0.99999....=1 증명
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대학교에서 쓰는 엡실론 델타 논법이라는 것을 쓸겁니다.
고등학생도 이해할 수 있게 쓸테니 뒤로가기 누르지 말아요...
간단하게 설명을 해 드리겠습니다.
어떤 수열{ a_n } 이 있다고 합시다. 그리고 그 수열이 L로 수렴하는걸 보이고 싶어요! 그러면 a_n과 L 사이의 "차"가 최소가 되어야하겠죠? "차"는 큰거에서 작은걸 뺀 값이에요
그러면 절댓값을 써서 이렇게 나타낼 수 있어요
이게 매우 작아지면 좋겠죠? 정확히는 0이 되었으면 좋겠죠. 그래서 임의의 양수 ε > 0을 가져올거에요. 어떤 양수를 가져와도 그거보다 저 "차"가 더 작으면 차가 결국 0이라는 뜻이겠죠?
ε를 엄청 작은 수로 일단 설정해봅시다. 대충 0.000000001
정도로요! 그러면, 이 부등식을 언제 만족시키는지를 생각해봅시다.
어떤 자연수 N에 대해서 N보다 n이 더 크면 항상 저 부등식을 만족시킨다고 하면 괜찮겠죠? 즉, N보다 크기만 하면 "차"를 저것보다 더 작게 줄일 수 있으니까요.
그걸 이렇게 쓸 수 있어요.
즉, 어떤 양수 ε을 가져와도, N보다 더 큰 모든 n에 대해서
"차"가 ε보다 작아진다면, 아까 말햇듯이 결국 저 괄호 안의 식이 모든 양수보다 작으니 0이 되겠죠. 이걸 이용해서 증명해볼 겁니다!
일단 0.9, 0.99, 0.999, ... 로 진행하는 수열을 생각해보면
이 되겠죠? 그리고 이 식의 수렴값이 1 맞는지 증명하고 싶어요.
그러면 "차"는,
이렇게 되겠죠. 그러면 이제 아까처럼 임의의 양수 ε을 가져와보면
이 되겠죠? 이때 N을 가우스 함수랑 비슷하게,
라고 정의해주면, 결국 N보다 큰 모든 자연수 n에 대해서,
"차"가 ε보다 작아지는거잖아요? 그러면 어떤 얼마나 작은 양수 ε을 가져와도 그것보다 더 "차"를 작게 만들어주는 N이 존재하는거거죠? 결과적으로 "차"는 어떤 양수보다도 작게 만들 수 있는거에요.
결국 "차"는 n이 무한대라면, 0이 아니면 안돼요. 0이 아니라면, 그거보다 더 작은 ε를 가져올 수 있을텐데, 그러면 지금까지의 증명에 모순이잖아요?
따라서,
즉,
이 됩니다. "다가간다" 라는 애매한 말을 쓰지 않고도 명확하게 보일 수 있어요. 결과적으로 0.9999...와 1은 그저 하나의 실수인 1을 두가지 방법으로 표기한 것일 뿐이라는 거죠!
(0.99999....는 1보다 절대 작지 않아요!!)
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블링크특
수학십덕
엡 엡
이상하다 분명 한국어인데 왜..
천천히 읽어봐라
겁먹으니 어려운거지 내용 자체는 단순해 ㅇㅇ
오..
그...그렇구먼!
닉값못하네
x=0.999...
10x=9.999....
따라서 9x=9 -> x=1
중2때 이렇게 배운 것 같은데
실제로는 수렴가능성도 증명하지 않는 말도 안되는 증명이더라.
ㅇㅇ 맞아요
중학교라 어쩔 수 없음
오
인터넷에 쳐 보고 이해했다
대학생인데이해를못하게써요엡실론 델타 초반 장벽임 ㄹㅇ
세 줄 요약 좀0.999...=1 이라는 식에서 양변에 1 빼면 좌변은 0에 수렴하는 수가 남는데 우변은 0이 되니까 다르지 않나요? 근데 저 바보임
그 0에 수렴하는 수가 0입니다.
수렴하는 그 과정인 수열을 물어본게 아니라 수렴값을 물어본거니까요
엡델이 진짜 재밌음. 무지성 반복노동을 진짜 싫어하는 편인데 엡델은 예제문항같은거도 싹다 풀었었음. 개재밌어 그냥
감사합니다. 이해했습니다. 아까 잠깐 올린 뻘글을 이렇게까지 증명 해주시다니