그려서, 저 수식을 만족한다는 것이 정확히 어떤 의미인지 알아보고자 합니다.



P를 먼저 잡고 나서 Q가 어떤 점이 되어야 위 수식을 만족하나 고민을 해 보면,

Q가 PA 의 수직이등분선 위에 있어야 한다는 사실을 알 수 있습니다.


( QA + QP = 2 QM , QM AP가 수직을 사용하셔도 되고, 

그냥 정사영 느낌으로 내적 값 생각해 보시다가 Q 찾으셔도 됩니다)


PQ 의 값이 최소가 되는 점을 찾고 있으니 수직이등분선과 원의 교점 중 밑에 부분이 Q라는 것도 알 수 있겠죠.

그리고, PA의 수직이등분선은 곧 원의 현의 수직이등분선이기 때문에, 

그 선이 원의 중심이자 원점인 O를 지나간다는 점도 체크하시면 좋습니다.


그 다음에 P랑 Q랑 자취를 고민해 보시는 것도 꽤나 자연스러울 겁니다. 

그런데 안타깝게도, P, Q의 자취를 생각해 보면 정확히 언제가 최소인지 감을 잡기가 쉽지는 않습니다.

그래서 두 점 모두 움직이는 상태로 해석하는 것이 아닌, 

다른 상황으로 문제를 조금 바꿔야 한다는 것을 알 수 있습니다.


그래서 PQ 를 어떻게 바꿔야 고민하다 보면 AQ = PQ라는 사실을 알 수 있습니다. 

이렇게 바꾸는 것을 발견하시고 나면 A가 움직이지 않는 정점이기 때문에 문제를 훨씬 편하게 풀 수 있죠.


( 자취 고민을 안하시고 AQ = PQ 바로 발견하시는 경우도 많을 것 같습니다.

말했다시피 A가 정점이라 잘 진행되고 있다는 느낌을 강하게 받거든요 )



그럼 이제 Q가 어디인지 바로 감이 오실텐데, 

A에서 가장 가까운 점인 (1,-2) 라는 것을 알 수 있습니다. ( BA의 연장선과 원의 교점 )


이렇게 즐거운 상황에서 항상 잠깐 체크하면 좋을 부분이,

Q가 (1,-2)에 가게 해주는 P가 실제로 존재하는가를 생각해 보시는 것입니다.


A를 QO 에 대칭시킨 위치에 P가 있으면 Q가 (1,-2)에 성공적으로 갈 수 있다는 점을 알 수 있습니다.

이제 P와 Q가 위의 보라색 위치에 있다고 생각하고 풀어도 되겠지요.


제가 이 문제를 풀때는 위 그림으로 그냥 풀었는데, 만약 그림이 점점 복잡해져서 푸는 속도가 느려지면

그림을 단순화시켜서 다시 한번 중요한 부분만 그려 보는 것도 괜찮습니다.

다음과 같이요. (밑처럼 똑같이 안하시고 OAQ만 그리시는 등 원하시는 부분만 그려도 괜찮아요)




그럼 마지막으로 AP ㆍ BQ 값을 구하는 것만 남았는데,

BQ x AH x 2로 처리 하겠습니다.


삼각형 OAQ의 비율인 1:2: 루트5 를 위의 모든 삼각형에서 사용하셔도 된다는 점을 알 수 있습니다.

(저런 직각직각한 상황에 익숙해지셔야 돼요, 생각보다 시간이 오래 걸리는 사람이 많더라구요)


그래서 


은 3 * 0.4 * 2 = 12/5 => 3번




29. 



뭔가 어려워 보이죠. 근데 풀어 보면 생각보다 쉽습니다.


절대값도 들어가 있어서 경우를 나누어야 할 것 같다는 생각이 자연스럽게 드네요.

일단 절댓값 안의 식 부호를 따져서 그림부터 그려 보겠습니다.



오른쪽 식에 초점을 맞춰 그리고 나면 부등식 범위가 큰 영향을 안주고, 

깔끔히 그려 지는 것을 확인할 수 있습니다.



그림을 그린 후 A, B, C, D가 아무 점은 아닐 것이고, 초점이면 좋겠다는 생각을 가지고 읽으면 좋습니다.


그리고 P에 관한 부분에서, P가 위의 두번째 식이 나타내는 타원 위에 있다는 것과

PC+PD가 일정해야 하므로 추측했던 대로 실제로 C와 D가 타원의 초점이고, 

장축의 길이가 루트5라는 것도 알게 되죠. 


초점의 위치를 계산하면, 

c=1/2,


쌍곡선의 초점도 구해 보면

이므로 쌍곡선의 초점은 3/2 = c+1 이고, A와 B도 실제로 초점임을 확인할 수 있습니다.


AQ=10, QB=AQ+2=12, AB=3 


답=25 가 나옵니다.



30.

일단 쌍곡선 그려 놓고 저 수식의 의미를 고민해 보고자 합니다.


초점 위치와 주축 길이를 모두 알기 때문에 쌍곡선 방정식을 적으시는 분도 있을텐데, 적으셔도 되지만

저라면 굳이 방정식을 적지 않고, 나중에 필요할 경우 식을 적을 수 있다 정도로 기억해 놓고 넘어갈 것 같습니다.

저 수식의 의미가 더 궁금하거든요..

 

PF<PF'이라고 했으니, P가 오른쪽 곡선 위에 있다는 것을 알고 있습니다.

그래서 일단 P를 아무데나 찍겠습니다.


그리고 나서 식을 살펴보면, 괄호 안의 ( |FP|+1 ) 이 사실은 벡터가 아니라 숫자라는 사실을 알 수 있습니다.

Q 위치를 고민해 보면, F'QQP가 같은 방향이여야 하므로 일단 PF' 위에 Q가 있다는 사실을 알게 됩니다.



그림을 보면 

1) 쌍곡선 성질을 이용해야겠다는 생각이 납니다. PF 길이를 x로 두겠습니다.


또한 Q의 위치를 우리가 정확히 모르고 있다는 생각이 들어서, 


2) Q 위치를 정확히 알고 싶다는 생각이 납니다. 

P는 움직이지만 우리가 위치를 알고 있는 점 (F로부터 거리가 x인 점)이고

Q는 (수식에 의해서) 정해져 있지만 우리가 위치를 모르는 점입니다. 

이럴 때 정해져 있지만 위치를 모르는 점의 위치를 수학적으로 정확히 표현하려는 생각을 하시면 좋습니다.


문제의 식을 이용해서 수학적으로 정확히 Q를 표현할 수 있죠 

(F'으로부터 거리가 a인 점, a를 구해 봅시다)

(x+1)a=5(x+6-a)


식 보고 순간 미지수가 많아서 당황할 수 있는데, 

방정식을 풀 때, 우리가 구하는 미지수가 무엇인지 정리해 보시면 좋습니다.

문자지만 상수 취급할 수 있는 것들은 숫자라 생각하고 간단히 취급해도 되고요.

이 경우에는 a가 미지수입니다. 


따라서

(x+6)a=5(x+6)

a=5

Q의 자취는 F'을 지나고, 반지름이 5인 원(의 일부)가 됩니다.

P의 위치에 따라서 그려질 수 있나 아닌지가 결정되겠지요.


답은 A,F',Q가 일직선일 때

|AQ|=AF'+F'Q=5+5=10

(엄밀하진 않습니다 다음 문단 참고)


28번에서 이야기했듯이 실제로 만족하는 점이 존재하나 고민해 보셔도 좋습니다.

이 경우에는 점근선 위치를 고민해보시면서 

실제로 A,F',Q 가 일직선이 될 수 있나 생각하시면 됩니다.

점근선의 기울기가 충분히 크므로(정확히 말하자면 3/4보다 크므로) 적절한 P가 존재할 수 있고, 잘 만족합니다.

 

(근데 한번 더 생각하면 범위를 이유로 최댓값이 일직선이 되지 않을 경우에는 엄밀히 말하면 최댓값이 존재하지 않아 신경쓰지 않아도 됩니다)


위 습관은 장기적으로 오답률을 낮추는데 도움이 되지만

이 문제에서는 결과적으로 그냥 별 생각 없이 

10을 답으로 쓰셔도 큰 문제는 없을 듯 합니다.


막 고정 1등급 아니시면 이런 부분보다는 

10까지 구하는 과정을 더 살펴 보시는게 도움되실 것 같아요.


tip)

만약 이렇게 풀 생각을 못하신 분이라면,

A와 여러 핵심적인 점들을 연결해 보다가 AF'이 5인 것을 발견하시면

답을 찍는데 도움이 될 것 같습니다.


개인적으로 AF'=5 만 가지고도 |AQ|AF'+F'Q로 나누고 (너무 깔끔하니까요)

Q의 자취를 (여러 이차곡선이나 직선이라는 후보 중) 원이라고 추측할만 하다고 생각합니다.


당연히 정석대로 푸시는게 가장 좋긴 합니다만,

시험에서는 가끔씩 이런 추측 한번이 시험 운영에 좋은 영향을 줄 때가 있습니다.


기하스럽게 문제 잘 낸것 같아요

계산이 다 깔끔해서 기분 좋았습니다

29번 어려워 보이는데 생각보다 깔끔하게 쉬워서 신기했어여


독자는

최대 1개 선택 / ~2024-06-23

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