Example of untame (wild) 3-manifold
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topologically tame manifold M 이란 M의 interior가 compact manifold의 interior와 homeomorphic한 경우를 말함. 3-manifold topology에서 3가지 큰 문제중 가장 마지막에 풀린 것이 tameness conjecture라는 것으로, 임의의 finitely generated hyperbolic 3-manifold는 topologically tame이라는 것. hyperbolic 세팅에서는 결국 'End'에 해당 되는 것들이 어떤 compact surface X lR 꼴로 주어진 다는 것. Untame manifold는 그렇지 못한 manifold를 뜻하고, surface의 경우에 가장 쉬운 케이스는 genus가 무한히 많거나 boundary가 무한히 많은 infinite type surface가 있고 untame manifold 중에는 가장 "쉬운" 케이스에 해당됨. 3-manifold에서도 이미 오래전부터 untame manifold의 구체적인 construction들이 있었는데, 그 중에 한가지는 handlebody를 이용하는 것. H를 genus 2 handlebody라고 하고, g: H -> H를 밑에 그림과 같이 H를 자기 자신의 interior로 embedding을 시키는 mapping인데 한번 꼬아서 mapping을 함. 이런 g mapping을 H에 무한히 많이 하게 되면 (엄밀히 말하면 g가 iterate을 함에 따라 만들어지는 sequence of manifold들의 direct limit을 취하는 것), 처음에 H의 boundary에 해당되는 genus 2 surface는 g가 계속 반복해서 적용됨에 따라 더욱더 복잡하게 H 안에 들어가게 됨. 최종적으로 만들어지는 manifold는 H와 homotopy equivalent하지만 가장 깊숙히 들어간 H의 copy를 최종 manifold에서 빼면 infinitely generated pi_1을 갖기 때문에 topological하게 tame은 아님.
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