극좌표(polar coordinate)를 이용한 치환적분
게시글 주소: https://orbi.kr/00066457810
2차원에서 어떠한 점의 위치를 설명하려면
어떻게 해야할까요?
적당한 기준을 세운다면 우리는
점의 위치를 설명할 수 있을지 모릅니다.
대표적인 방법이 데카르트 좌표계, 바로
우리가 흔히 접하는 직교 좌표계입니다.
원점과 x축, y축을 설정함으로써 우리는
그림 상의 점 A, B와 같이 특정한 점의 위치를
깔끔하게 설명해낼 수 있습니다.
그런데 직교 좌표계 외에도 이렇게
기준을 잡아 평면 상의 점의 위치를 기술할 수 있는
대표적인 방법이 하나 더 있습니다.
바로 극 좌표계입니다.
원점을 O라 할 때 각 AOD의 크기를 alpha,
각 AOB의 크기를 beta라 한다면 우리는
방금 봤던 두 점 A, B의 좌표를 각각
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
r은 원점으로부터 각 점까지의 거리를,
@는 시초선으로부터 동경까지 시계반대방향으로
잰 각의 크기를 뜻합니다.
이 r과 @값에 초점을 두고 다시 직교 좌표계에서
점을 나타내어 보면
이렇게 나타낼 수 있을 것임을
생각할 수 있습니다.
즉, 반지름의 길이가 r인 원 위의 점으로
주어진 점을 바라보고 일반각 하나를 잡아
직교 좌표계의 점을 생각해볼 수 있다는 것이죠!
극 좌표계를 이용하면 2변수 함수의 적분을
다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이제 1변수 함수를 다룰 때의 치환적분법을 다음과 같이 생각해보고
아직 제가 서술하기엔 어려운
transformation from the uv-plane (polar coordinate)
to xy-plane (Cartesian coordinate) 와
the Jacobian of the given transformation 에 관한
이해를 갖추면
극 좌표계를 이용한 치환적분을
일반화할 수 있습니다!
이제 이를 이용해 확률과통계에서 학습하는
정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수를
적분해봅시다!
이를 표준정규분포 N(0, 1^2)을 따르도록 해주면
확률밀도함수 g(x)를 얻을 수 있습니다.
현 교육과정 상 확통에서 표준정규분포를 따르는 연속확률변수의
확률밀도함수에 관한 위 성질은 배우는데 증명을 하지 않아
앞서 다루었던 다변수 함수에서의 치환적분을
적용해 해결해보고자 한다면
영상 속 과정을 따라 I값을 구한 후
루트 pi로 나누어주시면 됩니다.
현재 2022 개정 교육과정 상 공통수학2에
선형대수학의 기초인 행렬이 들어왔으니
2028 개정 교육과정 즈음엔 극 좌표계와
복소 평면도 들어와 학생들께서
2차원 평면에 대한 보다 다각적인 이해와
나아가 치환적분의 느낌을 다변수 함수에도
적용해보실 수 있을 그러한 기회가 있었으면 좋겠습니다!!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
열린구간 (a, b)에서 미분가능하고, 닫힌구간 [a, b]에서 연속인 함수...
-
매춘은 고대부터 있었던 숭고한 직업인데 왜 이렇게 터부시하는지.. 불법인거 전혀...
-
너튜브에서 지미존스 샌드위치 관련 영상을 보다가 샌드위치 진짜 많이 드셔보신 듯한...
-
제가 생각을 거쳐 얻은 얘기를 잠깐 적어보려 합니다...
-
다른 나라들이 얼마나 처박는거
-
사설을 잘 풀 수 있음
-
진짜루
-
ai 대체 직업 순위권에 항상 있는데 협회 힘이랑 실수하면 너무 큰 일이라 책임질...
-
Can't keep my dick in my pants 2
My bitch don't love me no more
-
??
-
소설류는 그냥 ebs 풀어보는 것 정도로만 하고..
-
-
버거킹왔오..
-
지듣노 1
혹시 뭐할까 기분 탓일까오늘따라 네가 그리워지는데가끔 이러다 네 생각에 잠 못...
-
여기 이시간에 있는 애들은 ㄹㅇ 공부안하는 애거나 아님 ㅈㄴ 할일없는 의대생 종강한...
-
지금 아이디어 중인데 1.아이디어+기생집4점+(킥오프,워크북...
-
-
해야 하나?
-
-
아무리 쉬는시간이라지만 대놓고 그걸 보는건 좀...
-
뭐 먹을까여
-
느좋
-
비독원 베이스 듣고 어드벤스드 듣고 있는데 독서 인강은 집중을 잘 못 하는거...
-
흐흐
-
조때따 6
독재 가는 버스가 안와... 입실까지 30분 남았는데 버스 오는 것만 해도다 30분...
-
날이 진짜 덥네 12
이거 78월엔 어케 견디냐
-
유대종t강의듣는데 와 쉽지않네요
-
이거 원큐에 맞히는 사람들은 수학을 얼마나 잘하는 거임;; 당연히 3 4 5인 줄...
-
몬스터 그만 마셔야겠다 14
몸이 이상해지는 느낌
-
-
라이브반도 과제 제출 해요? 선생님 by 선생님일려나..장재원T 서바 정규 라이브로...
-
흐릿흐릿
-
집 근처 독서실에서 공부중(시설 안좋음) 요즘따라 집중을 못하고 미칠 것 같음 집...
-
너무 여친미 있음 15
하
-
누구나 한 번쯤은 자기만의 세계로 빠져들게 되는 순간이 있지 그렇지만 나는 제자리로...
-
미적 유베 기하 개념만 앎 확통 노베 수학은 3,5,6다 1나옴 (높1아님.. 다...
-
참 재밌단말이지 커뮤질이 뭐 다 그렇긴 한데 다른 커뮤하는거보다 더 재밌는거 같음
-
두각 강k 0
두각에서 강k 현장응시까지 하고 해설듣는건가요?
-
빌런 6
대각선에서 다리 떠는데 보니 공부도 못하면서 민폐짓거리는 많이 하네. 확통 사탐...
-
주변 사람들 중에 말을 예쁘게 하는 사람이 없어서 내 중학생 시절 모든 성과를 땜빵...
-
宜候 風よ 何時までも心騒めかせて 순항 바람이여 언제까지나 마음을 설레이게해줘 宜候...
-
어제 과외생이랑 싸움 10
당연함 친동생임
-
국어실력 0
오르니까(특히 비문학) 다른 과목 공부하는게 훨씬 편함... 내신 영어, 투과목...
-
내가 아는 생1 쌉고수는 3분안에 푸는거 같던데 생명 고수들 의견 받습니다!!
-
초딩때 치어리더 중딩때 밴드 드럼 2 현 간판동아리 1학년 부장 생기부 ㄴㅇㅅ일듯
-
-
ㅈㄱㄴ
-
오노추 0
-
딱히 수리논술 공부 안하고 수능수학 공부한 베이스로 볼려면 적백은 가볍게 떠야...
-
자살할수밖에 없다 ㅇㅇ 14
우울증 너무 심함 항우울제 3개+항우울 보조제 2개 사용중인데도 우울증이 심함 약도...
확률밀도함수 적분이 이렇게 되는거군요!!엄청 신기해요
답글로 해당 게시글 링크 남겨드리려 했는데 벌써 확인해주셨네요!! 댓글로 설명하는 것보다 글 하나 남기는 것이 더 편할 것 같아 얼른 남겨봤습니다, 행복한 오후 보내세요~~
항상 도움되는 글 감사드려요 선생님
누구나 그럴테지만 수험생 분들께 무언가를 설명해드리거나 학습과 관련된 말을 건네드리고 도움이 되었다, 감사하다라는 말을 들을 때마다 참 행복하네요 ㅎㅎ 선생님께서도 꾸준히 수학에 관심 갖고 관련 글들 작성해주셔서 감사드립니다. 올해는 저도 기하를 열심히 공부해볼 계획이니 모르는 것 있으면 여쭤보겠습니다!
적분이 수렴하는지부터 따져야되지않나
안따져도됐었나 기억이안나네
엄밀히는 수렴 여부부터 확인하는 것이 맞긴 한데 가우스 적분의 경우 루트 pi로 수렴하는 것이 널리 알려져 있다 보니까 본문에서는 생략 했습니다, 형님 말씀대로입니다