누가누가 잘찍나(수학 ver.)
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다음 중 존재할 수 없는 함수는?(3개)
특별한 조건이 없는 모든 함수는 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 함수입니다.
5번에서 연속함수의 수열은 f1(x)=x, f2(x)=x^2, ...fn(x)=x^n처럼, 자연수의 집합과 일대일대응을 이루는 함수들의 집합을 말합니다. 이런 수열의 ’극한‘인 함수 f(x)는, 정의역 내의 모든 점 a에 대해
를 만족시키는 함수로 정의됩니다.
위의 예에서 보듯이, f(x)는 연속이지 않을 수 있습니다(등비수열의 극한에 따라 x<1에서 f(x)=0, f(1)=1).
요즘 오르비가 참 시끄럽네요... 나이 많으신 저렙노프사분들이 많이 유입되신 듯 하네요 ㅋㅋ
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1 가능.
2,3은 가능 여부 동일
나머지는... 잘 찍자 난 모르겠다
과연 동일할까요어라
2 가능 3 불가능인가요?
2 불가능 3 가능이 더 확률 높지 않을까요
전 이런 거 몰라요 ㅠㅠ
저도 2찍음뇨(그 2찍 아니다)
이게 무슨 함수인진 잘 모르는데
유리수는 1을 포함하고 있으니까
확실한건 유리수를 정의역 집합의 원소로 두면
끊기는 지점이 필연적으로 나올거같기도
찾아보니까 3번은 존재하네요. (토메함수)
근데 이런건 어디서 배우는 건가요
여기저기서... 요즘 올리는 건 대부분 위상수학 하면서 배우는 내용이에요
6은 유명한함수같은데 기억이안나네요
2학년 수학때 알려주신거 아닌가 ㅋㅋㅋㅋㅋ
특목고나오심?
자사고입니다!
기억났소바이어슈트라스
Weierstrass
1.바이어슈트라스함수
2,3. 디리클레함수? 기억이잘안나는데 머가잇긴했음
아 불연속이구나
미분불가로봄
그럼 1.의 예시도 병리적함수로 정의가능할듯
1번이 디리클레 함수고 6번이 바이어슈트라스 함수일 거예요
그렇네요
126이되는거같으니까 345인가?
3은안될꺼같고 45는모르것다,,
해설(답 2, 4, 5)
1, 3, 6: 각각 디리클레 함수, 토메 함수, 바이어슈트라스 함수에 해당합니다. 1, 6은 꽤 유명해서 들어보신 분도 있을듯...
2. 실수 전체의 집합에서 정의된 임의의 함수의 불연속점의 집합은 폐집합들의 countable한 합집합으로 이루어져야 합니다.(증명은 도저히 여기에 간단히 쓸 수가 없네요...). 이때, 무리수 전체의 집합에서 함수가 불연속이라면 무리수 전체의 집합이 열린구간을 포함하지 않는 폐집합의 countable한 합집합일 텐데, 유리수 하나가 포함된 폐집합들 각각을 이 합집합에 포함시키면 결국 실수 전체의 집합을 interior가 공집합인 폐집합들의 countable 합집합으로 나타내게 되고, 이는 실수 공간이 베르 공간임에 모순입니다.
4. invariance of domain에 따라 불가능합니다.(걍 찾아보시면 사실상 저걸 불가능하다고 하는 게 내용인 정리로, 증명 자체는 군 이론과 위상수학을 통해 가능합니다)
5. 이건 생각해 보니 어차피 써도 안읽으실듯... 2번이랑 비슷하게 결국 실수 공간이 베르 공간임을 써서 모순을 유도해내는 방식입니다. 정확히 말하자면, 연속함수의 수열의 극한인 함수의 연속점은 실수 전체의 집합에서 dense함을 유도할 수 있고, 따라서 그 집합의 여집합인 불연속점은 열린구간을 포함하지 못합니다.
이야 일단 245로 찍었는데 맞았네 ㅋㅋㅋㅋㅋ 재밌는 정보 고마워요!!
논리적으로 풀었는데 맞음 짜스