물2 관상용 문제 해설
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저번에 만든 물2 관상용 자작 문제 즉, 케플러 법칙을 갖다가 온갖 난리를 피웠던 괴랄한 문제를 해설해보겠습니다. 만약 당신이 이 문제를 해설을 보지 않고 먼저 풀어보고 싶다면 밑으로 성급히 내리지 마세요. 밑으로 내리면 정답과 문제 접근 방법, 그리고 해설이 있습니다.
아래는 그 문제의 모습입니다.
무시무시하죠? 이걸 대체 어떻게 풀라는 걸까요?? 심지어 ㄷ은 n에 대한 함수 꼴로 표현해야 해서 ㄱ, ㄴ과는 다르게 매우 어렵습니다. 지금부터는 제가 정리한 그림을 보면서 해설을 시작해보겠습니다.
정답은......
3번입니다.
먼저 위성의 개수가 홀수일 때를 보겠습니다. 편의상 n=2k-1 (단, k는 2 이상의 자연수)로 두겠습니다. 이때 이 k는 ㄷ에 있는 답의 k와 상이합니다!
위성에 번호를 부여할 건데, 2k-1을 기준으로 시계방향으로 각각 1, 2, 3, ..., k-1, k, ..., 2k-2 이런 식으로 각 위성에 번호를 붙이겠습니다. 우리는 번호가 2k-1인 위성에만 집중할 것입니다. 1과 2k-1 사이의 중력을 구해봅시다. 그러면 각 위성 사이의 거리를 구해야 합니다. 어떻게 하냐고요? 먼저, 위성 1의 위치를 A, 기준점 위의 위성 2k-1의 위치를 B, 행성의 위치를 M이라고 하면, 각 AMB의 크기는... 각 위성들이 이루는 모형은 정(2k-1)각형이므로 그림의 세타1의 식이 성립하고, 이 식은 각 1M2, 각 2M3, 각 (2k-1)M(2k-2)에도 똑같이 적용됩니다. 그러면 그림처럼 2k-1과 다른 위성 사이의 거리를 구할 수 있습니다. 여기서 각 2M(2k-1)은 각 1M(2k-1)의 2배인데, 그 이유는 호 21과 호 1(2k-1)의 길이가 같기 때문입니다. 또 중요한 열쇠가 있는데, 2k-1과 1 사이의 중력과 2k-2 사이의 중력의 합은 행성 쪽을 바라본다는 것입니다. 이 사실을 이용하면 그림처럼 2k-1의 다른 위성들에 의한 중력의 합을 구할 수 있습니다.
즉, 위 식이 n이 홀수일 때의 위성의 주기입니다.
이제 n이 짝수일 때를 봅시다.
이것도 위의 방식과 비슷합니다. 그러나 n이 홀수일 때와는 다르게 기준 위성(2k)과 k를 잇는 직선은 행성의 중심을 지나는데, 이는 기준 위성의 두 위성에 의한 중력의 합을 구하는 방식을 사용할 수 없다는 뜻이므로 이걸 주의해야 합니다.
즉, 위 식이 n이 짝수일 때 위성의 주기입니다.
정리하면
n이 3 이상의 홀수일 때
이며,
n이 짝수일 때
임을 알 수 있습니다.
ㄱ을 확인해봅시다.
ㄱ 맞네요.
ㄴ.
오답이네요.
ㄷ은 위에서 제가 식을 증명했죠? 정답.
따라서 최종적인 정답은 ㄱ, ㄷ. 즉, 3번.
해설이나 그림에 오류가 있으면 즉시 보고해주세요.
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