수열의 극한 질문
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그림과 같이 극한의 수렴 성질을 바로 적용할 수 있나요??
'발산 × 발산 = 수렴' 일수도 있지 않나요??
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근데 무한대 x 0꼴이 수럼되니까 저건 제곱이라 아닌경우같에요
'진동 × 진동 = 수렴' 인 경우도 있긴해서...
교과내용을 토대로 연역적으로 도출될 수 있는 상황인지 궁금했습니다 ㅎㅎ
넵, 단정할 수 있습니다.
a_n이 음의 무한대로 발산하므로 N 이상인 모든 자연수 n에 대하여 a_n < 0인 자연수 N이 존재합니다. 그러면 N 이상인 모든 자연수 n에 대하여 b_n := a_n / sqrt(n) < 0입니다. 좌표평면에서 이차함수 y=x^2의 그래프와 직선 y=9를 그리시고, 두 교점 (-3, 9), (3, 9)를 표시해봅시다. 그리고 x축의 "음의 방향" 위에 있는 b_n (n>=N)의 항들을 생각해봅시다. 이 수열이 -3으로 수렴하지 않으면 그 항들을 제곱한 수열, 즉 (a_n / sqrt(n))^2은 9로 수렴하지 않습니다. 따라서 b_n은 -3으로 수렴합니다. 더 나아가서 그러한 수열 a_n의 존재성까지 걱정하신다면 a_n =- 3 sqrt(n)이 있겠고요.
다른 표현으로 설명하자면, b_n := a_n / sqrt(n)이라 하면 (b_n)^2이 9에 수렴하고 함수 f(x)=sqrt(x)는 x=9에서 연속이므로 f( (b_n)^2 )은 f(9)에 수렴합니다. 즉, 수열 | b_n |은 3에 수렴합니다. 그러므로 b_n은 -3에 수렴하거나, (극한점(limit point)이 -3과 3으로서) 진동하거나, 3에 수렴해야 합니다. 이때 b_n이 -3에 수렴하지 않는다면 a_n= sqrt(n) b_n이 음의 무한대로 발산하는 것에 모순입니다.
정성 ㄷㄷ 수학 잘하시네요