[이동훈t] 5월 수학 감상문
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내일 (월/13일) 에
전반적으로 내용 보완하고
예쁘게 정리해서
올려드릴 예정이니
그 글을 읽으시면 됩니다.
감사합니다 !
안녕하세요.
이동훈 기출문제집의
이동훈 입니다.
오늘은 지난 5월 모의고사
수학 전 문항을
간단하게 살펴보겠습니다.
심층적인 분석은
13일 (월)에 올려드릴 예정입니다.
총평은 ...
간만에 상당히 잘 만들어진 교육청 모의고사 이다.
입니다.
예를 들어 기하 28 번 같은 문제는
바로 올해 수능에 출제되어도 될 정도로
완성도가 상당히 뛰어 납니다.
전반적으로
6월/9월 모평에
그대로 (또는 다소 다듬어서)
출제해도 괜찮을 문제들이
다수입니다.
다만 작년 수능 공통 22 번처럼
(1) 과감한 두 개 이상의 소재의 결합
(2) 교육 과정에 의거한 풀이로 접근하면
자연스럽고 빠르게 풀리도록 설계
(3) (시험 이상의)
수학적인 의미까지 포함.
...
이 수준에 이른 ...
어떤 예술적 성취를 이룬
문제는 없었습니다.
출제 기술에 대한 연구가
상당히 진전된 분들이
만들었다는 생각이 들며,
기술적인 연마의 수준이
일정 단계를 넘어섰다는
생각이 듭니다.
이제 ...
본론 들어가실까요 ?
< 공통 >
1. (a+b)+(c-b)=a+c
2. 유리화
3. 등차수열의 공차와 일반항
4. 미분계수의 정의
5. 삼각함수의 성질 + 사분면
6. 삼차함수의 극대, 극소
7. 완전제곱식
즉, f ' (x) = (x-a)(x-b) = (x-a)^2 (a=b)
이 식이 떠오르는가 ?
8. 삼각함수의 주기와 그래프
(그림 그릴 때, 직사각형 같이 그리기)
9. 수열의 합과 일반항의 관계
an, Sn 이 함께 주어지면
Sn - Sn-1 = an (n>=2), a1=S1
을 이용해서 귀납적 정의를 유도한다.
라는 전형적인 풀이를 따라야 한다.
10. 속도-거리에 대한 전형적인 문제.
다만 이 문제의 경우
|v1|=v1, |v2| != v2
와 같이 전자와 후자가 달라서 ...
착각을 불러일으키는 문제 구조를 가지고 있습니다.
(물론 m의 값이 2 개 이상 이므로
결국 풀이를 교정하게 됩니다.)
이런 식의 착각은 수능에서도 자주 사용하는 기법이고 ...
특히 작년 수능에서 이런 식의 트릭이 상당히 많았지요.
어떻게든
뻔한 문제로 털어내야 하는 것이니 ...
점 Q 가 움직인 거리는 수식만 이용하는 것보다는
기하(삼각형 2개)적으로 구하는 것이 낫습니다.
11. an-bn 이
두 등식과 한 부등식에서
반복되고 있으므로
an-bn = cn 과 같이 치환해야 합니다.
이런 식의 치환은
주로 미적분에서 많이 등장하기는 하지만
수열도 함수이므로
심심찮게 출제되고 있습니다.
치환하고 나면
일반항을 좌표평면 위에 그리고 ...
등차수열 합을 적용하면 됩니다.
12. 직선 y=1/2 * x 위의 두 점 A, B 에 대하여
AB = 루트5 가 주어졌으므로
세 변의 길이가 각각 1, 2, 루트5 인
직각삼각형이 바로 그려져야 합니다.
이 직각삼각형은
두 점 사이의 거리 공식, 직선의 기울기
모두 에서 그려지는 것으로
매우 중요한 기하적 해석 입니다.
이후에는 수평화를 적용하여
y = f(x) - 1/2 * x = x^2 * (x-alpha) * (x-beta) -(가)
의 그래프를 그리고
(alpha, beta의 관계식은
여러분이 세우실 수 있어야 하고요.)
정적분이 0 임을 이용하여
alpha 의 값을 결정하면 됩니다.
(가) 에서 주어진 함수의 방정식에
제곱이 포함된 인수가 있으므로
정적분 계산량이 많지 않음을 알고
가벼운 마음으로 계산 할 수 있어야 합니다.
13. 작년 9월 모평 인가 ...
비슷한 문제가 있었던 것으로 기억하는데요.
경계값 즉, b, 3b 을 우선적으로 생각하면
의외로 어렵지 않게 해결가능한 문제입니다.
시험시간에는 가능한 케이스 중에서
답일 가능성이 높은 것부터
따지는 것이 중요합니다.
물론 이런 생각을 노리고
일부러 가장 답이 아닌 것 같은 경우가
답인 경우도 출제하곤 합니다.
14. 절댓값이 포함된 등식
|A|+|B|=0
의 필요충분조건이 바로 떠올라야 하고요.
유도된 두 개의 등식에서
원점에서 그은 접선이 2개.
라는 생각이 들어야 합니다.
이런 기하적 상황은 너무 자주 출제되었기 때문에
기출 짬바가 좀 필요합니다.
15. 닫힌 집합과 수형도 거꾸로 그리기가 결합된
이제는 전형적인 문제입니다.
문제의 구조상 an 이
당연히 자연수 일 수 밖에 없긴 한데 ...
이런 부분에서 완성도가 다소 처지는 느낌입니다.
수형도 그리기는 어렵지 않습니다.
16. 진수 조건 조심해야 하고요.
17. 곱 함수의 도함수
18. [-x, x] 에서 정적분 = 2x^3
까지 유도하고 나면 ...
x 에 특정 값을 대입하는 것이 크게 의미가 없고,
수2 범위에서는
위의 식의 양변을 미분할 수 없으므로
좌변을 적분 할 수 밖에 없다는 생각을 해야 합니다.
나머지는 계산.
19. 이런 문제는 주어진 범위가 넓지 않으므로
x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
에 대하여
네제곱근, 세제곱근의 개수를
표로 그리는 편이 낫습니다.
그래야 두 집합 A, B의 원소를
실수 없이 결정할 수 있습니다.
20. 미분계수를 포함한 함수의 극한 값 구하기와
다항함수의 차수 결정하기가 결합된 문제.
문제에서 주어진 항등식을 보고 ...
(1) 특정 값 대입 (필요하면 미분)
(2) 차수 결정
이 두 가지의 생각이 들지 않았다면
전형적인 풀이가 아직까지 익숙하지 않은 것입니다.
21. 이런 문제는
어떤 보조선을 (어느 순서대로) 그릴 것인가 ?
가 중요한데요.
선분 OC (원의 정의)
선분 AC 의 중점 H (이등변삼각형 COA)
서로 평행한 두 직선 OH, EC 에서 동위각 표시
여기 까지 하면
왜 CED 의 외접원의 반지름의 길이를
주었는가를
알 수 있겠고 ... (사인법칙 적용)
삼각형 ACD 에서 코사인법칙을 이용하여 위해서는
각 C의 사인 또는 코사인 값을 알아야 하는데
마침 삼각형 ACD 는 주어진 원에 내접하므로
사인법칙을 적용하면 C 의 사인값을 알 수 있습니다.
교육청 해설지를 보면
사분원을 포함하는 반원을 그려서
계산 과정을 좀 더 단축하였는데 ...
반원을 그릴 생각이 들지 않는다면
제가 위에 설명한 풀이 정도가
가능하지 않을까 생각합니다.
물론 다른 풀이가 있을 것입니다.
기하. 문제이니까요.
22. 조건 (가)에서 주어진 절댓값의 필요충분조건
|A|=B (필충) B>=0, B=A(>=0) 또는 -A(<0)
위의 필충조건을 워낙 많이 출제되어서
이제는 기계적으로 떠올라야 합니다.
(가)를 보고 나서 수 초 안에
함수 g(x) 는 함수 f(x) 의 증가 구간을 그대로 두고,
감소 구간을 접어서 내린 것.
이라는 생각이 들어야 하고.
(나) 에서 함수 f(x) 의 극소값 중 하나가 0 이어야 하고,
(즉, x축에 접해야 한다.)
g(x)h(x)
= (연속)*(연속)
= (불연속)*(연속) - (가)
= (연속)*(불연속) - (나)
= (불연속)*(불연속) - (다)
위의 네 가지가 모두
나올 수 있음을 예상해야 합니다.
(가), (나) 의 경우에는
연속함수의 함숫값이 0,
(다)의 경우에는
(함수 g(x)의 그래프 특성을 보고)
절댓값이 같고, 부호가 다른 함숫값
이 두 가지의 서로 다른 경우가 그려질 것임을
미리 예상하고 접근해야 합니다.
이와 같은 접근은
이미 평가원 기출에서
지겹게 출제되었으므로
머릿속에 탑재되어야 하겠지요.
그래프의 개형을 결정하고 나면
그 이후는 단순한 계산 입니다.
전체적으로
평가 요소가 정확하고,
군더더기 없으며,
난이도 또한 적절합니다만.
뻔하게 보이는 측면이 없지 않습니다.
< 확률과 통계 >
23. 확률의 덧셈정리
24. 이항정리
25. 부등식과 중복조합
26.
(가): f(1), f(2) 가 갖는 값에 1 이 포함되는 경우, 아닌 경우
(나): 치역에 1 이 포함되는 경우와 아닌 경우
(계산 과정에서 이 사고가 필요)
중복순열로 함수의 개수를 결정할 때,
포함과 배제의 이론을 적용해야 하는
전형적인 문제입니다.
27. 우선 108 을 소인수분해 하셔야 하고 ...
(나): 모두 같은 경우, 세 개가 같은 경우,
두 개가 (두 개 두 개 끼리) 같은 경우
의 세 경우로 구분하여 집합 {a, b, c, d}를 결정하고
같은 것이 있는 순열의 수로 순서쌍 (a, b, c, d)를 결정한다.
라는 생각이 문제는 읽고 나서 5초 안에 들어야 합니다.
그 정도로 반복되는 전형적인 상황이니까요.
28. 같은 것이 있는 순열 문제 중에서는
일렬 -> 2개 이상의 열
로 쪼개면 문제의 난이도가 높아지는 경우가 있는데요.
이 문제가 바로 그러합니다.
문제에서 주어진 조건대로 경우 나누고, 나열하면 되고 ...
빠진 경우, 중복되는 경우를 고려해서 조심스럽게
경우의 수를 계산하면 되겠습니다.
29. 교육청 해설지에서는 여집합으로 풀었던데.
가능한 경우가 세 가지 이므로
그냥 풀어도 계산이 많지 않습니다.
중복조합에서 방정식의 해의 개수를 구할 때,
각 문자가 짝수, 홀수인 문제는 전형적이지요.
이 문제도 크게 벗어나지 않습니다.
30. 수의 합에 대한 문제는
일단 몇 개의 수를 택해서 합해보는 것에서 출발합니다.
이 문제 역시 마찬가지 인데요.
(경우의 수 문제라는 것이 ...
원래 몇 개 써보면 풀이가 보인다. 입니다.)
7 + 6 = 13 > 12
이므로 7 은 절대 가운데 올 수 없습니다.
이런 식으로 가운데 오는 숫자를
6, 5, 4, 3, 2, 1
로 대입해보면, 가능한 숫자들이 추려질 것이고.
나머지는 문제의 조건에 맞게 원 위에 배열하면 됩니다.
< 미적분 >
23. 삼각함수의 이계도함수
24. 등차수열의 일반항은 텔레스코핑 계산이 끝난
이후에 대입하는 센스 정도는 있어야 하고요.
답을 구하고 난 이후에
일반항이 0 에 수렴하는 것까지
따진다면 꼼꼼한 당신 !
25. 두 점 사이의 거리 공식과 피타고라스의 정리가
결합된 문제입니다.
공통 문제에서도
이 기하적 상황이 중요하게 다루어졌지요.
26. 공비가 1 개가 아니라 2 개 주어졌다는
생각을 할 수 있어야 합니다.
a^n, b^n 이 주어지면 이게 뚜렷하게 보이는데.
이 문제처럼 a, b가 하나의 문자에 대한 함수로 표현되면
잘 보이지 않을 수도 있습니다.
각 범위에 따라서 함수 f(x) 의 방정식이 다르므로
무연근이 발생할 수 있음을 예상할 수 있어야 합니다.
27. 역함수의 미분법과 매개변수의 미분법이
물리적으로 결합된 문제입니다.
풀고 나면 별거 없습니다.
28. 후반부의 삼각함수의 덧셈 정리를 이용한 풀이는
사실 잘 보이기 때문에 어렵지 않고요 ...
(나)에서 주어진 방정식을 정리하면
f ' (x)g(x) + f(x)g ' (x) = 2f(x) -(가)
이고, (가)에서 x=k 를 주었으므로
위의 등식에 대입하면
x=k 가 한 해임을 알 수 있습니다.
그런데 문제에서 모든 해의 합이라고 하였으므로
또 다른 해가 있는 것이고 ...
(가)에 f(x), g(x), f ' (x), g ' (x)
의 방정식을 대입하면
식 * 식 = 0
의 꼴이 유도될 것에 대한 확신을 가질 수 있어야 합니다.
왜냐하면 그렇게 설계된 문제이니까요.
나머지는 맨 위에서 말한 것처럼
식의 모양을 맞추는
단순 계산 입니다.
29. 사인법칙+코사인법칙으로 해결할 수도 있고,
코사인법칙을 2 번 적용하여 해결할 수도 있습니다.
후자의 경우 ...
한 각을 공유하는 두 개의 삼각형
PAD, QAD
(각 D를 공유)
에서 코사인법칙을 2 번 적용하면 됩니다.
아니면 theta, 각D(=알파) 두고
사인법칙을 적용해도 됩니다.
이런 기하적 상황 역시 만들어 진 것은 아니고
이미 수 차례 출제된 바가 있습니다.
30. 작년 6월 30 번의 영향이 느껴지는 문제인데요.
상황 자체는 상당히 단순화되어서
풀이 설계가 눈으로 가능한 수준입니다.
|an| 이 감소함수이므로
ap >= alpha
가 너무 잘 보여서 ...
나머지는 단순한 계산입니다.
< 기하 >
23. 쌍곡선의 점근선
24. 내적의 성질 계산
25. 기하적인 상황이 중요하다기 보다는
계산을 열심히.
26. 쌍곡선의 정의와 일차 방정식의 계산
이에 대한 문제는 워낙 많아서 ...
방정식 세우기 전에 중복되는 문자는 치환한다.
라는 생각이 먼저 들지 않은가요. 이쯤 되면.
27. 결국에는 서로 평행한 세 직선을 그리고
포물선과 직선의 방정식을 유도하고
포물선의 정의를 적용하면 되는데.
이런 식의 기하적 설정이 과연 교육과정에서
의미가 있는 것인가 ? 하는 의문은 듭니다.
28. 이 문제는
수능에 바로 출제해도 좋을 만큼,
상당히 완성도가 높다는 생각이 들고요.
교육청에서는 세 번째 직선을 l1, l2 밖에 그렸던데 ..
아마도 문제 만드신 분은
|벡터AB - 1/4벡터| >= 12/4 = 3
으로 변형하는 것을 원한 것 같고 ...
그렇다면 두 직선 l1, l2 안에
세 번째 직선을 그리는 것이 자연스럽습니다.
벡터의 차의 정의, 점과 직선의 최소 거리,
한 각을 포함하는 두 직각삼각형
이 자연스럽게 결합된
매우 뛰어난 문제라고 생각합니다.
29. 포물선 2개가 결합된 문제들은
두 개의 준선을 각각 긋고,
포물선 위의 모든 점을 초점과 연결하고,
각 점에서 준선에 수선의 발을 내리고,
각 선분의 길이가 같음을 표시하면 ...
알아서 문제가 풀립니다.
이 문제 역시 이에 해당하고 ...
다만 점 P 의 y 좌표를
구하는게 잘 안 보일 수도 있는데.
같은 길이를 갖는 선분을 모두 찾으면
점 P의 x좌표가 보입니다.
30. 한 초점을 공유하는 타원에 대한 문제인데요.
이 문제도 타원 위의 각 점을 초점과 모두 연결하고,
선분의 길이를 문자를 이용하여 표현하고,
타원의 정의에 대한 등식을 쓰고,
이 등식들을 연립하면 ...
알아서 문제가 풀립니다.
다만 문자의 개수가 많아지는 것에 주의해야 하는데요.
이는 문제에서 주어진 기하적인 상황에서
같은 길이를 갖는 선분을 모두 찾아내면
저절로 해결됩니다.
다음 주 월요일에 좀 더 상세한 분석으로
찾아오겠습니다 ~!
주말 동안 열공 ~!
ㅎㅍ~
2025 이동훈 기출 사용법 (+실물사진)
2025 이동훈 기출 실전 개념 목차
(참고로 2025 이동훈 기출은 수분감 + 뉴런 포지션 입니다.)
[이동훈t] 학습법, 수학 칼럼 링크 모음 ('23~'24)
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