신기한 수학적 대상들 (ft. 프리드버그 선형대수학)
게시글 주소: https://orbi.kr/00067231862
1. 다항식의 나눗셈 정리 (division algorithm for polynomials)
자연수 n과 음이 아닌 정수 m이 있다.
n차 다항식 f(x)와 m차 다항식 g(x)에 대하여
다음을 만족하는 다항식 q(x)와 r(x)가 유일하게 존재한다.
이때 r(x)의 차수는 m보다 작다.
--> 이것을 통해 수학(상) (22개정부터는 공통수학1) 에서 다루는
다항식의 나눗셈 결과가 유일함을 확인할 수 있습니다.
수능까지 도달했다가 고1 과외를 위해 복습해보신 분들은
한 번쯤 '이 결과가 유일한가'라는 질문을 스스로에게
던져보지 않으셨을까 생각해봅니다. 저는 그랬습니다.
2. 다항식의 인수분해의 유일성
차수가 자연수인 임의의 다항식 f(x)에 대하여
다음을 만족하는 유일한 상수 c, 서로 다른 유일한
기약(irreducible, 차수가 자연수이고 어떤 체의 원소를 계수로 가지며,
자연수 차수를 가지는 다항식의 곱으로 표현되지 않는 성질) 모닉(monic,
최고차항의 계수가 1인 다항식. 일차식) 다항식
, 유일한 자연수
가 존재한다.
--> 이것을 통해 마찬가지로 다항식을 인수분해한 결과가
유일함을 확인하고 넘어갈 수 있습니다.
3. 복소수에 관한 이야기
- 복소평면은 우리가 일반적으로 사용하는 직교좌표계에서와 마찬가지로
두 축으로 구성된다. x축 자리에 실수축, y축 자리에 허수축이 위치하곤 한다.
따라서 어떤 복소수의 실수부, 허수부는 각각 복소평면에 대응되는 벡터의
종점의 x좌표, y좌표가 된다.
- 복소수는 복소평면의 벡터로 생각할 수 있다.
- 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈에 대응한다.
- 복소수의 곱셈 결과에 해당하는 벡터는 각 벡터(복소수)가
실수축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 모두 더한 크기의 각을 지닌다.
- 이외에 아래의 식을 확인하라!
이때 e^(i@)는 복소평면에서 크기가 1이고
실수축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 @인 벡터이다.
즉, 단위벡터이다.
따라서 모든 복소수를 다음과 같이 이해할 수 있다.
--> 고등학교 1학년 교육과정 밖의 내용이 조금 섞여있지만
이를 이해함으로써 복소수에 대한 보다 넓은 시야를 갖출 수 있습니다.
4. 대수학의 기본 정리
먼저 미적분학의 기본 정리(the fundamental theorem of calculus)는 다음과 같다.
FTC1:
FTC2:
비슷한 이름인 대수학의 기본 정리(the fundamental theorem of algebra)는
다음과 같다.
복소수체 C에 대한 벡터공간 P의 다항식
--> 이를 통해 복소수 범위에서 모든 다항식은
식의 값이 0이 되도록 하는 독립변수값이 존재함을 알 수 있습니다.
보통 고등학교 수학에서는 실수 범위에서 이야기를 이어가기에
차수가 홀수인 다항식은 사잇값 정리(the intermediate value theorem)를 통해
근의 존재성을 직관적으로 확인할 수 있는 데에서 그치지만,
대수학의 기본 정리를 확인함으로써 복소수 차원에서 다항식은
항상 해를 갖는다는 사실을 보다 명확히 인식할 수 있겠습니다.
5. 체, 벡터공간, 다항식에 대하여
먼저 체의 정의는 다음과 같습니다.
그리고 벡터공간의 정의는 다음과 같습니다.
이에 따른 다항식의 정의가 다음과 같습니다.
--> 이를 통해 수학(상)에서 다항식을 공부할 때
다항식의 무엇이냐라는 정의에 대한 질문에 보다
체계적으로 답할 수 있을 것이라 생각합니다.
이전에 위키백과에서 확인한 바로는
f(x)=0의 경우 차수를 정의하지 않거나 -무한대로 정의한다고
확인했던 기억이 있는데 프리드버그 선형대수학 교재에서는
-1차로 정의하고 있네요!
p.s. 수학을 공부하다 보면 A를 설명하기 위해 B가 필요한데
B를 설명하기 위해서는 A가 필요한 그러한 상황을
맞이할 수 있다고 느꼈습니다. 물론 배움이 부족하여 그렇게
느끼는 것일테지만 이러한 상황에서 수학적 대상이라는 표현이
도움이 될 수 있다는 생각이 들었습니다.
물론 수학적 대상이라는 것도 인간이 언어를 발명하고
수학과 대상이라는 단어의 의미를 정의한 후에
비로소 의미를 지니게 된 표현이겠지만...
인간은 내가 직접 감각하는 것들 외에는
어떠한 개념의 유래, 발생 과정 등에 대해
확신을 갖지 못할 때가 있지 않습니까?
어느 정도는 이해하지 못했다는 느낌을 안고 넘어가는 것도
학습을 이어가는 데에 도움이 될 수 있지 않을까 하는 생각을 해봅니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
국어 잘하고 싶다.. 정법아 날 배신하지 말아줘 문돌이 맞나 더프에서 4이상을 맞아본적이 없네..
-
단기 화학 과외선생님을 구합니다. - https://orbi.kr/00068757591
-
너무못알아듣길래답답해서..ㅠ 그러게누가고3모고갖고와서풀래!!!
-
종강날까지 반수 생각 없다가 종강 이후에 수능판 들어온 케이스인데 동아리 갑자기...
-
애니프사 혐오를 멈춰주세요
-
태풍에서의 풍향 변화를 배울 때는 아래 그림처럼 저기압 중심을 향해 바람이 들어가는...
-
고2 수학 0
정시파이터고 방학에 고3기출 돌리려는데 자이스토리가 좋을까요 아님 마플 기출이 좋을까요??
-
계간지 가을호엔 0
난이도 높은 지문이 많이 수록되었으면 좋겠네요 여름호는 학평 기출이 넘 많았음 ㅠ
-
독서는 한두개 틀리는데 문학은 25-30분 걸려서 다 풀어도 10개씩 틀려요 ;;;
-
메디컬 종합전형에서 괜찮나요 동아리랑 진로는 그래도 잘 써준거같은데 자율에는...
-
그냥 게시물로만 봤던 분들이 댓글을 달아주시니 신기하네요 12
뭔가 유명인 만나는 느낌..
-
[오픈 캠퍼스 투어 안내] 안녕하세요 함께 꿈을 이루어나가는 서울시립대학교 홍보대사...
-
카톡 오픈채팅으로 인증하실 분 구합니다 서로 끝까지 지켜봐요
-
학원을 꼭 다녀야한다면 이유도 함께..ㅎㅎ
-
현재 점수대는 70후반~80초반 정도 나오고 있으며, 공통은 2~3문제 제외하고 잘...
-
산에있어서 공기가 맑아서 그런거같음 ㄹㅇ 별거아닌이유라고 생각할지모르겠는데 서울대...
-
어느새부터 일반피자는 치즈가 거의 없어졌어..
-
준킬러 기조에 강화되어있는 테마별 방법론을 아시는분께 단기적으로 과외받고싶습니다....
-
실전강의로 공식, 실전개념, 발문해석 6~7초 수완으로 계산 매꾸기...
-
수능 응시생들이 재능 없으면 뭣도 안된다는 현실 깨닫고도 미련하게 수능판 남아있는게...
-
흐엉
-
하사십은 너무 어려울까요??? 시험만보묜 점수가 별로 안나와서 미니모고 형태인...
-
설맞이 vs 드릴드 고민중
-
씁 아무리 6모 나름 괜찮게 보고 더프는 사설이라 하지만 그래도 이건 신경을...
-
친구고민이에요 재수때 수능날 의대갈성적받고 수시납치당해서 약대갔는데 이미 학교...
-
이번주에 반수상담 되게많이 오던데… 6월쯤부터 시작하는줄
-
화가난다!!
-
새벽에 들으실분 공유 해드림. 싸게 답장 주세요
-
애기때 세례받고 어릴때부터 복사했는데 안나간지가 오래되어서 오랜만에 다시 다니고 싶네요..
-
지인선 도형 문제랑 좀 유사하네요 갓 인 선
-
시발점만 하고 적당히 예전 기출 좀 푼 상태로 시냅스 풀리는데 (챕터당 2-3문제...
-
문학 유네스코 최근기출은 다했는데 이제 옛기출이랑 n제중에 뭐부터 하는게 맞을까요
-
뜨는이유가 뭔가요? 풀이스타일이 어떤가요
-
If learning to communicate with others is a...
-
공부는 재능인걸 깨닫는거같음 운동이나 예술에 비할 순 없지만 공부도 재능의 영역이 꽤 큰듯
-
더 공부하면 잘할 수 있을 거 같은데.. 이런 생각하지말고 120일 남아있음에...
-
천만덕 가쥬아
-
으르르르르캬ㅑ캬야캬야컁
-
그냥 자요 금지
-
42일차
-
작년에는 빨리 해 주더만 왜 이러지
-
아이도루와합방
-
교재 없이 필기하면서 들어도 괜찮은가요? 노베이스 문해원 들었었는데 다 칠판에 띄워주는것 같아서요
-
공부어케해야할까요?ㅠㅠ 6모는 국어때매 망함+N수생.. 때문인 것같고 7모는...
-
근데혼자해외가본적없어서무서움
-
글쓰기는 좀 그런 내용이거나 글 일일이 삭제하기 귀찮을때 글 굳이 안싸질러도 하루...
-
펌은 무조건 브랜드 미용실 가는 게 맞는데 단순 커트는 오히려 블루클럽이 더...
고딩때 벡터 배울 때 벡터의 연산을 합이랑 스칼라곱을 배우는데
이걸 일반화시켜서 합이랑 스칼라곱이 잘 작동하는 공간의 원소를 벡터
내적도 뒤에 보면 똑같이 일반화함
n-tuple에 대해 같은 순서에 해당하는 원소끼리 곱하여 모두 더한다 <-- n차원 벡터공간에서의 내적의 정의
field를 선대에서도 언급하고 가나요? 선대본지 오래돼서 가물가물
강의는 아직 들어보지 못해 잘 모르겠습니다, 본문에 활용한 교재의 경우 첫 단원에서 벡터 공간을 정의할 때 체를 언급하고 맨 뒷 부분 부록에 소개해두었더라고요!
잘 기억은 안나는데 프리드버그가 확실히 수학과에서 쓰기 좋다던데 세밀하네요... 선대군엔 있었던거같기도? 없었던거같기도. 제가 배울때 썼던 strang에는 없었던거같음.
먼 나라 이웃 나라