[칼럼]논술에서도 쓸일 없는 테일러 급수 증명법 (ver.고등학생)
게시글 주소: https://orbi.kr/00066474042
첫 글 쓴지 얼마 안되서 두번째 글을 써보네요... 그리고 이륙 지원해주신 분들 모두 감사합니다!
제목대로 테일러 급수는 사실 논술에서도 써먹을 기회 자체를 거의 주지 않습니다... 하지만 난 극한 문제를 풀 때 테일러 급수 매번 쓰면서 너무 찝찝했다! 하시는 분들은 한번쯤 읽어 보시면 좋을 것 같습니다.
테일러 급수란 초월함수를 다항함수의 합으로 나타내는 방법입니다. 예를 들자면
과 같은 식의 방정식입니다. 이를 전개하면
과 같은 모양이죠. 여기서 우리가 주로 쓰는 부분은 이차항 이상의 부분을 싹 다 잘라내고
로 근사한 부분입니다. x가 0에 가까워질수록 1차항보단 2차항 이상의 부분의 오차가 매우매우매우 작아지기 때문에 이렇게 근사할 수 있는 것입니다.
그럼 지금부터 테일러 급수의 증명을 간단하게 적어 볼게요.
급수로 구하고자 하는 함수를 f라 둘게요. 고등학교 과정에서 배우는 모든 초월함수는 무한히 미분 가능하니 f도 무한히 미분 가능하다고 두죠. 그러면 미적분의 기본정리에 의해
가 성립합니다.
위 식을 부분적분하는데 u=f'(t), v'=1로 두고 적분상수 C=-x로 두면 다음과 같은 전개가 가능해집니다.
v'=1이면 v를 적분하면 t+C가 나오죠. 여기서 적분할 인자는 t이기 때문에 적분상수를 x로 둘 수 있게 됩니다.
자. 이번엔 오른쪽의 (t-x)f''(t)를 다시 부분적분해 보겠습니다.
여기서 f 위의 괄호 안의 숫자는 f를 미분한 횟수를 표현하는 방법 중 하나입니다. '(dot)을 많이 찍다 보면 갯수 세기가 불편하잖아요?
한번 더 전개하면
이를 계속 반복하다 보면 이러한 규칙이 생깁니다.
이렇게 다 더하면
라는 식이 나옵니다.
함수 f는 무한히 미분이 가능한 함수라 가정했고 대부분의 초월함수가 실제로 그 조건을 만족하므로 n은 무한히 커질 수 있겠죠?
이때 어지간한 초월함수라면 n!의 증가량이 분자 부분((t-x)^n f^(n)(t))의 증가량보다 아득히 크기 때문에 마지막 적분 기호는 n이 무한대로 발산한다면 0으로 수렴합니다.
(이 부분은 대학 가서 적분의 평균값 정리를 배워야 자세히 설명이 가능한데... 일단은 이렇게 대충 짚고 넘어갑시다)
따라서 f(x)는 다음과 같이 새롭게 정의할 수 있습니다.
이것이 그 탈 많은 테일러 급수의 유도 과정입니다.
그럼 이제 실제로 자주 쓰는 초월함수 몇 개를 넣어서 한번 계산해 보죠.
먼저 f(x)=e^x입니다.
f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
이번엔 로그함수 f(x) = ln(1+x)입니다.
f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = - 1/(1+x)^2, f'''(x) = 2/(1+x)^3, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
다음은 사인함수, 코사인함수를 해 볼까요?
이번에도 a=0을 대입하고 미분해서 계산해 보면
나머지 삼각함수들은 사인, 코사인처럼 직접 유도되는 것이 아니라 다른 방법으로 유도합니다. 그래서 그 과정 설명은 못 해드리고... 가장 자주 쓰이는 탄젠트의 식만 짧게 보여드리겠습니다.
네... 이 친구의 계수는 얼핏 보면 불규칙해 보입니다. 이는 나중에 베르누이 수열이라는 걸 배운 뒤에 알아보시는 걸로...
다른 초월함수들은 고등학교 과정에선 거의 안 배우죠? 그러니 초월함수 탐색은 여기까지 하겠습니다. 수식 넣기 힘들어요
마지막으로 테일러 급수는 대체 어디까지 근사해서 써야 하느냐! 에 관한 내용을 조금이나마 적겠습니다.
대부분의 극한 문제에서는 분모 분자가 같은 차수가 되도록 문제를 만듭니다. 이러한 경우에는 보통 1차항(코사인의 경우는 2차항)까지만 근사하면 답이 나옵니다.
하지만 간혹가다 분자에는 사인 1개 x 1개나 탄젠트 1개 x 1개 줘 놓고는 분모에선 3차항을 준다던가... 하는 경우가 있습니다.
뭐 이런식으로 말이죠. 이때는 분모와 차수가 같아지는 차수까지 근사를 해 주셔야 합니다. 가령 위의 식에서는 사인을 3차까지 근사해서 답은 1/6이 나옵니다.
여기까지 테일러 급수의 증명과 활용시 주의점에 대해 부족하게나마 적어 봤습니다. 이걸 보고 수학에 흥미가 생기신다면 좋겠네요... 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
화작 정확도 19
화법->작문->복합 순서로 푸는데 작문에서 정확도가 많이 떨어져요.. 15분을...
-
살만 빼면 4
부족할게 없는 삶인듯 아 살은 넘치는거라 다른건가
-
강k 27회 21번 ㅆㅂ 한참고민함ㅋㅋ
-
삼두 완 0
크크
-
수능 끝나고 영화 보려고요... 전 개인적으로 엔드 오브 에반게리온..! 이 인생영화임요
-
본관ㅇㅇ
-
저녁을 꽁짜로 1
돼지갈비를 먹어서 기분이 너무 좋음 캬캬
-
오댕이 6
진짜 너무 커여움ㅋㅋ
-
저는 작수 보기 전에 뭐하려고 가입했던 것 같은데 기억이 안남;;
-
잘될 것이다 2
잘될거다
-
오늘 수업 하는데 타이머 두번 울림.. 워치 말고 공부할때 쓰는 거 그래서 교수가...
-
아가취침 4
흑흑
-
07년생 여붕이입니당
-
다른 강사분들에 비해서 좀 커리가 빈약한 느낌이 있는 거 같은데 브크듣고 익히마랑...
-
조-내가 있을께 녹색지대-준비없는 이별 에코-행복한 나를 투투-그대 눈물까지도
-
존나 불편한데
-
장발 포기 21
내일 자르러간다... 아 차라리 펌할까
-
요즘 덮머함 6
이마가 시렵거등요
-
Oz모 좀 쉬운시즌이랑 식센모 화이트 정도만 풀고가도 ㄱㅊ?
-
꾸준글 쓰기
-
앞으로 더욱 호감만 쌓는 옯붕이가 되겠습니다 심심한 사과의 말씀 드립니다 재밌는...
-
틀린거 다시 뜯어보고 행동영역 재정립하고 하는데 한 회차에 1시간30분 걸리면 너무...
-
실모 추천 0
부탁드려요...
-
스시로 끼니를 해결해
-
숙소를 얻었습니다 21
그곳은 바로 고시원! 짜잔 생각보다 아늑합니다 안에 화장실도 있어용 잇올까지 왕복...
-
평가원 기출 언어 1세트 사설 언매 1세트 우기분 3지문 (이동, 밥 먹는 시간해서...
-
생물 문제 안풀려서 울었어
-
좋은거시에요
-
메인글 어지럽네 1
옯평 갈수록 떡락 중
-
야한여자vs조신한여자
-
아가취침❤️ 4
-
내일 점심 9
중식 요리 유력 : 고추잡채 vs 유산슬 vs 칠리새우 중 하나
-
아 진짜 6
개잘생겼네
-
전과 관련 질문 3
경영 경제 회계 3개중에 하나 생각중인데 경제학과의 경우 금융권 취업을 목적으로...
-
영어 내신대비 goat (joat)
-
당당해도됨?
-
국어 하나 수학 둘 물리 셋 지구 넷 260개는 풀 시간이네..
-
저 호감도 어때요
-
수능 끝나고 먹기 시작하는 게 나으려나 지금 먹기 시작하면 자기한테 맞는지, 부작용...
-
이제 폰해야지
-
기만좀할게요 12
오늘수학실모11번못풀었음 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ아
-
ㅈㄱㄴ
-
얼버기하게 해주셔서 감사합니다. 학교급식이 맛있게 나와서 감사합니다. 빡모 100점...
-
여러분은 그림 그려서 푸나요? 아니면 그래프가 삼각함수인걸 이용해서 식으로...
테일러씨는 참 똑똑하구나
한무 부분적분으로 테일러급수 느낌있게 증명하기 ㄷㄷ
멋있네요
전 개인적으론 이것보단 미분을 이용한 증명이 더 멋진데... 엡실론 델타를 여기서 설명할 수는 없으니 ㅠ
이것도 올려주신다면 재밌게 읽어보겠습니다 ㅎㅎ,,
이건 차마 설명을 못하겠네요... 너무 풀어쓰기가 힘들어유...
예전에 저걸 통해서 오일러 등식 도출할때 참 수학 재미있다고 생각했었는데...
좋은글 감사합니다