2차원에서 어떠한 점의 위치를 설명하려면 어떻게 해야할까요? 적당한 기준을 세운다면 우리는 점의 위치를 설명할 수 있을지 모릅니다. 대표적인 방법이 데카르트 좌표계, 바로 우리가 흔히 접하는 직교 좌표계입니다. 원점과 x축, y축을 설정함으로써 우리는 그림 상의 점 A, B와 같이 특정한 점의 위치를 깔끔하게 설명해낼 수 있습니다. 그런데 직교 좌표계 외에도 이렇게 기준을 잡아 평면 상의 점의 위치를 기술할 수 있는 대표적인 방법이 하나 더 있습니다. 바로 극 좌표계입니다. 원점을 O라 할 때 각 AOD의 크기를 alpha, 각 AOB의 크기를 beta라 한다면 우리는 방금 봤던 두 점 A, B의 좌표를 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. r은 원점으로부터 각 점까지의 거리를, @는 시초선으로부터 동경까지 시계반대방향으로 잰 각의 크기를 뜻합니다. 이 r과 @값에 초점을 두고 다시 직교 좌표계에서 점을 나타내어 보면 이렇게 나타낼 수 있을 것임을 생각할 수 있습니다. 즉, 반지름의 길이가 r인 원 위의 점으로 주어진 점을 바라보고 일반각 하나를 잡아 직교 좌표계의 점을 생각해볼 수 있다는 것이죠! 극 좌표계를 이용하면 2변수 함수의 적분을 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 이제 1변수 함수를 다룰 때의 치환적분법을 다음과 같이 생각해보고 아직 제가 서술하기엔 어려운 transformation from the uv-plane (polar coordinate) to xy-plane (Cartesian coordinate) 와 the Jacobian of the given transformation 에 관한 이해를 갖추면 극 좌표계를 이용한 치환적분을 일반화할 수 있습니다! 이제 이를 이용해 확률과통계에서 학습하는 정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수를 적분해봅시다! 이를 표준정규분포 N(0, 1^2)을 따르도록 해주면 확률밀도함수 g(x)를 얻을 수 있습니다. 현 교육과정 상 확통에서 표준정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수에 관한 위 성질은 배우는데 증명을 하지 않아 앞서 다루었던 다변수 함수에서의 치환적분을 적용해 해결해보고자 한다면 영상 속 과정을 따라 I값을 구한 후 루트 pi로 나누어주시면 됩니다. 현재 2022 개정 교육과정 상 공통수학2에 선형대수학의 기초인 행렬이 들어왔으니 2028 개정 교육과정 즈음엔 극 좌표계와 복소 평면도 들어와 학생들께서 2차원 평면에 대한 보다 다각적인 이해와 나아가 치환적분의 느낌을 다변수 함수에도 적용해보실 수 있을 그러한 기회가 있었으면 좋겠습니다!!

확률밀도함수 적분이 이렇게 되는거군요!! 엄청 신기해요

적분이 수렴하는지부터 따져야되지않나 안따져도됐었나 기억이안나네

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책참 [1020565] · MS 2020 · 쪽지

2024-01-07 11:52:42
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4

극좌표(polar coordinate)를 이용한 치환적분

게시글 주소: https://orbi.kr/00066457810

2차원에서 어떠한 점의 위치를 설명하려면

어떻게 해야할까요?

적당한 기준을 세운다면 우리는

점의 위치를 설명할 수 있을지 모릅니다.

대표적인 방법이 데카르트 좌표계, 바로

우리가 흔히 접하는 직교 좌표계입니다.

원점과 x축, y축을 설정함으로써 우리는

그림 상의 점 A, B와 같이 특정한 점의 위치를

깔끔하게 설명해낼 수 있습니다.

그런데 직교 좌표계 외에도 이렇게

기준을 잡아 평면 상의 점의 위치를 기술할 수 있는

대표적인 방법이 하나 더 있습니다.

바로 극 좌표계입니다.

원점을 O라 할 때 각 AOD의 크기를 alpha,

각 AOB의 크기를 beta라 한다면 우리는

방금 봤던 두 점 A, B의 좌표를 각각

다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$KHIsIFwgXHRoZXRhKQ==$

r은 원점으로부터 각 점까지의 거리를,

@는 시초선으로부터 동경까지 시계반대방향으로

잰 각의 크기를 뜻합니다.

이 r과 @값에 초점을 두고 다시 직교 좌표계에서

점을 나타내어 보면

$KHgsIFwgeSk9KHIgXGNvcyBcdGhldGHEFXIgXHNpbscRKQ==$

이렇게 나타낼 수 있을 것임을

생각할 수 있습니다.

즉, 반지름의 길이가 r인 원 위의 점으로

주어진 점을 바라보고 일반각 하나를 잡아

직교 좌표계의 점을 생각해볼 수 있다는 것이죠!

극 좌표계를 이용하면 2변수 함수의 적분을

다음과 같이 작성할 수 있습니다.

$XGlpbnRfUiBmKHgsICB5KVwgZEE9XMQUY15kxQhhXmLEHXkpIFwgZHjEBXkgXCBcIChcYmVjYXVzZSBGdWJpbmkncyBcIFRoZW9yZW0pIFxcID0gxl1TIGYociBcY29zIFx0aGV0YSxyXHNpbscNKVx0aW1lcyByxFrFBcYY$

이제 1변수 함수를 다룰 때의 치환적분법을 다음과 같이 생각해보고

$XGludF9hXmIgZih4KWR4PcUQY15kxBAodSkpIFxmcmFje2R4fXtkdX0gZHU=$

아직 제가 서술하기엔 어려운

transformation from the uv-plane (polar coordinate)

to xy-plane (Cartesian coordinate) 와

$VCh1LHYpPSh4LHkpIFxcIFxiZWdpbntjYXNlc314PWfFH8QZeT1oxgwgXGVuZMch$

the Jacobian of the given transformation 에 관한

이해를 갖추면

$XGZyYWN7XHBhcnRpYWwgKHgsIHkpfcsRdSwgdil9PVxiZWdpbnt2bWF0cml4fc83eMsydX0gJiDbIHZ9IFxc0CF5zkEgJtsgdn0gIFxlbmTpAI0922518ACrzkot2zt23Dt1fQ==$

극 좌표계를 이용한 치환적분을

일반화할 수 있습니다!

$XGlpbnRfUmYoeCx5KVwgZEE9xhJTIGYoeCh1LHYpLHnFBykgXGJlZ2lue3ZtYXRyaXh9IFxmcmFje1xwYXJ0aWFsIMVCfcsQdSwgdil9IFxlbmTLNSBkdcQFdg==$

이제 이를 이용해 확률과통계에서 학습하는

정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수를

적분해봅시다!

$7ZmV66Wg67OA7IiYIFwgWOqwgCBcIOygleq3nOu2hO2PrCBcICBOKG0sIFxzaWdtYV4yKSBcIOulvCBcXCDrlLDFCiDrlYzEPuydxEXHVLCA64+E7ZWoxlpmKHgpxDNcxgs9XGZyYWN7MX17XHNxcnR7MiBccGl9x2R9IGVeey3GIih4LW0pXjJ9xCLFHV4yfX0=$

이를 표준정규분포 N(0, 1^2)을 따르도록 해주면

$Wj1cZnJhY3tYLW19e1xzaWdtYX0sIFwgTigwxAcxXjIpIFxcxANnKHgpxy0xxCtxcnR7MiBccGl9fSBlXnstxht4XjJ9ezJ9fQ==$

확률밀도함수 g(x)를 얻을 수 있습니다.

$XGludF97LSBcaW5mdHl9XnvHCSBnKHgpZHg9MQ==$

현 교육과정 상 확통에서 표준정규분포를 따르는 연속확률변수의

확률밀도함수에 관한 위 성질은 배우는데 증명을 하지 않아

앞서 다루었던 다변수 함수에서의 치환적분을

적용해 해결해보고자 한다면

영상 속 과정을 따라 I값을 구한 후

$XGludF97LSBcaW5mdHl9XnvHCSBcZnJhY3sxfXtcc3FydHsyIFxwaX19IGVeey3GG3heMn17Mn19ZHggIFxcPdAxxzDZYMRJeV4yfWR5IFwgXCAoXGJlY2F1c2UgXCB4PcVDIDJ5LCBcIGTHDzJkeSk=$

루트 pi로 나누어주시면 됩니다.

현재 2022 개정 교육과정 상 공통수학2에

선형대수학의 기초인 행렬이 들어왔으니

2028 개정 교육과정 즈음엔 극 좌표계와

복소 평면도 들어와 학생들께서

2차원 평면에 대한 보다 다각적인 이해와

나아가 치환적분의 느낌을 다변수 함수에도

적용해보실 수 있을 그러한 기회가 있었으면 좋겠습니다!!

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약연 · 1217741 · 24/01/07 11:54 · MS 2023

확률밀도함수 적분이 이렇게 되는거군요!!
엄청 신기해요

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책참 · 1020565 · 24/01/07 12:07 · MS 2020

답글로 해당 게시글 링크 남겨드리려 했는데 벌써 확인해주셨네요!! 댓글로 설명하는 것보다 글 하나 남기는 것이 더 편할 것 같아 얼른 남겨봤습니다, 행복한 오후 보내세요~~

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약연 · 1217741 · 24/01/07 12:13 · MS 2023

항상 도움되는 글 감사드려요 선생님

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책참 · 1020565 · 24/01/07 12:35 · MS 2020

누구나 그럴테지만 수험생 분들께 무언가를 설명해드리거나 학습과 관련된 말을 건네드리고 도움이 되었다, 감사하다라는 말을 들을 때마다 참 행복하네요 ㅎㅎ 선생님께서도 꾸준히 수학에 관심 갖고 관련 글들 작성해주셔서 감사드립니다. 올해는 저도 기하를 열심히 공부해볼 계획이니 모르는 것 있으면 여쭤보겠습니다!

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약연 · 1217741 · 24/01/07 12:39 · MS 2023

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약연 · 1217741 · 24/01/07 11:56 · MS 2023

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응애... · 1233158 · 24/01/07 11:57 · MS 2023

적분이 수렴하는지부터 따져야되지않나
안따져도됐었나 기억이안나네

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책참 · 1020565 · 24/01/07 12:08 · MS 2020

엄밀히는 수렴 여부부터 확인하는 것이 맞긴 한데 가우스 적분의 경우 루트 pi로 수렴하는 것이 널리 알려져 있다 보니까 본문에서는 생략 했습니다, 형님 말씀대로입니다

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