왜 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선은 직선인가
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당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가?
당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.)
먼저, 두 점
를 가져와 보자.
이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자.
곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서,
L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다.
L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자.
이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고
αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에
이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분
이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다.
그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이
가 된다. 이때,
이므로
적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다.
이를 부분적분해주면
이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다.
그렇다면,
이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면
이어야 하고, 그러면
가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.
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헉
이거보고수학과포기하기로했다
이거는 진짜 개쉬운건데...
글고 수학 아니고 물리에요
이건 변분법을 이용한 증명인데 실제로는 미분가능하지 않은 곡선도 있기 때문에 엄밀함을 추구하는 수학에서는 사용할 수 없는 증명이에요
이거보고물리학과포기하기로했다
오 그냥 최단 길이(대충 길이 값이 제일 작아서)여서 그런줄 알았는데 먼진 잘 모르겠지만 똑똑해보여요천천히 읽어보시면 그렇게 어려운 내용은 아니에요 ㅎㅎ
그냥 고등학교 적분규칙정도만 잘 알고 있어도 이해 가능티비
이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함
그거는 트롤로 가는 직선 경로
이거보고 케인코 미분했다
기울기가 -3000이라네요~근데 왜 시간이 갈 수록 코 크기가 안 줄어드나요
기울기는 -3000이지만 이미 코 크기가 26.7Gpc이라 작아지는게 안보이는 나