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숙​극곰 [990122] · MS 2020 · 쪽지

2024-03-22 22:12:26
조회수 3,336

3덮 15번 접근&발상 관련

게시글 주소: https://orbi.kr/00067660984


풀어봤는데 옯 반응보고 갑자기 할말이 좀 많아져서 글 남김


만약 저 조건에서 탁 막혔다면 한번 읽어보길 권함


푼사람들 보라고 쓴 글보다는 못푼사람들 보라고 쓴 글임




comment


함수가 자기 자신으로 정의되는 조건은 아주 사골도 안나올정도로 이미 수십번 우려먹은 테마임


이를 생각해내지 못했다면 스스로에게 한번 되물어보자



나는 지금까지 기출을 너무 등한시하지 않았는가


능동적으로 생각하지 않고 강의나 교재에서 주는것만 받아먹는 공부를 하지는 않았는가


양치기가 답이라는 말에 혹해서 냅다 그냥 문제만 풀어대지는 않았는가


문제풀고 채점 딸깍 하고 끝. 따위의 편한 공부만을 추구하지 않았는가


코멘트도 코멘트지만 이자리를 빌어 요즘의 양치기메타에 대해 한가지 문제의식을 좀 심어주고 싶음


무지성 양치기만이 곧 답이라는 것은 일정수준 이상의 실력을 갖춘 사람에게나 해당된다고 생각함

구체적으로 그 실력이란 웬만한 준킬러 수준의 문제는 풀고 오답 한번 해주는 것만으로 출제 아이디어가 파악되는 정도의 분석력&직관을 의미

성적대로 따지면 최소 가형1컷, 통합 백분위 98 이상?

그 아래 성적대에게 무지성 양치기는 오히려 독이라고 생각함


왜냐? 그정도 수준이 되면 그때부터는 무지성 양치기가 아니기 때문

문제를 풀기만 해도 문제에서 얻어갈 요소를 금방 잡아채기 때문에 겉으로 보기엔 무지성처럼 보이지만 실은 아주 지성적인 양치기를 하고 있는 중인 거임


반면에 그 아래 등급대의 양치기는 말 그대로 무지성 양치기임

아무리 질좋은 문제를 들입다 풀어제낀들 흡수력이 떨어지면 아무것도 얻어가지 못함


본론으로 돌아와서, 함수가 자기 자신을 정의하는 유형은 특성상 여러가지 응용 및 변형버전이 있는데


그중에서도 가장 전형적이고 기초적인 유형은 바로 이 유형임




보다시피 f(x)의 정적분값이 다시 f(x)를 정의하고 있음

f(x)가 뭐에요? 묻는데 음 f(x)의 정적분값 더하기 어쩌고에요 라고 대답함

아니 그니까 거기 안에 든 f(x)가 뭐냐고요

음 f(x)의 정적분값 더하기 어쩌고라니까요 


(전혀 관련없지만 1루수가 누구야가 생각난다)



이문제는 대부분 풀이를 외웠기 때문에 4등급도 금방 풀어내지만

처음 접하면 이런 이유로 뇌가 막 꼬이기 시작함


이와 같은 재귀적 정의 문제를 해결하는 아이디어는 

"재귀" 부분의 의미를 두 가지로 분리해서 바라보는 데서부터 시작함


곧,

위의 유형에서는 저 "정적분값"이 2가지 의미층위를 갖는데

첫째. f(x)의 상수항

둘째. f(x)의 정적분값

이 두 의미를 따로 분리해서 보는 것


p = 정적분값

f(x) = 3x²+2x+p


이렇게 두면 상당히 직관적이고 깔끔해짐

이제 두 식을 엮으면 ok


님들이 외운 통상적인 그 풀이법에는 이러한 원리가 감추어져 있음


여기서 좀더 나아가면

" 굳이 분리해서 바라봐야 하나? 두 조건을 바로 엮을수는 없나?

어? 좌우변에 똑같은 무언가를 만들면 바로 엮을 수 있겠는걸?"


따위의 생각을 할 수 있음


따라서 위의 항등식에서 양변을 0부터 2까지 정적분해보면 

p 따위로 라벨을 붙여두고 푸는 것보다 훨씬 간단하게 풀리지



여기서 두가지를 알수있음

1. 재귀적 정의가 등장하면 2가지 의미를 분리해서 바라보자

2. "같은 것"을 만들어 바로 그 2가지 의미를 연립하자


그러면 이제 여기서 훨씬 어렵게 꼬아서 변형한 문제도 접근할 실마리가 생기는거지


더해서 

이해가 빠른 사람이면 벌써 눈치챘겠지만 이 재귀 아이디어를 문제에 잘 녹여내면 

발문과 조건은 짧고 간결한데 풀이는 어려운 참신한 문제도 만들 수 있음






물론 이 문제에서는 그걸 알아도 당황할 수 있음

f(1)과 f'(x)를 어케 같게 만들지?


이건 다른 얘기지만 사실 이것도 기출 열심히 봤으면 f'(x)를 정적분해야겠다는 생각이 들기 쉬웠을거임


왜냐면 이것도 생소하긴 하지만 상당히 자주 나온 발상이거든

특히 옛기출, 증명문제 같은 곳에서 

예컨대,





이문제 수식으로 한번 풀어보셈 

그래프 전혀 쓰지 말고



답은 아래에 있으니 참고












보면 F(x)를 f(x)의 한 부정적분이라고 할때

양변을 적분하면 f(x)는 F(x)에 관한 값으로 한단계 업그레이드(?)되지만 좌우변의 함숫값과 미분계수는 상수배만 된다는 점

이에 따라 함숫값 대소 부등식이 정적분값과 함숫값 대소에 관한 부등식으로 바뀐다는 점에서

적용되는 아이디어가 상당히 유사함



뒷북수학 아니냐 할 수 있는데

나는 정말로 맨 위에 올린 사진에 적은 사고과정대로 그냥 보자마자 적분때렸고 

풀이 적다가 080911 바로 생각났음






결론


무지성 n제 실모 양치기는 결코 모든 문제를 해결해주지는 않는다

날카로운 통찰력을 갖추고 싶으면 평소에 문제를 '뜯어보는' 연습을 많이 하자



아 그리고 한가지 더 덧붙이고 싶은 말이 있는데

문제 안풀리면 걍 빨리 해설보고 발상 외우는 식으로 공부하라는 말도

이것도 수능 한두달전 파이널 기간이나 컨텐츠 밀린거 많을때나 해당한다고 생각함

수학에는 단순히 해설 훑고 습득하고 넘어가는 것만으로는 체득할 수 없는

어려운 문제를 붙들고 두시간 세시간씩 끙끙대면서 고민하는 과정을 통해서만 얻어지는 무언가가 있다고 생각하고

앞서 말한 것과 같은 "뭐든지 빨리빨리" 공부법은 당장은 편할 것이고

또 당장은 전형적인 문제를 해결하는 데에 도움이 되겠지만

결국 수능날 시험장에서의 긴박감 속에서 

241122이나 241128같이 머리써야 풀리는 문제를 

순간적인 직관으로 핵심을 꿰뚫고 타다닥 해결하는 그런 수학적 사고력은 결국 1년동안 머리싸매고 끙끙댄 결과로부터 온다고 생각

예전 가형 100 괴물들도 다들 그렇게 공부했고


뭔가 글이 상당히 두서없고 조리없는 듯하지만 고치기는 귀찮으니 여기서 마친다



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숙​극곰 [990122]

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