수학질문) 연속함수의 성질

Question

f(x)가 구간별 함수로 주어지고, x=1에서 불연속이고,

g(x)가 실수전체의 집합에서 연속임이 확실할 때

f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속임이 되도록

하려면..

f가 불연속인 지점이 x=1이고 g가 실수 전체에서 연속이기에

f(x)g(x)가 실수전체에서 연속이려면 x=1인 지점의 연속성을 체크해야한다. 이렇게 생각ㅎㅐ야하나요?

개념적으로는 “f(x),g(x)가 한 점에서 연속이면

합차곱몫꼴 모두 그 한점에서 연속이다.” 인데

두 함수가 모두 실수전체에서 연속이면 -> +-*%꼴 모두 실수전체에서 연속이다. 라는 명제가 반드시 참인가요?

그런데 이 문제에서 f가 x=1에서 불연속이라

곱꼴에서 x=1에서의 연속성을 조사하는건가요??

연간커리큘럼 · Accepted Answer

정석풀이는 연속임을 판명하기 위해서 좌 우 함수값을 다 따져야 하지만
일반적인 경우엔 불연속 함수에 곱해져 있는 다른 함수가 불연속 지점에서 0이 된다면
좌우함수값 모두 같아지므로 gx가 0이 되게 하는 경우를 생각하시면 돼요

그리고 두 함수가 모두 연속이라면 플마곱몫 다 연속입니다 몫함수 분모가 0되는 경우 제외

샤이잉 · Answer

경우를 나눠보면...
f(x)는 x=1 제외하고는 실수전체연속(다항함수) , g(x)도 연속함수

i)f(x)가 x=1연속일 경우

연속함수x연속함수이므로 당연히 연속

ii)f(x)가 x=1불연속일 경우

f(x)가 x=1에서 좌우극한이 다르거나, 좌우극한과 함숫값이 달라서 불연속이 되는 것인데
g(1)=0이면 좌우극한과 함숫값이 무엇이든 전부 곱해서 0이 되므로 연속

_허수 · Answer

x=1빼곤 다 연속이 확실해서 1만보는거

수학질문) 연속함수의 성질

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