당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가? 당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.) 먼저, 두 점 를 가져와 보자. 이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자. 곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서, L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다. L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자. 이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고 αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에 이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분 이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다. 그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이 가 된다. 이때, 이므로 적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다. 이를 부분적분해주면 이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다. 그렇다면, 이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면 이어야 하고, 그러면 가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.

이거보고수학과포기하기로했다

오 그냥 최단 길이(대충 길이 값이 제일 작아서)여서 그런줄 알았는데 먼진 잘 모르겠지만 똑똑해보여요

이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함

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설물리블링크 [993175] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2024-04-30 16:28:22
조회수 2,639
7

왜 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선은 직선인가

게시글 주소: https://orbi.kr/00067964512

당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가?

당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.)

먼저, 두 점

$KHhfMSwgeV8xKSwgKHhfMsQMMik=$

를 가져와 보자.

이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자.

곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서,

L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다.

L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자.

$eT15XzAoeCkrzrHOtyh4KQ==$

이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고

αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에

$zrcoeF8xKT3FCDIpPTA=$

이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분

$XGZyYWMge1xwYXJ0aWFsIEx9ygzOsX09MA==$

이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다.

그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이

$XGludCBfe3hfMX1ee3hfMn0gIFxzcXJ0ezEreSdeMn1keA==$

가 된다. 이때,

$eSc9eV8wJyh4KSvOsc63xAk=$

이므로

$XGZyYWMge1xwYXJ0aWFsIEx9ygzOsX09IFxpbnQgX3t4XzF9Xnt4XzJ9ICDPNM4yIFxzcXJ0ezEreSdeMn1keFxc30TGOstFeSfPRdEteSfOdMRmCtxnxTHMU33OtycoeClkeA==$

적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다.

이를 부분적분해주면

$XGludCBfe3hfMX1ee3hfMn0gIFxmcmFjIHt5J317XHNxcnR7MSt5J14yfX3OtycoeClkeD1cYmlnZ3Jb2ykoeCnGJV3MXC0g2m9kfXtkeH0gxjYo2VvGICnFYmR4$

이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다.

그렇다면,

$LSBcaW50IF97eF8xfV57eF8yfSAgXGZyYWMge2R9e2R4fVxiaWdncijHFHknfXtcc3FydHsxK3knXjJ9xyApzrcoeCk9MCwgXHRleHR7d2hlbn0gXCDOsT0w$

이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면

$XGZyYWMge2R9e2R4fVxiaWdncijHFHlfMCd9e1xzcXJ0ezErxA5eMn3HJCk9MA==$

이어야 하고, 그러면

$XGZyYWMge3lfMCd9e1xzcXJ0ezErxA5eMn19PUM=$

가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.

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꺾이지 않는 마음 · 1193639 · 24/04/30 16:29 · MS 2022

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오늘보다나은내일 · 1129690 · 24/04/30 16:32 · MS 2022

(뒤로돌아가기)

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설물리블링크 · 993175 · 24/04/30 16:32 · MS 2020

헉

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갑종배당이자소득세 · 1149551 · 24/04/30 16:34 · MS 2022

이거보고수학과포기하기로했다

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설물리블링크 · 993175 · 24/04/30 16:34 · MS 2020

이거는 진짜 개쉬운건데...

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설물리블링크 · 993175 · 24/04/30 16:35 · MS 2020

글고 수학 아니고 물리에요
이건 변분법을 이용한 증명인데 실제로는 미분가능하지 않은 곡선도 있기 때문에 엄밀함을 추구하는 수학에서는 사용할 수 없는 증명이에요

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갑종배당이자소득세 · 1149551 · 24/04/30 16:44 · MS 2022

이거보고물리학과포기하기로했다

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木星 · 1155675 · 24/04/30 16:45 · MS 2022

오 그냥 최단 길이(대충 길이 값이 제일 작아서)여서 그런줄 알았는데 먼진 잘 모르겠지만 똑똑해보여요

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설물리블링크 · 993175 · 24/04/30 16:45 · MS 2020

천천히 읽어보시면 그렇게 어려운 내용은 아니에요 ㅎㅎ
그냥 고등학교 적분규칙정도만 잘 알고 있어도 이해 가능티비

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므급야이식은 · 1130019 · 24/04/30 17:03 · MS 2022

이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함

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설물리블링크 · 993175 · 24/04/30 17:10 · MS 2020

그거는 트롤로 가는 직선 경로

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oilozz · 1110146 · 24/04/30 17:10 · MS 2021

이거보고 케인코 미분했다

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木星 · 1155675 · 24/04/30 18:13 · MS 2022

기울기가 -3000이라네요~

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oilozz · 1110146 · 24/04/30 18:14 · MS 2021

근데 왜 시간이 갈 수록 코 크기가 안 줄어드나요

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설물리블링크 · 993175 · 24/04/30 18:16 · MS 2020 (수정됨)

기울기는 -3000이지만 이미 코 크기가 26.7Gpc이라 작아지는게 안보이는 나

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