Iteration of mapping classes on a Bers slice

질문은 만약 hyperbolic finite type surface S가 있고, φ가 S의 mapping class라고 한다면, Bers slice B_Y에서의 φ 를 계속해서 iteration을 했을 때 AH(S)에서의 그 algebraic, geometric limit이 무엇이겠냐는 것. 다시 말해서 {(φ^n(X),Y)}_{n=1}^\infty 의 algebraic, geometric limit들이 AH(S)에 있을 텐데, 뭐냐는 것. 여기서 일반적으로 sequence가 수렴하지 않은 경우에는 accumulation point들을 고려하고, 이 경우에는 limit들이 여러개 나올 수 있음.

*B_Y는 AH(S)에 embedding이 되고, 여기서 AH(S)는 S의 deformation space.

φ가 pseudo-Anosov 인 경우는 이전부터 알려져 있는데, 이걸 일반적인 mapping class에 대해서 어떻게 되는지 기술을 Brock이 완벽히 함. 일반적인 mapping class의 경우에는 Nielsen-Thurston decomposition이라는 것을 하는데, 어떤 multicurve들이 S에 있고, 그걸 약간 두껍게 만들어서 annuli A(φ)를 만든 다음에 그걸로 S를 decompose를 했을 때, S_F라는 finite typed subsurface가 있고 S_P라는 pseudo-Anosov typed subsurface로 나눌 수 있음. φ를 S_F에 restriction을 시키면 periodic인 mapping class가 되고, S_P에 restriction을 시키면 pseudo-Anosov mapping class가 됨.

아무튼 이렇게 φ에 대응하는 Nielsen-Thurston decomposition을 했을 때, 위에 {(φ^n(X),Y)}의 (algebraic) accumulation point Q_φ는 다음을 만족 시킴:

1. the minimal A(φ) is the set of accidental parabolics for Q_φ,

2. each component of S_P corresponds to a (simply) degenerate cover of Q_φ, and

3. each component of S_F corresponds to a quasi-Fuchsian cover of Q_φ.

다시 말해서, 밑에 그림과 같은 상황이 됨:

그림에서 뾰족하게 튀어나오는 것이 accidental parabolics들이고, E_1이 simply degenerate 한 경우, X_1, X_2는 모두 quasi-Fuchsian 인 경우.

이제 geometric limit인 경우는 어떻게 되는지가 궁금한데, 만약 algebraic limit과 geometric limit이 같다면 (strongly converge 라고 함) 그냥 위와 같은 그림이 그려질 것임. 이게 언제 같아지냐면, φ이 (properly) partial pseudo-Anosov인 경우이고 정확히 이 경우에만 같아짐. 일반적으로는 algebraic limit은 geometric limit의 cover가 됨. 아무튼 만약 strongly converge하지 않는다고 하면, 소위 "gluing problem" 이라는 것을 이용해서 limit을 구체적으로 구하는데, 위에서는 {φ(X),Y}의 accumulation point를 구했다면, 이번에는 {X,φ(Y)}의 accmulation point Q_{φ^{-1}} 구한 뒤, Q_φ와 Q_{φ^{-1}}의 quasi-Fuchsian 인 end들, 위의 그림에서는 X_1, X_2에 해당되는 부분들을 붙이는 것.

*여기서 하나 언급하자면, accmulation point들은 당연히 서로 다르지만, 그들은 "quasi-isometric" 하게는 같게 생겼어서 geometric limit을 기술할 때는 크게 문제되지 않음.

그림으로는 다음과 같음:

또 다른 예로 genus가 2인 경우에서의 partial pseudo-Anosov iteration의 경우에는 다음과 같은 그림으로 그려짐. 왼쪽이 algebraic limit, 오른쪽이 geometric limit에 해당됨.